全文总字数：2706字

与调和级数相关的级数敛散性问题

摘要：本文将通过研究调和级数与相关级数敛散性的实例及其应用，来为以后的工作与学习奠定坚实的基础。级数作为一种重要工具，研究其重要性质，带来的不仅是数学学习中的便利，也对信息技术以及物理方面的学习和研究有着重要意义。

关键词：调和级数；敛散性；欧拉常数；发散级数

0 引言

随着数学分析的不断严密化，我们发现虽然级数的发展是跌宕起伏的，但是也是令无数数学工作者所着迷的。而调和级数作为发散级数中的一颗明珠，研究其敛散性对于研究所有类型级数的敛散性有着指导性意义。故本文将从调和级数的敛散性着手，逐步开展对其余相关级数敛散性的研究。随着级数理论的发展，研究级数敛散性的意义显得愈发重要。

1 级数的敛散性

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：收敛＜＝＞任意给定正数，必有自然数，当时，对一切自然数 ，有，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

一个数项级数如果不收敛，就称为发散，此级数称为发散级数。一个函数项级数如果在（各项的定义域内）某点不收敛，就称在此点发散，此点称为该级数的发散点。了解级数的敛散性对于接下来的课题研究有着重要意义，本篇论文将通过围绕调和级数的敛散性，逐步引申到其余与调和级数相关的级数的敛散性的介绍。