摘 要

本论文主要研究基于分数傅里叶的菲涅耳衍射理论，目的是加强对分数傅里叶的掌握程度，分析出菲涅耳衍射与分数傅里叶变换之间存在的相互变换的关系，让标准傅里叶在光学上的研究与其形成一个对比。本课题内容主要有分数傅里叶变换，分数傅里叶变换和菲涅耳衍射的相似性，还有基于分数傅里叶变换的菲涅耳衍射的仿真以及仿真结果的分析，还包括激光在光学中的应用即为高斯光束作为光波的衍射。分数傅里叶变换有其灵活性，可以根据不同的需求，在同时包含空域和频域两种域的平面上进行信号处理。而且，如果要考虑光的传播方面的理论性的方面，那么分数傅里叶在该理论方面更符合实际。分数傅里叶光学理论与傅里叶光学理论的不同之处在于其变换基数不同，其变换操作与傅里叶变换操作大同小异，在更大程度上，其实菲涅耳衍射的公式和分数傅里叶变换的积分公式有很大的相似之处。这种相似性会在研究他们之间存在的相互关系时给我们带来更大的方便，而且会让我们更加相信分数傅里叶变换对菲涅耳衍射的作用，即它是非常适用于菲涅耳衍射的数学工具，当我们考虑以往著名的夫琅禾费衍射现象可以被表示成标准的标准的傅里叶变换时，这种解释是可能的。基于分数傅里叶变换的菲涅耳衍射现象主要是通过MATLAB仿真来实现。

关键词：分数傅里叶变换；菲涅耳衍射；标准傅里叶

Abstract

This dissertation focuses on the Fresnel diffraction theory based on fractional Fourier, aiming to enhance the mastery of fractional Fourier, giving the relationship between Fresnel diffraction and fractional Fourier transforms, letting the standard Fourier The optical research is in contrast with it. The main contents include Fourier transform and fractional Fourier transform, fractional Fourier transform and light wave propagation, description of optical systems, basic theory of light diffraction, Fresnel diffraction, fractional Fourier transform and Fresnel diffraction. The mutual transformation. The fractional Fourier transform can perform information processing on planes that include both spatial and frequency domain information, as required, which makes optical processing information more flexible. Moreover, the fractional Fourier transform is more practical. The difference between the fractional Fourier optical theory and the Fourier optical theory lies in the fact that the transform base number is different, the transform operation is consistent with the Fourier transform operation, and the fractional Fourier transform mathematical expression and Fresnel are seen from an optical point of view. The mathematical expressions of diffraction are similar, and this huge similarity leads us to think that the fractional Fourier transform is a mathematical tool for dealing with Fresnel diffraction. This explanation is possible when we consider that the famous Fraunhofer diffraction phenomenon in the past can be expressed as a standard standard Fourier transform.Fresnel diffraction based on the fractional Fourier transform is mainly realized by MATLAB simulation.

Key words: fractional Fourier ；transform Fresnel diffraction ；standard Fourier

目录

摘要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1 国内外的研究现状 1

1.2 目的及意义 1

第2章 分数傅里叶变换 3

2.1 傅里叶变换 3

2.2 分数傅里叶变换理论 3

2.3 分数傅里叶的定义 3

2.4 分数傅里叶变换的性质 4

第3章 菲涅耳衍射 6

3.1 光波衍射的基本理论 6

3.2 惠更斯-菲涅耳原理 6

3.3 菲涅耳-基耳霍夫衍射公式 7

3.4菲涅耳衍射 9

第4章 菲涅耳衍射和分数傅里叶变换的等效性 11

第5章 仿真及结果 14

5.1 仿真 14

5.1.1基于分数傅里叶变换的平面波的菲涅耳衍射 14

5.1.2基于分数傅里叶变换的高斯光束的菲涅耳衍射 18

5.2 结束语 20

参考文献 21

致谢 22

第1章 绪论

1.1 国内外的研究现状

分数傅里叶变换在很早以前就已经引入了光学的应用中，在光学的很多模块，比如说在分数傅里叶变换域滤波、光学模糊识别、光束整形、图像处理等已经有了广泛的应用^[1]~[5]。分数傅里叶变换在光学中得以发展之后，继而出现了用梯度折射率光波导、透镜系统完成阶数连续的分数傅里叶变换^[6]~[8]。分数傅里叶变换的出现在很大方面简化了我们传统信息的处理图像识别等方法，由此出现了多级以及多通道的一些滤波方法，很大程度上增加了滤波器设计的自由度，所以分数傅里叶变换其实可以处理普通傅里叶变换难以处理的问题。在光学识别中，有傅里叶变换相关器，而这种相关器的出现是基于分数傅里叶的。如果将分数傅里叶变换和相位恢复的普遍理论进行相结合，就能够设计一些衍射光学元件，这些光学元件可以应用到分数傅里叶变换的领域中。以便于提高光束整形的自由度，从分数傅里叶变换的角度讨论透镜的成像问题，通过将适当阶的分数傅里叶变换单元串联使用，可以得到理想的成像，构成一个推广的离轴系统^[4]。

光学分数傅里叶变换所研究的主要是在用光学方法实现分数傅里叶变换和在光学信息处理等方面,有关菲涅耳衍射和分数傅里叶变换相互之间关系的研究也曾被报道^[9]。本课题是以分数傅里叶变换为基础，通过它的相加性质来求证菲涅耳衍射。对于已经被报道过的一些光学系统，这些系统是分数傅里叶变换的系统，可以作为理论来解释,而且能够运用到别的光学系统中光波衍射和高斯光束传播的过程^[10]。

1.2 目的及意义

本文的主要目的是研究分数阶傅里叶变换^[11]，以及其在光中的应用。傅里叶变换是一个极具价值的研究工具，在科学研究等研究中，有着它基本的意义。自首次提出傅里叶变换的分析方法以来，傅里叶变换就在各个领域演绎着自身重要的角色，其历史发展过程也极其的迅速，由于计算机发展的迅速使得傅里叶变换的应用领域也越来越广泛，而也由于这种迅速使得傅里叶变换的缺陷也慢慢的暴露出来，在一些领域方面傅里叶变换有着它的局限性，使得问题无法深入的得到研究。由此，慢慢发展起来的分数傅里叶变换就变得极其重要，人们也逐渐的开始关注起来。分数傅里叶变换分数阶算子的一个特例,其本质和内在的多元化逐渐被关注^[12]。在光学领域中的应用也越来越多，人们利用分数傅里叶变换特有的一些时域和频域的性质来解决标准傅里叶变换不能解决的问题。分数傅里叶变换和一些新的理论和新的方法的结合正在深入的发展，而且分数傅里叶变换的出现使得相关运算、卷积运算等一些分数傅里叶的概念衍生出分数化的形式^[12]。