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基于拓展卡尔曼滤波算法的动力锂电池SOC估计的智能计算

Lanyong ZhangLei ZhangChristos PapavassiliouSheng Liu

摘要：电池荷电状态的准确估计是电池管理系统的一项重要功能，对电池的状态进行准确估计有利于系统的稳定。本文根据动力锂电池的工作特性，利用Thevenin等效电路模型结合智能计算方法建立了动力锂电池数学模型，采用结合安时积分法和开路电压法的扩展卡尔曼滤波算法实现了对动力锂电池SOC的准确估计。最后在仿真和硬件上对该算法进行了验证。仿真结果表明，智能计算模型能够较好地反映电池的动静态特性，扩展卡尔曼滤波算法具有较好的估计精度，能够满足系统的要求。硬件实验也表明，该算法具有较高的精度和较好的抗干扰能力。

关键词：拓展卡尔曼滤波算法 SOC估算 卡尔曼滤波纠正 Thevenin等效电路模型 电池特性

1 介绍

随着社会经济的发展，能源需求不断增长。能源问题成为制约经济发展的重要因素，越来越受到人们的关注。发展迅速的电动汽车，其主要驱动力来源于电池。然而，电池有各种各样的问题，比如过充、过放等等，这些将限制电动汽车的发展。因此，我们需要设计智能的电池管理系统，它能严格地监控和管理电池，以保证电池能安全有效地工作^[1]。

现存在许多估算电池SOC的智能计算方法，其中一些已经应用到实际汽车当中，如安时积分法、开路电压法和阻抗法等^[2]。

（1）开路电压法：动力锂电池的开路电压与电池SOC具有稳定的相关性，因此我们可以通过实时测量开路电压来估算电池SOC。该方法简单易行，但是开路电压的测量需要静置电池很长时间，因此不能实时地准确估算SOC值。再者，OCV-SOC曲线对放电率和工作温度敏感。

（2）安时积分法：安时积分法是计算动力锂电池荷电状态的最常用方法。安时积分法通过对测量电流的连续积分来得到SOC值，利用SOC值来判断电池是否需要充、放电。使用这种方法时，需要已知下列参数：SOC的初始值、充放电效率、准确的电流、电池温度和电流易失性放大误差。

（3）阻抗法：在充电过程中，动力锂电池的电阻率下降，其内阻降低，放电时则相反。电池的内阻可以反映电池的荷电状态。对电池进行跟踪、维护和测试，建立内阻-荷电状态数据库。每次内阻测量完成后，进行列表处理，分析得到最一致的R-SOC表。

上述智能计算方法的相对误差较大，而且它们对电池特性的反映相对较差，所以它们很难满足现代电池管理系统对于电池SOC估算的精度要求^[3,4]。如今，学者们提出了一些新的SOC估算算法，比如卡尔曼滤波算法、神经网络算法和模糊控制算法。与传统的智能计算方法相比，新的智能计算方法不仅更能反映电池的特性，而且可以相应地提高估算精度。但是，新的智能计算方法也有一些缺点，它们需要较多的计算，很难建立相关的电池模型，而且工程上难以实现。现在，为开发一种简单实用并且具有高精度的算法，越来越多的学者将经典的算法结合起来进行研究。

本文提出了一种基于Thevenin等效电路模型的智能计算方法。Thevenin等效电路模型可以准确地反映电池的工作特性，而且可以真实地模拟电池的工作过程，并且其阶数不高。如果阶数很高，数学模型将变得复杂、计算量大并且不易实现。本文建立了动力锂电池拓展卡尔曼滤波算法的数学模型^[5-7]。此外，我们通过结合安时积分法和开路电压法实现对动力锂电池荷电状态的准确估计。将安时积分法和开路电压法结合起来估算SOC可弥补各自的不足并且发挥两者的优点。最后，给出仿真结果和实验结果。

2 方法

2.1 Thevenin等效电路模型

Thevenin等效电路模型考虑了动力锂电池的极化特性，如图1所示。它能很好地反映电池的特性^[8]。U_OC是电池的电动势，它与电池SOC具有相应的对应关系。R₀为电池的欧姆电阻，R_P和C_P分别为电池的极化电阻和极化电容，U为电池的电压。该模型可用于描述电池的动态特性。

图 1 Thevenin等效电路模型

假设流过电阻R_P的电压为U_P(t)，流过电阻R₀的电压为U₀(t)，流过电阻R₀的电流为I(t)，由基尔霍夫电压电流定律，它们之间的关系为

根据安时积分法，电池的SOC值S(t)为

其中为电池荷电状态的初始值。为电池的额定容量。为电池的老化速率，老化速率是随时间变化的函数。为充放电效率，该参数受电池的循环次数、电池工作环境温度以及电池的充放电电流的影响。

当时，电池SOC值S(t)为

在一定条件下，和荷电状态SOC有一定的函数关系。电池电动势可以表示为

当是非线性函数时，上述的非线性模型需要近似线性化。电池状态空间模型的状态量由电池SOC值S(t)和流过电阻的电压组成。模型的输入量为动力锂电池的电流I(t)，输出量为动力锂电池的端电压。

2.2 线性卡尔曼滤波

卡尔曼滤波作为一种最优状态估计算法，给出了一种递推方法，广泛应用于具有随机扰动的不稳定系统中。卡尔曼滤波通过获得带噪声的实时观测数据，可以实现最优线性无偏最小方差估计^[9-12]。由于卡尔曼滤波具有许多优点，在视频、卫星导航、导弹弹道跟踪、激光跟踪系统、雷达和火控等领域得到了广泛的应用。

