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双向渐进结构优化法在基于应力的拓扑优化中的应用

摘要：本文提出了一种基于双向渐进结构优化(BESO)法的应力最小化设计的进化拓扑优化方法。BESO方法的离散特性自然避免了退化材料密度法中众所周知的“奇异性”问题。采用p-范数应力聚集法测量整体应力水平。从整体应力测量的伴随敏感度出发，推导出一个计算效率高的敏感度值公式。针对高度非线性的应力行为，对敏感度值和拓扑变量进行过滤，使优化过程稳定；同时，通过历史信息进一步稳定过滤后的敏感度值。通过一系列二维和三维基准设计，证明了该方法的高效性、实用性和易用性。

关键词：拓扑优化；BESO；应力最小化；敏感度分析

1. 介绍

作为一个先进和有效的设计方法，自从Bendsoslash;e和Kikuchi^[1]的有重大影响力的论文问世后，在过去几十年拓扑优化在学术研究^[2、3]和工业应用^[4]中经历了显著的发展。在所有研究对象中，基于应力的拓扑优化已被认为是一个具有挑战性的问题，自Duysinx和Bendsoslash;e ^[5] 开创性的论文后不断吸引广大学者研究兴趣。

Le等人总结了基于应力的拓扑优化的三个主要挑战：(1)奇异性问题；(2)应力的局部性，以及(3)高度非线性的应力行为。桁架布置设计的第一个挑战早在^[7，8]中就有提出。在基于密度的方法中，低密度的单元可以呈现出高应力值，使得优化算法无法去除它们。后来提出了通过放松应力约束使单元应力和密度同时减小的补救方案^{[5，9 - 12]}。第二个挑战是应力是一个局部量，这意味着在设计中应该控制连续体结构各点的应力。局部应力的性质导致了大量的应力无论是直接法还是伴随法，都需要对约束条件和计算敏感度进行评估。解决这一难题的一种常见策略是通过全局度量来近似最大压力，如p-norm和Kresselmeier-Steinhauser (KS)函数^[10，13]。全局应力测量对于敏感性评估具有计算效率，但代价是失去对局部应力行为的充分控制。第三个挑战是由于应力水平对拓扑变化高度敏感，这也是众所周知的形状优化设计难题^[14]。在拓扑优化的情况下，高度非线性的行为更加明显，因为应力水平受到其邻近密度变化的剧烈影响，特别是在尖角和凹角等关键区域。为此，Le等^[6]采用了密度过滤与敏感度过滤相一致的方法进行稳定化处理。

在基于应力的拓扑设计中，无论采用何种方法，应力的局部性质及其高度非线性行为都是两个常见的挑战。与前两个常见的挑战相比，“奇异性”问题只局限于存在中间密度的基于密度的方法。事实上，通过使用离散拓扑优化方法，如水平集方法和渐进结构优化方法^[15]，可以很自然地避免“奇点”问题。在水平集框架下，van Miegroet、Duysinx^[16]、Allaire、Jouve^[17]等人对拓扑优化中应力约束的解释进行了前期工作，随后大量针对同一主题使用水平集方法进行研究(如[18-25])。渐进结构优化(ESO)方法^[15]是拓扑优化的另一个重要分支。在其所有变体中，既允许去除材料又允许添加材料的收敛且不依赖于网格的双向渐进结构优化(BESO)方法^[26](bi- independent bi- structural optimization， BESO)由于其效率和鲁棒性被广泛应用于学术研究和工程应用^[27-30]。虽然ESO方法最初是在应力准则的基础上发展起来的，通过逐渐去除低应力材料，该方法或其变体BESO方法还没有扩展到我们所知的应力最小化设计。

本文通过对BESO方法的扩展，提出了一种高效、实用、易于实现的应力最小化拓扑设计方法。与连续定义的基于密度的方法相比，BESO方法由于其离散性，自然避免了“奇异性”问题，具有清晰的物理解释和算法优势。针对应力的局部性质，采用传统的p-范数全局应力测度来逼近最大应力。从整体应力测量的伴随敏感度出发，推导出一个计算效率高的敏感度值公式。针对高度非线性的应力行为，对敏感度值和拓扑变量进行过滤，使优化过程稳定；同时，过滤后的敏感度随历史数据的变化而进一步稳定。

