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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

谱方法是求解微分方程的重要数值方法。它的主要优点是高精度，这使得该方法能够与有限差分、有限元一起而成为微分方程的三大数值方法之一。它的缺点是不能灵活地适应复杂的计算区域，从而阻碍了它的广泛应用和发展。解决的办法之一就是将问题所在的区域分解成若干子区域，在每个子区域上使用谱方法。当针对具体的问题建立了谱方法的数值格式以后，格式的误差分析就非常重要。关于谱方法的误差分析已经有大量的工作，但最优的收敛阶估计并不很多，尤其对于非线性问题，好的结果更少。本文就致力于kdv方程的谱方法，讨论其误差分析，即格式的数值稳定性和收敛性(收敛阶)。特别关注的是非线性问题以及收敛阶的最优估计。

国内外研究现状

国内外对微分方程解法的研究已经有很长的历史了，最初的研究工作主要集中在物理、力学、几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程。早期的微分方程研究重点在理论上，近些年，随着实际操作中与之相关的数值研究越来被人们关注，谱方法作为一种有效数值求解微分方程的方法，其研究方法和研究结果也随之引起人们更多地关注。

谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可分为函数近似和方程近似两种近似方式。从函数近似角度看，谱方法可分为fourier方法，chebyshev或legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题，这些方法的基础是建立空间基函数。从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的collocation法，在谱空间进行离散求解的galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的pseudo-spectral法。collocation法适用于非线性问题，galerkin法适用于线性问题，pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。

2. 研究的基本内容

本文建立了基于谱方法下的kdv方程数值模型，选取fourier级数作为基函数，首先应用fourier谱方法离散方程的空间变量，在选择的计算域上进行fourier变换，得到时间上耦合的常微分方程组；其次在时间方向采用四阶龙格库塔方法对方程进行离散。在模型中为求解变换后的线性项，本文引入积分因子法；为了能方便的处理正交网格时间步长，提高计算速度，本文又引入伪谱方法。最后利用matlab软件数值模拟kdv方程的孤立波现象，描述了单个孤立波运动情形,将精确解与数值解进行误差比较，也实现了两个孤立波交互运动的算例，这两种方法的数值结果都与解析解拟合较好。

1、简要概述谱方法的研究进展和意义，给出kdv方程的相关思想；

2、介绍fourier级数和四阶龙格库塔法的基本知识；

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施安排：首先，在指导老师的帮助下确定论文的题目及研究方向；其次；查阅论文所需的相关资料；最后，开始着手撰写论文，遇到问题及时和指导老师沟通。

进度安排：2月10日-3月3日认真查阅论文相关文献，构思论文结构

3月4日-3月10日翻译外文文献，列出论文大纲

4. 参考文献

[1]陈艳萍. 偏微分方程高效高精度数值方法研究[j]. 华南师范大学学报(自然科学版),2011,(04):1-9.

[2]向新民. 谱方法的数值分析.科学出版社,2000.

[3]王建瑜. 谱方法在计算流体力学中的应用研究[d].西北工业大学,2007.