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四参数指数平滑的需求预测

摘要：指数平滑方法是去噪时间序列、预测未来需求和降低库存成本的强大工具。在本文中，我们开发了一种直观、易于实现、计算稳定并且能够令人满意地处理加法和乘法季节性的平滑预测方法，即使时间序列包含多个零条目和大噪声分量也适用。

我们从传统的加性Holt-Winters方法开始，并在水平递推方程中引入一个额外的平滑参数。所有参数都需要在[0,1]中选择，并通过最小化样本中的一期预测误差来估计。这样做，误差大大减少，特别是对于具有强烈趋势的时间序列。与传统的Holt-Winters方法和具有阻尼趋势的Holt-Winters方法相比，新开发的方法可以产生更准确的短期样本外预测。

使用来自M3-Competition的真实季度和月度时间序列来评估该方法的绩效。为进一步深入分析该方法在不同需求模式下的适用性，我们进行了模拟研究。我们开发并证明了对称相对效率度量的使用，使研究人员广告从业者评估不同平滑和预测方法的性能。

关键词：需求预测；指数平滑法；季节性数据；Holt-Winters方法；阻尼趋势方法；M3-Competition；个别产品；对称相对效率度量

1 引言

预测时间序列的未来值在所有应用科学中都是至关重要的，每个学科都有自己的典型特征和需求，这些应由开发新预测方法的研究人员加以考虑。在供应链管理中，需要对大量产品定期进行需求预测，以便计划库存水平以向客户提供可接受的服务水平（Hyndman等人，2002）。因此，所开发的方法应该快速、灵活、用户友好并且能够产生结果，这些结果是可靠且易于由缺乏高级统计知识的管理者解释的。

所有指数平滑法的共同之处在于，最近的值在预测中的权重比旧观察值更高（Makridakis 等人，1998）。由于它们的简单性，它们的预测与更复杂的统计时间序列模型的预测相当（Makridakis and Hibon, 2000）。它们基于以下假设：时间序列是根据水平，趋势和季节性影响等未观察到的组成部分构建的，并且这些组成部分必须随着时间的推移进行调整以遵循需求模式（Billah等人，2006）。

Holt在1957年，而Brown在1959和1963年介绍了时间序列水平的单指数平滑。Holt在1957年将其扩展为线性指数平滑，以便根据趋势预测数据。他还提出了一种处理季节性数据的方法。这种方法被Winters（1960）研究，现在被称为Holt-Winters方法，它可以包含加法或乘法季节性。关于指数平滑的早期历史的更多细节可以在Gardner（1985）中找到。

后来这些方法已经适应了乘法趋势的时间序列（Pegels, 1969）、阻尼趋势（Gardner and McKenzie, 1985；Taylor, 2003a）和间歇性需求的时间序列（Croston, 1972；Syntetos and Boylan, 2001；Wallstrouml;m and Segerstedt, 2010）。当引入状态空间随机模型时，他们建立了可靠的统计背景（Gardner, 2006；Hyndman等人，2008，Gardner and McKenzie, 2010）。最近，这些方法已经适应了具有多个季节周期或季节性的时间序列（Taylor, 2003b；De Livera 等人，2011）。

如果噪声控制数据的趋势和季节性成分，那么传统的加法和乘法Holt-Winters方法就会变得不可靠（Ferbar Tratar, 2015）。平滑方程允许来自一个时间段的噪声项影响平滑序列和未来需求的预测。乘法方法也不适用于零条目的需求时间序列。

本文的目的是开发一种易于使用的平滑方法，并在应用于具有多个零条目和大量噪声的需求时间序列时能够更好的预测。该方法可以在Excel电子表格中轻松实现，优化程序通常只需要几秒钟，因此该方法有助于实现多个需求时间序列的实时分析和预测。

在下一节中，我们首先描述现有的Holt-Winters平滑方法系列，包括阻尼趋势版本。然后我们介绍了新的四参数指数平滑方法。第3节描述了我们分析中使用的数据以及允许我们比较不同平滑方法的方法。第4节中使用实时和模拟时间序列来阐述新开发方法的性能。本文的研究结果在第5和第6部分中进行了讨论和总结。

2 Holt-Winters平滑方法

我们用表示观察到的时间序列，表示序列水平在时间t的估计值，表示在序列斜率在时间t的估计值，表示季节性成分在时间t的估计值。一个完整的季节包括m期（比如，当为月度时间序列时，m=12）。我们使用符号，利用可用信息，表示值在时间t的点预测值。如果，我们称此点预测是平滑值，它可以立即与同一时间段的观测值进行比较；如果，我们将这种点预测称为样本外预测，在计算时间内无法获得相同时间段的观测值。我们用H表示最长的样本外预测范围。

2.1 传统Holt-Winters平滑方法

传统的Holt-Winters方法基于三个平滑方程：一个用于水平，一个用于趋势，一个用于季节性（Hyndman等人，2008）。有两种变量：相加和相乘，取决于季节变量是与局部均值水平无关还是与其成正比（Lawton, 1998）。

相加Holt-Winters（AHW）方法可应用于具有一个或多个零条目的序列，这是模拟单个产品需求的典型问题。它的递推和预测方程是（Makridakis 等人， 1998, 第169页）：

一些作者（Hyndman等人， 2008）使用略微不同形式的季节更新方程来促进状态空间方法的指数平滑。

相乘Holt-Winters（MHW）方法的基本方程如下（Makridakis 等人，1998，第165页）：

这些方程中的第二个与AHW的第二个方程相同。其他方程中唯一的区别是现在季节性成分是产品和比率而不是加减的形式。当时间序列严格为正时，乘法方法很有用，但当数据包含零或负值时，乘法方法在数值上不稳定（Hyndman and Khandakar, 2008）。

