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由柔性尾鳍驱动的机器鱼的动态模型

摘要

本文提出了一种由柔性鳍尾驱动的机器鱼的动力学模型。所述机器鱼是由驱动关节连接的两个连杆组成的；前端连杆是刚性的，充当机器鱼的身体，尾部连杆则充当鱼尾。后者包括连接到柔性尾鳍的刚性元件，其水下振动负责推进。利用基尔霍夫在静止流体中的刚体运动方程描述了前端连杆的动力学。利用欧拉-伯努利梁方程对尾部振动进行了建模，利用莫里森方程描述了尾翼周围流体对尾翼振动的影响。从静推力数据出发，通过鳍尖位移来评价推力的产生；利用非线性最小二乘技术估计了其它凸性模型参数。根据圆形和s形轨迹的实验数据对模型进行了验证。该模型可以用于仿真、预测、设计优化和控制，因为它可以描述机器人的运动作为系统唯一输入的函数，即伺服电机的角度。在后者的应用中，提出了一种基于动态模型对控制器进行优化的航向控制算法。

关键字：仿生学，动力学，海洋机器人，机器鱼，振动。

1. 介绍

近几十年来，人们对模仿鱼类游泳的水上交通工具的设计和开发越来越感兴趣[1]。这些努力的主要动机是对开发能够进行长距离高效游泳或快速机动的机器人的需求[2], [3]。最近，动物游泳[4]和动物机器人互动[5]方面的科学研究、分布式传感领域[6]的新兴工程应用以及基于机器人的推广/教育项目，进一步推动了机器鱼的设计发展[7]。

文献中已经提出了许多机器鱼的设计方案，它们的复杂性、尺寸、性能和仿生学程度都非常广泛。一些原型利用一系列的电机，将其串联起来产生一定范围的身体波动[8]–[11]。大型机器鱼利用电缆、皮带、滑轮和齿轮等传动装置来实现尾巴的波动。智能材料，如离子聚合物金属复合材料、压电材料、静电薄膜和形状记忆合金，也被包含在机器鱼的设计中。这项工作主要研究了一种具有单电机的柔性尾鳍的尾部振动机器鱼。最近几个研究小组提出了这种配置，因为它设计简单，易于集成在微型机器鱼中。虽然这项研究的结果适用于大量的机器鱼，但这里我们关注的是一个具体的设计，这是第二代低成本的多用途原型，由一些作者开发，用于动物行为学和推广活动的应用。该机器鱼由两个通过驱动关节连接的连杆组成，即前端连杆和尾部连杆。后者包括一个刚性尾柄和一个柔性尾鳍，其振动产生机器鱼游泳所需的推力。

在[25]和[27]、[32]中，机器鱼要么被固定在一个实验槽上，以固定的频率搏动尾巴，来研究鱼的反应[27]、[30]，要么被远程控制，执行所需的轨迹[25]、[31]、[32]。为机器鱼提供自主能力,将大大提高其在动物类机器人互动的科学研究范围,以及在分布式环境感知的可行性应用。然而，自主需要控制，这通常是基于模型的，以提高鲁棒性和性能[33]。在实际应用中，基于模型的机器鱼控制具有挑战性，因为流体结构相互作用的复杂性和大量的自由度[14]，[26]，[34]。 不同于大多数的机器鱼模型[8]，[11],[14],[34],[35],我们寻求开发一个建模框架来预测机器鱼的运动,然而不知道它的波动,它应该用系统的独特输入来计算,也就是,与前端连杆上的刚性鱼柄的角度有关。 换句话说,虽然大多数现有的模型[35],假定完全控制了鱼的形状，通过Lighthill的细长体理论来计算正向推力[36],[37],但是我们的方案结合了一个分布式模型的尾部振动,以有效地描述在伺服电机输入下的游动。

本文以[25]中柔性尾鳍在静水中大振幅振动的实验和理论研究成果为基础，建立了非线性数学模型，从尾鳍的基体激励的角度预测了柔性尾鳍的振动。其中建立的简化阶模态模型考虑了尾翼的灵活性和环绕流体的影响，包括附加质量和非线性流体动力阻尼。具体来说，我们将[25]中的模态模型与前端连杆[38]的基尔霍夫运动方程相结合，建立了机器鱼从输入旋转到伺服电机的高度耦合动力学模型，可以充分预测机器鱼从输入旋转到伺服电机的运动。利用Lighthill的大振幅细长体理论[37]，通过实验直接获得的力测量数据和基于视觉的[25]分析得到的推力系数，近似计算了波状尾鳍产生的瞬时推力作为鳍尖总位移的函数。

所得到的六阶非线性动力学模型既考虑了前端连杆的刚体动力学，又考虑了尾部在水中的耦合振动。前端和尾部连杆的动力学是内在耦合的，因此尾部产生的升力、力矩和推力受前端截面运动的影响，反之亦然。尤其是机器鱼相对于前端连杆矢状面侧鳍尖位移的演化依赖于机器鱼在水中的整体运动，而前端连杆矢状面对前端连杆的升力、力矩和推力的贡献很大。

