1. 研究目的与意义及国内外研究现状

目的:让更多的人了解二阶变系数线性微分方程,了解对其进行更为深入的理论研究的重要性和必要性,并且让广大读者熟悉并会使用所介绍的四种已知特殊情况下的求解方法,为找到更为一般的求解方法提供可能.

意义:对微分方程的系统性求解要求是由社会中实际应用所提出的,因为微分方程是自然规律的反映,它既能给某些已有现象一个客观的解释,同时也能根据已有的现象对可能出现的新的现象进行预测.可以说微分方程是研究自然和社会科学中客观对象转化和变化规律最为直接的手段.随着微分方程的不断发展,越来越多的领域都或多或少的运用到了线性方程的相关知识,即物理学,医药学,计算机应用,机床数控等.在线性微分方程领域,低阶常系数线性微分方程及其求解尤为重要,因为按照基本理论,所有非齐次微分方程的求解都能够转化成对相关齐次微分方程基本解的求解,与此同时,也可以使用降阶法把高阶方程的求解转换成对低阶(一阶,二阶)方程的求解.但是到目前为止,对于二阶变系数线性微分方程还没有通用的解决手段.虽然二阶变系数线性微分方程应用广泛,求解结构理论上也算比较完善,但对于一般性微分方程的解,至今还没能找到更为一般的方法.除了已知的某些特殊的函数方程有固定解法,很多方程也只能利用幂级数解法来解决.然而该方法计算量大,步骤繁多,并且由这种方法得到的解是由无穷级数给出来的,这不利于对方程做进一步的研究,因此,寻求一种简单可行的计算方法是非常紧要且必要的.好在目前国内外很多学者已经研究出,可利用一些特殊变换,把变系数转化为常系数的方程来求解,比如众所周知的euler方程.然而这些方法都是借用一些特定的变换来求解一些特定微分方程,局限性很大,不利于全面的深入研究.在当代,虽说可以借助计算机软件来协助求解方程,但是相关计算机软件在理论上还不是很完善,缺乏智能判断,不能真正解决问题,有时候甚至会使问题变得更加复杂化.鉴于二阶变系数线性微分方程的重要意义以及遇到的困难,我写下了这篇论文,意在让更多的人了解微分方程,了解二阶变系数线性微分方程,并且为寻找更一般的解法提供可能.

国内外研究现状

2. 研究的基本内容

本文简要介绍了二阶变系数线性微分方程的理论研究意义及目前所遇到的困难,并详细介绍了四种已知的在特殊情况下求解二阶变系数线性微分方程的方法,即变量替换法,待定函数法,幂级数解法,Riccati方程解法,并且每种方法都给出了一个例子,以便读者更好的体会该方法的求解过程.

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实行方案:我在指导老师的指导下通过对前人研究成果的分析理解,结合自身所学相关知识,适当借助网络,计算机等辅助工具,在对这些解法深入理解的基础之上,准确,易懂的阐释各种解法的具体求解过程,以期更多的人能理解,并进行独立的思考.

进度:在指导教师指导下我已经查阅许多相关文献,并且对论文也进行了诸多修改,目前已经基本完工.

预期效果:能够让每个读者都能看懂我所介绍的四种方法,并且能有更有智慧的人提出自己的见解与更具一般性的解法.

4. 参考文献

[1] 李鸿翔.关于几类高阶变系数参数方程求解方法[j].应用数学报,1983,23(6):29-33.