2.2 阻尼趋势的Holt-Winters平滑方法

证据表明，传统的Holt-Winters方法（以及它们的简化形式）倾向于超出或低于预测，特别是对于更长期的预测（Gardner Jr. and McKenzie, 1985,1989）。Gardner和McKenzie（1989）增加了一个新参数到趋势成分上，在更遥远的未来，会抑制趋势使其成为一条平滑的直线。

具有阻尼趋势（DAHW）的加性Holt-Winters方法的递推和预测方程是（Gardner and McKenzie, 1989）：

类似地，具有阻尼趋势（DMHW）的乘法Holt-Winters方法的方程是（Gardner and McKenzie, 1989）：

对于，阻尼方法即为传统的Holt-Winters方法。Fildes（2001），Fildes et al.（2008）证明了阻尼趋势方法可以用作基准预测方法，特别是如果将单一预测方法应用于时间序列集合时。

2.3 扩展的Holt-Winters方法

我们采用传统的相加Holt-Winters方法，在水平递推方程中引入一个新的平滑参数。新的方程组如下：

扩展的Holt-Winters方法允许比传统方法更多或更少地平滑季节性因素，具体取决于参数的值。如果，扩展的Holt-Winters方法简化为传统的AHW方法。如果，扩展的Holt-Winters成为Ferbar Tratar（2015）改进的Holt-Winters方法。

3 数据和方法

我们使用了M3-Competition的真实季节性时间序列，并进行了模拟研究，以评估EHW方法的性能。分析在R项目（R核心小组，2014年）中进行。来自非线性优化包nloptr的函数sbplx（Ypma and Borchers, 2014；Johnson, 2013）用于估计平滑参数。

3.1 来自M3-Competition的真实序列

M-Competitions是一系列实证研究，利用了为其专业化方法提供预测的公认专家（Makridakis and Hibon，2000），比较了大量主要时间序列方法的性能。所使用的数据集主要涉及商业和经济时间序列，尽管结论也与其他领域相关。

来自M3-Competition的3003个实时系列仍广泛用于测试新的和评估旧的预测方法和模型（Gorr and Schneider, 2013；Petropoulos等人., 2014）。原始时间序列数据可以在R包Mcomp中找到（Hyndman 等人，2013）。在我们的研究中，我们分析了756个季度和1428个月度系列。它们指的是六个不同的领域，如表1所示。我们在每个系列上都应用了AHW，DAHW，MHW，DMHW和EHW方法，而不依赖于它的领域。

表1 M3竞赛的季度和月度时间序列分类

在最初的竞争中，每位专家提供了他们的预测，这些预测以后样本的方式与开发预测方法时未使用的实际值进行比较（Makridakis和Hibon，2000）。这些实际的样本外值也可以在R包Mcomp中获得（Hyndman等，2013）。为了与过去的研究保持一致，我们使用了所有考虑中的平滑方法来计算下一个季度或个月的样本外预测。样本间平滑和样本外预测的结果将单独报告。

3.2 模拟时间序列

我们在需求时间序列中研究了在不同形式的季节性和噪声下EHW方法的效果。当它应用于间歇性需求的时间序列时，我们也对该方法的行为感兴趣。

我们将注意力集中在具有相加（线性）趋势的时间序列上。是一系列独立的标准正态随机变量（高斯白噪声）。我们使用以下公式模拟了对应于六种不同需求模式的18,000个时间序列（Ferbar Tratar，2015，Zhao和Lee，1993）：

改变参数A和B我们得到时间序列在它们的趋势（符号中的第一个单词）、季节性（第二个单词）和噪音（第三个单词）的不同形式（加法或乘法）。表2显示了A和B的可能组合。没有趋势的序列设置，没有季节性的序列设置，确定性需求时间序列设置。

表2 模拟需求模式及其参数A和B。符号中的第一个字母表示趋势的形式，第二个字母表示季节性的形式，第三个字母表示噪声。#39;A#39;代表加法，#39;M#39;代表乘法。

参数season cycle被设定为12，因此数据代表月度时间序列。每个序列涵盖5年的时间，所以我们有个观察结果。base 在整个模拟研究中被设定为2000。为参数斜率、季节性和噪音设置不同的值，我们得到了不同程度的趋势、季节性和噪音的需求模式。研究中使用的值如表3所示，括号中的数字代表乘法噪音。

表3 模拟研究中使用的参数值。#39;A#39;代表加法，#39;M#39;代表乘法，#39;N#39;代表无。括号中的数字代表乘法噪音。

对于每个参数组合，我们模拟了具有不同白噪声实现的100个时间序列。这导致了

因为对产品或服务的需求不能为负（Strijbosch等，2011；Babai等，2013），因此负模拟值被0代替。请注意，乘法季节性和噪声与时间t成正比。由于均值在时间t内是线性的，季节性和噪音与序列的平均水平也相关。波动大的季节性或噪声部分导致时间序列中的几个零条目，这些序列代表了间歇性的需求。

3.3 平滑方法的初始化和估计

为了使用Holt-Winters平滑方法，我们需要设置水平、斜率和季节性指数的初始值（初始化），以及平滑参数的值（估计）。我们决定使用前两个完整的季节（初始化设置2m观察值）估计第一季结束时的序列分解（时间 m）。当为季度时，m的值为4，当为月度时，m的值为12。

通过取第

资料编号：[4645]