本文组织如下。第2节给出了应力最小化设计模型，包括p-范数应力测度和优化问题的定义。第3节给出了整体p-范数应力测量的敏感度推导。第4节给出了扩展的BESO变量更新方案。第5节通过一系列二维和三维基准测试设计验证了该方法。最后得出结论和展望。

1. 应力最小化设计

2.1 有效刚度和应力模型

将设计域离散为nel个有限元，每个单元分配一个拓扑设计变量。包含设计变量的nel维向量记为x = (x₁， x₂，hellip;，x_nel)^T。在BESO方法^[27]的框架内，设计变量取值为0或1，即

(1)

设计变量可以解释为广义材料密度或指示参数，1的值对应于实体材料，0对应于孔洞。

单元刚度可直接与相关拓扑设计变量线性关联，定义单元有效刚度矩阵为

(2)

其中D0为实体材料刚度矩阵。在实际应用中，为了避免网格的重新划分和整体刚度的奇异性，采用了极低刚度的方法来分配孔洞。

在[5]的基础上，考虑了层状复合材料微观应力状态控制的整体应力准则。对于幂律型材料插值模型，给出了有效应力矢量的一致模型：

(3)

其中ui为第i个单元的位移向量，矩阵Bi将位移和应变联系起来。根据这一定义，假定单元的应力状态与其相关的设计变量无关。请注意，虽然使用了替代材料方案来避免重新啮合，但应力只对实体材料进行评估，而对孔洞则直接设置为零。直观地说，这个应力插值模型对于变量的离散性来说似乎是多余的。然而，适当选择合适的插值模型对于敏感度分析是至关重要的，因此对有效敏感度值的公式是至关重要的。

2.2 整体p-范数应力测度

针对应力的局部性质，采用传统的p-范数全局应力测度来逼近最大应力

， (4)

其中sigma;_vm，，i是von Mises应力质心的第i个单元和p压力标准参数。众所周知，p-norm给平均压力p = 1时和方法另一方面，最大应力sigma;max当p→infin;。

直观地说，p的值越大越好，因为它提供了最大值的更精确的近似压力，当p增加时，p-范数问题变得病态。p值越大，优化过程中出现的振荡越严重，因为算法只针对峰值应力而不针对其他峰值应力。因此，必须选择适当的范数参数p的值，使问题的平滑性不恶化，同时最大应力能够得到充分的逼近。关于p-范数全局测度性质的详细讨论，请参考[10]。

在不损失通用性的情况下，假定单元von Mises应力的计算重心为

(5)

在这里，sigma;表示压力沃伊特符号和V是压力系数矩阵

(6)

在二维平面应力情况下，结果形式如下：

(7)

其中，sigma;_xx，sigma;_yy和sigma;_xy的单元应力矢量sigma;的二维情况。

2.3 优化模型

受材料使用约束的p-范数全局应力测量的最小化数学模型如下所述

(8)

其中K为整体刚度矩阵，U和F分别为整体位移矢量和力矢量。v_e为第i个单元的体积，V(x)和V_req分别为总材料体积和所需材料体积。

1. 敏感度分析

为了进行拓扑优化，需要提供全局应力测度对拓扑设计变量的敏感性。注意，通过BESO方法，敏感度仅对实体单元进行评估，而对孔洞单元则直接设置为零。根据(4)中定义，sigma;_PN对j设计变量求偏导为

(9)

根据(5)中von Mises应力的定义，单元von Mises应力对应力向量的导数等于

(10)

利用链式法则，可以得到第i个单元的von Mises应力对第j个设计变量的导数

(11)

由(3)中有效应力矢量定义可知，实体刚度矩阵D0和单元应变位移矩阵Bi与相关设计变量无关，其导数可进一步写成

(12)

其中矩阵Li从满足ui = LiU的全局位移向量中采集第i个单元的节点位移。假设给定的全局力矢量与拓扑变化无关。对状态平衡方程两边求导，得到

(13)

因此(12)可以进一步写成

(14)

将(14)代入(9)，p-范数全局应力测度的敏感度进一步表示为

(15)

用下列伴随问题的解

(16)

