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测试总体信噪比的方法

B. M. GOLAM KIBRIA AND FLORENCE GEORGE

Department of Mathematics and Statistics, Florida International University,

Miami, Florida, USA

（佛罗里达国际大学数学与统计系，美国佛罗里达州迈阿密）

摘要：这篇文章在参数（化）、非参数（化）和改进方法的基础上产出了一些关于测试总体信噪比的统计数据。为了比较测试所产出的统计数据的效果，我们做了关于正态、偏态分布的模拟的实验。统计数据的效果是依据实验的大小和功率来判断比较的。大量的样本显示，我们测试出的统计数据中，有一些在功率的大小方面表现的更为突出，被研究员推荐认可。

关键词：实验功率；信噪比；模拟实验；偏态分布；测试统计数据

1.介绍

有些情况下，平均值可以表现出什么东西在被实测，标准差可以体现出噪声或是其他的干扰。在这些情况下，标准差本身并不重要，而是在被比较的时候才有意义。这就引出了信噪比这一术语，即平均值除以标准差。这被普遍的用于图像加工，图像的信噪比通常是以平均像素值和给定邻域上像素值的标准偏差之比来计算的。噪声会影响信噪比能测到多少的信号。总体信噪比（ SNR= mu; /sigma;） 被定义为总体均值 (mu;)与总体标准差(sigma;)的比值。在现实生活中，总体的参数和总体标准差分别被评价者和s所估算。信噪比是常用变异数的倒数，是无单位的分散度度量。

关于测试信噪比的文献数量有限，但是我们有很多可行的方法去估算置信区间和变异系数，比如参数化、非参数化、加减改良、辅助程序等。这些估计区间可以用来验证信噪比的假设。辅助程序这种方法是非参数化的，密集型计算机工具被用来估算并做出关于Efron所提出的参数的推论。这会非常有用，因为不像其他的方法，这种手段不需要任何对于潜在群体利益的保证。因此，辅助程序的技术可以运用到任何情况下的估算或者是检验假设中。更多有关于置信区间和变异系数的信息，我们推荐参考 Koopmans et al. (1964), Miller (1991), Sharma and Krishna (1994), McKay (1932), Vangel (1996), and Curto and Pinto (2009), among others. Very recently, George and Kibria (2012) 这些估算总体信噪比间隔区间的估算者。

这篇文章的目的是完善测试总体信噪比的方法并选择合适的方法给实践者。我们将会提供16种不同的测试总体信噪比的方法。这些都是基于参数化、非参数化以及加减改良信噪比估算区间的方法。因为理论比较是不可行的，所以我们通过模拟实验来比较这16种方法的表现如何。一般来说，文献中的模拟、比较是在正态性假设下进行的。因为在现实生活中数据可能会负偏，所以我们也在负偏状态下进行了模拟。最终，根据模拟的结果，我们推荐实践者使用高功率并达到名义上显著水平的实验的统计数据。

这篇文章的结构如下：第二节，是关于信噪比的实验统计。第三节，是模拟技术及其结论。最后，在第四节给出了总结性评价。

2.统计方法论

假设X1,X2,...,Xn 是来自具有总体均值、有限方差、sigma;2（总体标准差）、有限平均值的总体中一个独立的、可识别的分布（IID）随机样本，样本大小为n。取x为样本均值，取样本s为标准差。 然后，SNR= x/s 将是SNR(mu;/sigma;)的估计值，CV= s /x将是CV(sigma;/mu;)的估计值。

我们想对总体信噪比进行测试。无效的假设和代替的假设定义如下：

H0 : SNR= SNR0

Ha : SNR= SNR0.

在这一节，我们将会根据现有的变异系数测试方法，对信噪比进行测试统计并提出建议。所有16种方法都将被考虑到。

2.1参数估计量

方法1.Miller (1991) 的方法:

Miller (1991)表明是具有平均值、、方差,的近似正态的分布。

当信噪比

或者时假设不成立。

其中，zalpha;/2是标准正态分布的（1minus;alpha;/2）百分比，snr0是snr的假设值。

方法2.Sharma and Krishna (1994) 的方法:

这种方法是基于Sharma和krishna（1994）开发的反向信噪比的置信区间。如果信噪比或者时我们驳回无效的假设。

方法3. Curto和Pinto的 (2009) 方法:

总体反向信噪比的（1minus;alpha;）100%近似置信区间为

如果信噪比

或者时我们驳回无效的假设。

2.2非参数方法

方法4. McKay (1932) 的方法：

总体反向信噪比的（1minus;alpha;）100%近似置信区间为

因此，当信噪比

或者时假设不成立。

方法5. McKay的被修改的置信区间 (MMcK):

Vangel（1996）修改了McKay在1932年推算出的区间。被称为“修改后的McKay”区间。总体反向信噪比的（1minus;alpha;）100%近似置信区间为

因此，当信噪比

或者时假设不成立。

方法6. Panichkitkosolkul (2009) 的方法:

Panichkitkokokul（2009）通过用正态分布的最大可能值代替样本的反向信噪比进一步修正了“修改后的Mckay”的方程式。总体反向信噪比的（1minus;alpha;）100%近似置信区间为