基于对执行s型轨迹机器人视觉数据采集的实验测量，采用非线性灰盒识别算法[39]、[40]估计模型参数。利用所识别的参数，在附加的s形和圆形轨迹上对模型进行了验证。虽然我们将该框架专门用于选择机器鱼的设计，但该方法适用于大范围的机器鱼[15]、[24]、[35]，通过简单的录像追踪实验可以直接识别模型参数。最终，实现了一种基于高架摄像机对机器人前端连杆测量反馈的航向控制算法。该算法利用比例-积分-导数(PID)控制器，通过极值寻找技术根据所识别的动态模型[41]的阶跃响应进行优化。

本文组织如下。在第二部分，描述了机器鱼的设计。第三部分给出了机器鱼的动力学模型，首先定义了机器鱼前端连杆的运动方程，然后定义了尾部的运动方程，最后给出了完整的六阶动力学模型。第四部分阐述了实验数据采集和参数识别的过程。此外，动态模型被用来调整控制器，以达到对机器鱼的航向控制起导航作用的目的。第五部分总结了结论和今后的工作。

二． 系统描述

按照[25]中给出的一般框架，机器鱼由刚性前端连杆(即身体)和由尾柄和柔性尾鳍连接的刚性尾部连杆组成；参见图1。与[25]不同的是，无论是身体还是尾柄，都容纳了机器鱼的驱动、动力、控制和通信电子设备，减少了机器鱼的总体尺寸，更紧密地复制了鱼的形态。舱室的内部结构包括预先确定的部件位置，以允许预先控制机器鱼的质量分布。此外，为了提高机器鱼的稳定性，在鱼身内部隔间的底部设置了一个小重量的空间，并利用o形环防水盖来放心电子设备的使用。该机器鱼被平衡为具有轻微的正浮力，并在水面附近工作。

在机器鱼的尾柄上安装了一种价格低廉、重量较轻、带有定制防水连接器的伺服电机驱动器(Hitec HS-55)，可以控制机器人身体和尾巴之间的角度。机器鱼的开/关状态和充电通过安装在机器鱼身体一侧的防水连接器进行控制。

该样机包括在尾柄后方安装一个配件，以适应模块化的柔性尾鳍。在[25]之后，该尾鳍采用夹层聚脂薄膜结构，其形状被选择为梯形几何形状，由于其优越的推力产生能力。

机器鱼通过尾巴的波动来从柔性尾鳍的获取推力，通过改变机器人尾巴相对于身体摆动的轴来在平面上产生推力和转向。通过改变尾拍频率和/或振幅来控制机器人的速度，从而影响推力产生的[25]。机器鱼的总体尺寸为长0.150米(含鳍)，宽0.026米，高0.046米;机器鱼的干质量为0.060 kg，机器人的湿表面积为14510。

三.机器鱼的动态模型

如第二部分所述，机器鱼分为两个相互作用的部分，即身体和尾巴。利用基尔霍夫线性和角动量守恒方程，建立了物体在平面内的运动模型[18]， [38],，[42]。根据机器人在水面附近的正常运行情况以及良好的俯仰和侧倾稳定性，我们假设为零升沉、俯仰和侧倾，从而得到了受浪涌u (t )、摇摆V(t)和偏航速度r(t)限制的三自由度运动模型，取时间为变量。通过阻力和升力分别作用于并垂直于鱼体的游泳方向，以及通过浮心处的水动力力矩来考虑机器人的水动力效应；如图3所示。根据经典的欧拉-伯努利梁理论[43]，考虑了周围流体的影响，利用Morison方程[44]，通过简化的阶模态模型描述了鳍在水中由于尾柄的运动而产生的弯曲。流体对运动的尾柄和鳍施加的力取决于尾巴相对于静止流体的绝对运动。这种力会影响鳍的弯曲和鳍尖由中部结构向外的整体偏移，直接影响推力的产生[18]，[45]，[46]。鳍的弯曲和由尾部运动产生的惯性效应对机体产生升力和力矩。综上所述，机器鱼身体的运动影响尾巴的振动，尾巴的振动又决定了施加在机器鱼身上的力和力矩。

这些耦合关系要求建立一个高阶非线性模型来描述机器鱼在平面上的运动。图3给出了该模型开发中使用的术语，以及描述物体相对于周围流体方向的特征角。

也就是一个固定的笛卡尔坐标系，分别用单位向量表示，，分别具有单位向量 ， ，且该物体的固定原点位于物体的浮力中心。符号规定的选择是为了与近期文献[8]、[18]、[26]中相似的机器鱼模型保持一致。由于质量分布的设计，物体的质心位于z轴上，在浮力中心下方约0.010 m。鱼体是关于xz平面对称的，半宽度为0.013 m。虽然物体相对于yz平面是不对称的，但沿x轴从浮力中心到关节处和鱼体前端的距离是相等的，并给出为0.033 m。机器鱼尾巴的长度，从铰点到鳍尖的长度为=0.085 m，其中，0.035 m为尾柄的长度，0.050 m为鳍的长度，机器鱼的航向定义为x轴与X轴的夹角。机器鱼的迎角，逆时针方向为正，是物体的线速度矢量，大小，与x正轴形成的角度。

1. 身体动力学

在平面内运动的鱼体适应模型描述为近容器水面运动，在[38]为

(1a)

(1b)

(1c).