卡尔曼滤波是一种时域分析方法，也是一种频域分析方法^[13]。用状态方程来表达动态系统的工作过程和使用观测方程来分析观察到的变量，卡尔曼滤波器的核心是假设当前状态变量是最优估计，状态变量及时应用于测量更新方程，它可以通过测量更新方程达到最优估计的目标以实现最优估计的修正^[14]。经典卡尔曼滤波器是线性系统中常用的一种状态估计方法。卡尔曼滤波算法可分为连续型和离散型卡尔曼滤波算法，本主要研究离散型卡尔曼滤波。

对于线性离散系统模型，卡尔曼滤波器方程可写成：

其中为系统噪声，为观测噪声，它们之间的关系为：

在公式（6）当中，为n阶系统状态变量，为m阶系统观测变量，为n x 1阶系统参数矩阵，为n x 1阶输入参数矩阵，为m x n阶观测参数矩阵，为1阶控制变量矩阵，、分别为系统噪声矩阵与观测噪声矩阵，而且、的协方差（相应的误差方差）分别为、。卡尔曼滤波的结构图如图2。

图 2 卡尔曼滤波结构图

卡尔曼滤波的步骤包括预测和更新。在预测阶段，卡尔曼滤波根据前一状态的最优估计值来估计当前状态的估计值。在更新状态，利用当前状态的观测值和最优预测的估计值，卡尔曼滤波可以得到更加精确的当前状态最优估计值^[15-17]。它的流程图如图3。

图 3 卡尔曼滤波算法流程图

2.3 拓展卡尔曼滤波

如前所述，我们主要研究离散卡尔曼滤波器。然而，所有实际控制系统都是非线性的；绝对线性系统不存在。在非线性系统中，我们需要对非线性系统进行线性化处理，以扩大卡尔曼滤波的应用范围。应用于系统中的非线性卡尔曼滤波器称为扩展卡尔曼滤波器(EKF)^[18-20]。

当系统为非线性时，拓展卡尔曼滤波方程需要增加非线性系统的线性化过程。在状态估计中，非线性系统的状态估计需要用实时线性泰勒逼近法进行；在进行预测时，观测方程在其观测位置也必须进行线性泰勒近似，保留高阶项，简化复函数，从而得到扩展的卡尔曼滤波方程^[21,22]。

对于非线性系统，扩展卡尔曼滤波方程的法向形式为

正如线性的卡尔曼滤波方程，和在拓展卡尔曼滤波方程中也要满足以下要求：

其中为系统噪声的相应协方差，为观测噪声的相应协方差，是系统状态方程的函数，它能使先前时刻的状态变量匹配当前时刻，是系统观测方程函数，它反映了状态变量和观测变量之间的关系。拓展卡尔曼滤波方程的模型图如图4所示。

图 4 拓展卡尔曼滤波模型

假设和在所有采样点上都是可微的，为了线性化非线性系统，和需要化为一阶泰勒展开式。根据泰勒方程，可写为：

当，，联立公式（8）和（10）可以获得线性化的状态方程和预测方程，如公式（11）.

根据（11）的结果，我们可以利用线性卡尔曼滤波方法得到扩展的卡尔曼滤波迭代算法方程，如（12）所示。

K为1，2，3...

根据公式（12），拓展卡尔曼滤波方程与线性卡尔曼滤波方程很相似。它的估算过程也包括时间更新方程和测量更新方程。拓展卡尔曼滤波方程的不同之处在于它将非线性函数和通过泰勒展开式近似线性化。和分别是函数和的偏导数，因此，拓展卡尔曼滤波的工作原理图如图5所示。

图5可知，拓展卡尔曼滤波估算过程为“预测-更新-预测”的重复迭代过程。首先，它预测了状态变量和误差协方差矩阵，接着根据预测值计算卡尔曼增益，最后对状态变量和误差协方差矩阵的预测值进行修正和更新。预测值来自于滤波值，然后通过预测值获得滤波值，循环往复。只要有一个初始值，我们就可以得到状态变量的最优估计。

图 5 拓展卡尔曼滤波工作流程图

2.4 基于Thevenin等效电路模型的拓展卡尔曼滤波SOC估计算法

将公式（1）、（2）、（3）和（4）离散化，动力电池的状态方程和观测方程可以写成：

其中为状态变量，为观测量，为系统噪声，为观测噪声。此外，其状态方程是线性的，其观测方程由于函数的存在是非线性的。因此，必须对观测方程进行线性化。方程（13）和（14）线性化后为

其中为状态变量的预测值。将系统离散化后，可以得到系统的迭代算法方程，如下所示。

其中k为1，2，3...

根据上述公式，拓展卡尔曼滤波算法是利用k-1时的最优状态估计和误差协方差最优估计。根据公式（18），我们获得k时刻状态变量的预测值。根据公式（19），我们获得k时刻误差协方差的预测值。根据公式（20），我们获得k时刻的卡尔曼增益。根据公式（21），我们获得k时刻状态变量的最优估计。根据公式（22），我们获得k时刻误差协方差的最优估计是。拓展卡尔曼滤波算法是从公式（18）到（22）的迭代过程，因此电池的SOC值将趋近于真实值。

在使用拓展卡尔曼滤波算法前，必须将算法初始化，给出SOC S(0)，和误差协方差的初始值。当系统开始工作时，S(0)可以从电池SOC-OCV关系曲线中获得，并且每个S(0)都可以用这种方式获得。假设在系统初始时刻，电池几乎没有极化效应，也就是说为0。可以从工程经验当中获得误差协方差的初始值。实际上，拓展卡尔曼滤波算法对初始值的精度要求不高，因为它可以通过迭代使预测值趋近于真实值。但是，合理的初始值可以使预测更快地接近真实值。

3 结果与讨论

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资料编号：[4800]