摘 要

量子计算是将量子力学与信息处理技术交融而生的研究领域，量子算法的优势在于能够突破经典计算机在理论上的运算极限，而且量子计算的并行计算能力也能为经典计算机无法解决的问题提供一个很好的解决途径。

本文研究了一种基于量子傅里叶变换的特征提取算法，对一个图像进行量子态存储，经过量子变换后提取图像特征进行识别，再恢复图像。并通过Matlab仿真模拟了这种算法的实现，且仿真结果表明增加测量次数能提高对这种量子算法模拟的准确性。

本文特色在于这种算法为量子计算机中提取量子图像的特征提供了一种新的途径。相比于传统算法，这种算法对一幅图像特征提取的处理时间将以指数性减少。在文中不仅提出了这种算法的基本原理，也通过仿真验证了这种算法的可行性。

关键词：量子计算；量子傅里叶变换；特征提取

Abstract

Quantum computation is a research field that blends quantum mechanics and information processing technology, the advantage of quantum algorithm is that it can break through the limitation of classical computer in theory, and the parallel computation power of quantum computation can also provide a good solution to the problem that the classical computer can not solve.

In this paper, we have studied a feature extraction algorithm based on Quantum Fourier transform, to store an image in the quantum state, and recovery the image after extracting the image features by quantum transformation, which have achieved the algorithm through analogue simulation in Matlab. The results of simulation shows that we can improve the accuracy of simulation with the algorithm through increasing the number of measurements.

The feature of this paper is that this algorithm provides a new way for us to extract the characteristics of the quantum image in the quantum computer. Compared with the traditional algorithm, it can exponentialiy reduce the processing time of image feature extraction. We put forward the basic principle of this algorithm, and verified the correctness.

Key word: Quantum computation; Quantum Fourier transform; feature extraction

目 录

摘 要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1 研究背景 1

1.2 研究意义 1

1.3 论文研究内容 2

第2章 量子计算 3

2.1 量子力学数学基础 3

2.1.1 向量与向量空间 3

2.1.2 向量的矩阵表示 3

2.1.3 量子态与Hilbert空间 4

2.1.4 线性算子与矩阵 4

2.1.5 内积 4

2.1.6 外积 5

2.1.7 张量积 5

2.2 量子计算基础 6

2.2.1 量子与量子态 6

2.2.2 单量子比特 6

2.2.3 多量子比特 6

2.2.4 量子门 6

2.2.5 常用量子门 7

第3章 量子傅里叶变换 8

3.1傅里叶变换 8

3.1.1 连续傅里叶变换 8

3.1.2 离散傅里叶变换 8

3.2 量子傅里叶变换 8

3.3 基于量子傅里叶变换的特征提取算法 12

第4章 仿真实现 14

4.1 图像的生成 14

4.2 图像的量子存储 15

4.3 量子傅里叶变换的实现 16

4.4 量子态的测量 17

4.5 特征提取及图像恢复 18

4.6 仿真分析 19

第5章 总结 21

参考文献 22

附 录 23

致 谢 27

第1章 绪论

在如今高速发展的计算机领域，越来越多的新兴的理论加入到计算机处理中，以达到更加快速的计算速度。量子计算的概念就是在这样的情况下与计算机领域结合到了一起。本文的研究方向就是实现一种基于量子傅里叶变换的原理来对图像进行模式特征提取的一种算法，将这种算法在Matlab中进行一个编程，并对简单的一个图像进行计算来验证这种算法的可行性。

1.1 研究背景

20世纪至今，计算机领域一直处于高速的发展，人类的生活也已经与计算机完全交叉在一起，随着人们对生活质量要求的提高，导致对其与之紧密相关计算机的处理能力要求也在愈加严格。随着计算机的发展，人们发现了计算机领域的一个规律，即摩尔定律，其大致内容为每18-24个月，计算机芯片的集成度将会翻倍，这也意味着计算机的处理能力将会越来越快。然而，由于经典计算的局域性，有一些NP问题经典计算机是无法进行处理或者说处理所需的时间太长，无法满足人类的要求。

在这样的背景下，随着量子力学的发展，人类渐渐将量子力学的量子计算概念与计算机信息学结合在一起，发现了一种基于量子计算的计算机。基于经典计算的经典计算机中存储信息的单元是比特，每一个比特只能存储0和1这两个确定的数，经典计算中存储单元比特只能识别两个状态0和1；基于量子计算的量子计算机中存储信息的单元是比特，而量子比特不仅可以取0和1，还可以同时取0和1，及存在叠加性。以此类推，随着比特位数的增加，每一个比特单元中量子比传统存储的状态将以2的指数倍增加，在计算中，量子计算机只需对这个量子叠加态处理一次，就完成了经典计算机需要处理次的运算，从而将串行运算优化为并行运算，这样就大大的提高了信息的处理速度。

1.2 研究意义

20世纪70年代，科学家在研究计算机的过程中发现，随着计算机集成度的提高，计算机的元器件的尺寸会越来越小，一直到微观世界中的电子级别时，将出现一个难点，那就是量子效应将会出现，即传输的数据之间会产生干涉，不再是独立的，这时就必须要引入量子理论的知识到计算机中。1982年，物理学家费曼在研究在经典计算机来处理量子系统时发现，随着数据的增大，计算机的处理时间将以2的指数倍增加，由此，他提出了一种基于量子比特为基础的量子计算机模型，用这样的计算机来处理量子系统将会使计算机的处理速度以指数倍的加快，而要实现这样的量子计算机，必须要寻找到有效的量子算法来作为量子计算机的计算基础，才能完成量子计算机的设计。本文的目的就是实现一种基于量子傅里叶变换的模式特征提取算法来对图像进行处理，提取出这个图像的特征，完成对其的识别。

1.3 论文研究内容

传统的傅里叶变换模式特征提取算法是针对经典计算机中图像存储的图像信息进行处理以达到图像特征的提取，而基于量子傅里叶变换模式特征提取算法是针对量子计算机中的图像存储的量子图像信息进行处理以达到图像特征的提取，因此要在经典计算机上实现这种算法，首先必须要将这个图像的信息转换成量子信息，然后对这个信息进行算法的计算来完成模式特征的提取。

由于经典计算机中，对一个图像的存储是这个图像各个位置的像素信息，对于一个维的图像，需要存储个数据，然后对每一个数据进行计算，一共需要次计算，来提取这个图像的特征，通过特征就能对这个图像进行识别。而本文的算法是针对量子数据进行计算的，因此首先要将图像的信息用量子数据进行表示，量子数据中存储的是像素值与像素对于的位置的叠加量子态，由于量子数据可以同时存储0和1。因此这幅图像的信息只需要个量子比特的存储空间就可以表示这个图像，再通过对这量子比特的数据进行一次计算就可以提取模式特征，完成识别功能，较传统的算法运算速度有了指数倍的提高。