因此，当信噪比

或者时假设不成立。

2.3现有的中值修改方法

Kibria(2006)和ShiandKibria(2007)称对于偏态分布，中值能比平均值更好的体现出分布的中心。因此，对于偏态的数据，相比用平均值来衡量样本的变异性，用中值更有意义。Then following Shi and Kibria (2007), the (1minus;alpha;)100% CI for the SNR are obtained for four of the existing estimators and provided in the following。这些中值的修正是为了提高原始间隔的性能。被修正的区间不仅包含了参数方法也代表了非参数方法。

方法7. Median Modified Miller Estimator:

当信噪比

或者时假设不成立。

方程式中的，S=1 Nminus;1N i=1（xminus;med（x））2称为被修正的标准偏差。

方法8.McKay的中值修改：

当信噪比

或者时假设不成立。

方法9.McKay修改基础上的中值修改：

当信噪比

或者时假设不成立。

方法10. Curto和Pinto (2009)的中值修改:

当信噪比

或者时假设不成立。

2.4建议方法

方法11：

George和Kibria（2012年）根据已知的置信区间方差的计算公式，推出了总体信噪比的置信区间。假设x1，x2，hellip;，xn是一个IID随机样本，该样本通常以五分位均值（mu;）和五分位方差（sigma;2）分布。那么sigma;2的（1minus;alpha;）100%置信区间为

从上面的区间，我们得到（1minus;alpha;）100 % 的置信区间为1 / P2 AS

将该间隔乘以mu;2，得出（mu;/sigma;）2是（1minus;alpha;）100%的置信区间

由于mu;未知，我们可以用mu;的无偏负的估计量来代替它，mu;的无偏负估计量是／x。平方根为信噪比提供了最终建议的估计量：

当信噪比或者时假设不成立。

方法12：非参数的引导程序方法

Efron（1979）提出的步步为营法是一种常用的计算机密集型非参数工具，用于在源分布已知或未知时对总体参数进行推断。引导程序的置信区间的准确性取决于引导程序样本的数量。当引导程序的样本的数量足够大时，置信区间将可以被计算。为了定义非参数引导程序的置信区间，t X(lowast;) = X(lowast;) 1 ,X (lowast;) 2 ,...,X (lowast;) n ，其中第i个样本由x（i）表示，其中i=1，2，hellip;，b和b是引导程序样本的数量。Efron（1979，1987）建议使用最小值b=1000。我们推出了以下用于估计总体信噪比的引导程序的置信区间。

计算所有引导程序样本的信噪比，然后按如下顺序排列：

SNRlowast;(1),SNRlowast;(2),SNRlowast;(3),...,SNRlowast;(B),

其中snr（i）是第i个引导程序的信噪比。那么总体信噪比的低置信水平（LCL）和高置信水平（UCL）是

LCL = SNRlowast;(alpha;/2)B 和 UCL = SNRlowast;(1minus;alpha;/2)B.

因此，在b=1000alpha;=0.05的情况下，低置信水平是第250次的引导程序样本，高置信水平是第975次的引导程序样本。

当SNR0 lt; SNRlowast;(alpha;/2)B 或者 SNR0 gt; SNRlowast;(1minus;alpha;/2)B时假设不成立。

2.5基于引导程序的百分点的修正方法

大多数现有的变异系数区间估计量都是基于s x的近似正态分布的假设（Miller，1991年）。因此，我们希望根据引导程序样本的百分点来修改它们，而不是普通或者其他的（t）百分点。因此，让我们假定

Tilowast; = SNRlowast;i minus; SNR,

基于引导程序的百分点，修改后的置信区间定义如下。

方法13. Modification of Sharma and Krishnarsquo;s (1994)的方法 :

当信噪比或者时假设不成立。

方法14. Modification of Sharma and Krishna的方法:

当信噪比或者时假设不成立。

方法15.基于引导程序样本临界值的Miller修改的中值

当信噪比

或者时假设不成立。

方法16.基于自举样本的临界值对Curto和Pinto中值进行了修改（2009年）：

当信噪比时假设不成立。

表格1

基于所提出方法的信噪比的相对高低临界值

1. SNRcirc; SNRcirc;
2. SNR(_alpha;/2)_B SNR(1minus;alpha;/2)_B
4. ^x_s^macr; T_alpha;/lowast; ₂sigma;circ;SNR SNR

或者SNR .

我们在表1中总结了所有方法的最低临界值和最高临界值。

表格2

以实验为依据的I型误差率及正常试验功率（10，25），信噪比=2，n=15

	0.8	1.1	1.4	1.7	2.0	2.3	2.6	2.9	3.2
方法 1	0.985	0.831	0.513	0.235	0.090	0.032	0.011	0.034	0.167
方法 2	0.975	0.851	0.617	0.377	0.287	0.386	0.586	0.772	0.883
方法 3	0.986	0.843	0.532	0.244	0.095	0.035	0.012	0.070	0.225
方法 4	1.000	0.861	0.546	0.250	0.097	0.035	0.012	0.004 资料编号：[5551]