其中为物体质量，为其绕z轴的质量惯性矩。此外，，和是恒定流体动力学导数，描述了由于周围的流体对附加质量的影响。这里和以后之后的公式中，叠加的点表示时间导数。作用于物体上的力分量和力矩如图3所示，由[47]、[48]给出

(2a)

(2b)

. (2c)

在这里

(3a)

(3b)

(3c)

为作用于物体上的水动力阻力、升力和力矩，其中1000为水的质量密度；，，和为阻力、升力、恢复力矩、粘滞力矩系数；并且为尾柄相对于x轴测量的摆动中性轴或转向角；参见图3。转向角是影响机器鱼整体转向运动的输入参数。为了与文献[20] 、[25]一致，参数，，和均按机器鱼湿润表面积进行缩放。并且在(2)中的 ， 和为由于机器鱼尾部的波动作用在机器鱼铰链上的推力、升力和力矩。

B .尾部动力学

机器鱼的尾部通过一个主动铰链连接到身体上，在物理上对应于位于尾柄的伺服电机轴。

铰接点与身体固定框架的起点沿着负轴相距一定距离。尾鳍与x轴之间的夹角

(4)

作为模型的输入参数，通过角度幅值B、频率f、相位滞后以及机器鱼的转向角表示。 (4)中的第一项，对应于图3，描述了尾鳍关于的周期波动。转向角可以保持恒定，提供直线或曲率轨迹的恒定半径，也可以在时间上以通常小于比例的速度变化，以便在机动过程中产生足够的推力，以适应更复杂的轨迹和机动。

在刚性和柔性梁上分别建模了尾柄和尾鳍。刚性梁与移动铰链相连，柔性梁悬吊在其中;如图3所示。鳍的弯曲刚度，E为材料的杨氏模量，h是鳍的厚度，是鳍的长度与宽度的关系,以米为单位，是在材料沿鳍轴横坐标,从0到。此外,鳍的面积和每单位长度质量，鳍的总质量为千克。最后,实验发现的值为 [25]。在[25]之后,通过横向位移场描述了鳍的弹性弯曲，在那里鳍的未变形构型,表示为图3的阻尼点线，并与单位矢量平行，其中。在[25]中概述的程序允许对鳍尖位移来描述。

该鳍的水下强迫振动由如下偏微分方程描述 [43]:

(5)

在这里,一个质点表示对的微分,一个点表示向量的内积。方程(5)是由边界条件的补充,包括与尾柄的连接,以及在鳍尖上的自由端条件;进一步的细节参见[25]。在(5)中,是由于流体结构相互作用而产生的单位长度的力，是鳍上点的加速度。不同于[25],机器鱼的铰链并没有在固地框架中固定。因此,身体运动和尾巴运动产生绝对加速度。通过简单的运动学,我们得到

(6)

在固地框架中,是铰链的位置,可以从主体固定框架原点位置计算。假设在真空振动的基本模式形状(对于梯形光束几何)中振动,并利用经典的Galerkin方法找到了推进运动的近似解,例如,[49]。因此,对于鳍的位移,相对于鳍的未变形构型,是由

(7)

其中因此

(8)

明显的是,在鳍上的横向加速度是对身体的铰链点加速度的解释。由于包含的流体,每单位长度的力由Morison方程给出(见,例[44])

(9)

描述阻尼和附加质量效应,包括在适度大振幅振荡中产生的非线性,[25],[50]。在目前的工作中,通过曲线拟合的参数在[25]中得到了参数值的选择,在1.0 - 2.0赫兹的波动频率中获得了这些在当前工作中的值。从适合于2.5赫兹的值推断出来,本研究中研究的平均频率相对应。此外,沿着鳍的速度是

(10)

其中第一项为刚体受尾柄作用的运动，可通过简单运动学计算。将(5)与(8)、(9)结合，将(5)的两边同时乘以，从0到积分，得到尾翼振动模态模型如下:

式中，K、P、M、G、均在附录中记录。我们注意到，K描述了作为扭转弹簧的鳍的模态刚度，而M模态质量既解释了鳍的干质量，也解释了附加质量现象。P和G也与惯性效应有关，受鳍刚体运动的影响。与水动力阻尼有关，水动力阻尼又与与静止流体的整体运动有关，即弹性弯曲和刚体叠加运动。 (11)中的所有参数都是先验的，不需要进行实验。

我们注意到(11)对于关节旋转无法独立求解，因为鳍尖位移的演化与机体运动有关。同样的道理，也不能独立计算作用在铰链上的扰动力，即升力和力矩。由图3可知，扰动为

(12a)

(12b)

其中

(13)

包括尾柄质心角动量的变化率和铰链线动量的力矩。这里,是尾柄的质量等于1.70千克,尾柄的质量惯性矩对其质心(从其SolidWorks获得CAD模型)和等于2.72,同时考虑伺服电动机的存在,和尾柄是组件的质心加速度方向,位于一个距离0.01米的铰链和公式

(14)

资料编号：[3995]