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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

随着物理，生物，数学等学科的迅速发展，产生了大量的线性和非线性椭圆型偏微分方程和方程组，许多物理现象和几何问题都可以用一个或者一组线性或非线性椭圆型偏微分方程来描述，例如天体物理中的lane-Emden方程，Euler-poission方程的平衡态，量子力学中的schrodinger方程，数学中的谐函数，p-Laplace方程，Monge-Ampere方程和k-Hessian方程等研究这些方程的解的存在性对于科学发展有着重要的意义。例如运用Monge-Ampere方程解的存在性可以判断微分几何中是否存在高斯曲率为常数的曲面，研究生物学中的非线性椭圆型方程解的存在性可以认识几类物种共存的问题。

一方面，径向对称性和单调性是椭圆方程及方程组正解的一个重要的性质；另一方面，椭圆方程解的正则性一直以来都受到数学家的广泛关注。而径向对称解除了有线性径向对称解，非线性径向对称解之外，还有半线性径向对称解，但本文着重研究的是线性径向对称解及非线性径向对称解.

国内外研究现状

国内外现对径向对称解的研究有很多，比如非线性椭圆型方程的解；一类超线性Dirichlet问题无穷多个径向对称解的存在性：应用常微分方程的能量分析法和相平面分析法证明了球上一类超线性Dirichlet问题存在无穷多个径向对称解。首先将所研究的问题转化为常微分方程，进而利用压缩映射原理证明常微分方程问题存在解，从而得到原问题存在无穷多个径向对称解。这一结果对某些不满足PS序列紧性条件和超出Sobolev嵌入定理临界指数的非线性增长条件仍然成立，并给出具体实例,说明了采用这种方法研究问题的优势；一类半线性合作椭圆系统在无界区域上的径向对称解：通过引进一个新的泛函,作者运用Z₂-山路引理获得这个泛函在径向对称函数空间上的临界点，从而得到一类半线性合作椭圆系统在无界区域R³上存在无穷多个径向对称解的充分条件；关于非线性椭圆型方程径向对称解的唯一性，广义平均曲率方程组的径向对称解：在单位球内考虑广义平均曲率方程组具有Dirichlet边值条件的径向古典解，运用摄动技巧、拓扑方法及比较原理,在一个适当的条件下，证明了广义平均曲率方程组径向对称解的存在性等。以上方面是现国内外其他的现有的有关径向对称解的一些研究方向。

2. 研究的基本内容

本文研究了在全空间下几类偏微分方程的径向对称解。将主要围绕几类重要的非线性椭圆方程开展研究，例如无穷拉普拉斯方程、p-laplace方程、极小曲面方程、monge-ampere方程，k-容许，k-hession方程等。给出了关于这些方程的一些定义及其推理，并运用该定义和推理解决了一些实际题目。当方程结构比较复杂时，相应的常微分方程的求解也具有一定的难度。

本文的第一章解释了径向对称解应用的范围及在学术上的意义。第二章列举了本文要用到的谐函数的定义即径向对称解，并计算了一类特殊p-laplace方程的径向对称解。第三章则列举了monge-ampere方程，k-容许，和k-hessian方程的一些定义，并求出了特殊非线性椭圆型方程monge-ampere方程，k-hessian方程的径向对称解。但这些只是一些特殊例子，径向对称解在实际的学术研究中还有更加普遍且便捷的应用。

关于径向对称解，需要我们解决的问题还有很多，可研究范围也很广。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

（一）实施方案

1.文献研究法：搜索整理相关研究自来

2.计算法：通过计算一些特殊题目来推导出普遍规律。

4. 参考文献

[1] juutinen, p., kawohl, b.: on the evolution governed by the infinity laplacian. math. ann., 335, 819–851 (2006)

[2]liu fang, yang x.: solutions for inhomogeneous equation involving infinity laplacian,nonlinear analysis,75, 5693-5701 (2012）

[3]portilheiro, vazquez.: a porous medium equation involving the infinity laplacian viscosity solutionsand asymptotic behavior,conmunications in partial differential equations, 0360-5320 (2012)