敏感度可以进一步简化为

(17)

将伴随问题(16)右侧的伪荷载与体力进行类比组装。

回顾有效刚度模型(2)，整体刚度矩阵对第j个设计变量的导数等于

(18)

其中k_j为第j单元的刚度矩阵，k⁽⁰⁾_j为实体材料对应的单元刚度。

(19)

其中Omega;_j表示第j单元的面积。

将(18)代入(17)，可最终评价p-范数全局应力测度的敏感度为

(20)

其中lambda;_j是第j个单元的伴随节点值的向量。

1. 扩展BESO变量更新方案

为了提高设计过程的稳定性和鲁棒性，针对高度非线性的应力行为，将[26]中最初开发、[27]中最近总结的标准收敛与独立网格BESO方法进行了扩展。特别是对敏感度值和拓扑变量进行过滤，使优化过程稳定下来；同时，通过历史信息进一步稳定过滤后的敏感度值。

通过BESO方法，确定了当前设计迭代(lth)中材料用量的目标体积

(21)

在这种情况下，进化率决定了要从上一个迭代的设计中移除的材料的百分比。一旦达到最终所需使用的材料体积，优化算法只改变拓扑结构，但保持材料体积不变。

在每一次设计迭代中，用表示单元敏感度相对等级的敏感度值来指导材料的去除和添加。当采用相同网格时，根据(20)计算的单元敏感度，全局应力测量的敏感度值定义如下

(22)

其中，作为指示符确保仅对实体单元(= 1)求敏感度值，对孔洞单元(= 0)求敏感度值为零。

为了避免网格依赖和棋盘格现象，首先采用过滤方案[31]对敏感度值进行平滑处理

(23)

其中，为线性权重因子

(24)

取决于过滤半径和i与j单元的单元中心到中心的距离Delta;(i，j)。

由于BESO材料模型的离散性和高度非线性的应力行为，将当前敏感度值与前两次设计迭代的历史信息平均，以提高其收敛性

(25)

其中上标表示设计迭代的次数。注意，为了进一步稳定设计过程，上述稳定方案不同于标准BESO方法中的原始方案^[26，27]。

所有的单元根据它们的敏感度值被分类归进一个向量。拓扑设计变量的更新是分别通过两个阈值参数和来实现材料的去除和添加的 ^[27，32]

(26)

目前方案表明，实体单元当他们的敏感度值低于时被删除， 孔洞单元当他们的敏感度值高于时被找回。参数和通过以下迭代算法获得：

1. 让，值由迭代确定，从而所需的材料体积满足当前迭代。

2. 计算接纳比，它定义为找回单元的体积除以当前迭代的总体积。如果le;，最大的接纳比，跳过接下来的步骤；否则，和在接下来的步骤中确定。

3.确定迭代只使用孔洞单元的敏感度值，直到最大的接纳比满足，asymp;。

4. 确定迭代只使用实体单元的敏感度值，直到所需的材料体积满足当前迭代。

有人认为，基于应力的拓扑优化[6]由于其具有高度非线性的应力行为，因此更可取的是过滤密度而不是敏感度。然而，需要强调的是，在BESO方法中，敏感度过滤方案(23)通过将过滤后的敏感度值赋给与孔洞相关的设计变量，也可用于材料从孔洞恢复到实体。因此，我们建议使用与上面相同的方案对拓扑变量执行额外的过滤

(27)

其中，线性权重因子定义为

(28)

与另一个过滤半径。使用满足当前材料体积约束的密度阈值，通过与上述相同的敏感度后处理步骤，将得到的中间密度拓扑转化为离散设计。

定义两个过滤步骤的过滤半径满足 gt; gt;，其中为典型的单元长度。根据网格离散化解决方案，敏感度过滤半径应该设置为一个较小的值(2sim;3)，以确保材料找回方案的优点不被抑制。同时，拓扑变量的过滤半径取较大的值，保证了设计的收敛性和网格独立性。

对于BESO方法的离散性，通常采用一系列设计迭代变化的启发式收敛准则^[26，27]。在目前的情况下，因为高度非线性的应力行为，这样的启发式准则是不合适的。已知从全实体设计达到目标材料体积所需的设计迭代次数可以

资料编号：[4383]