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利用自适应生物生长和迭代有限元方法对机械零件形状优化计算的收敛性

Mohammad Zehsaz, Kaveh E. Torkanpouri, Amin Paykani

Department of Mechanical Engineering, University of Tabriz, Tabriz, P.O. Box 51666-16471, Iran

copy; Central South University Press and Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

摘要：机械部件的形状优化是近年来已经考虑的问题之一。提出了不同的方法，如自适应生物学，以降低成本和提高准确性。研究了步长因子的影响，控制点的数量和控制点坐标的定义方式对收敛速度的影响。使用ANSYS参数化设计语言（APDL）编写代码，该语言接收所研究的参数作为输入并获得组件的最佳形状。结果表明，为了实现成功优化，步长因子应该在特定范围内。发现在定义控制点坐标和选择算法的刺激矢量的任何方向时使用任何坐标系也将产生最佳形状。此外，通过增加控制点的数量，在研究的边界中产生一些不均匀性。实现可接受的精度似乎是不可能的，由于在所研究的边界处形成锯形，称为“锯位”。

关键词：形状优化; 适应性生物生长; 控制点; 步长因子; 优化率

1简介

应力集中是大多数机械部件在不同载荷下出现的现象，因为部件设计的形状变化。 形状优化降低了应力集中系数。 通常，函数被定义为形状优化中的目标函数。 目的是以满足治理约束的方式最小化目标函数。 在大多数情况下，设计变量是研究的几何边界坐标。 形状优化以下列形式表示[1]：

Minimize (1)

such that (2)

(3)

(4)

通过使用拉格朗日函数和库恩-塔克尔条件，方程可以被转换用来获得设计变量，因为所获得的方程是非线性的。 方程的直接求解是困难并且昂贵的，所以该解决方案是通过使用迭代方法根据以下公式[1]来解决的：

其中，和是初始猜测，分别是沿搜索方向和搜索方向的距离。迭代操作继续，直到满足收敛标准。否则，定义的有限最大迭代将导致迭代操作的停止。由于最佳形状是Von-Mises应力分布在其边界上均匀的轮廓[1-3]，因此收敛标准通常被定义为研究边界上最大和最小Von-Mises应力之差的函数[3]根据使用迭代的所有求解方法，选择设计变量（）的初始值作为初始猜测并从问题的物理学中选择。使用前一步骤数据[1]在任何步骤计算。与所有形状优化问题一样，该方法还包括获得所有设计变量以最小化具有满足约束的目标函数，不同之处在于，目标函数被定义为研究边界上的最大Von-Mises应力并且计算是因为它的最小化，与失效问题相关的约束函数被删除，换句话说，如果我们得到答案，它的满意度是确定的。根据所讨论的问题，唯一的约束条件是设计变量的几何约束。解决这种方法的主要思想是基于MATTHECK教授[2]在自然界各种力量下改变生物结构的观察，他根据他在自然界中观察到的公式中的值来说明。 （5）是任何点上Von-Mises应力的函数。 为了找到最佳形状，定义的方向也很重要。 因此，其他研究人员[3-4]在前一步骤中考虑了与曲线垂直的方向。 这是由于生物结构随着热膨胀现象而增长所造成的[2]。 同时，没有提供选择这种方向的数学原因。 MATTHECK教授的求解算法如图1所示。

图1 MATTHECK教授的求解算法[2]

参考文献中继续这种趋势。 [3]用于使用上述方法的形状优化。 他们将值定义如下，并将其称为，并将其方向视为垂直于上一步骤中获得的曲线。 这可以在图2中看到。

图2 HELLER等[3]研究边界中的定义方式

(6)

研究人员在他们的工作中报告说，在这种方法中可以看到致命的网格扭曲。它可能导致每一步节点位置的严重差异。他们在设计变量上使用平滑方程来防止这种现象的发生[3]。他们还指出，在某些情况下计算的收敛速度非常低，并且设计变量的平滑应该在终端迭代中无效以达到最终答案[3]。 LIANG等人[5]提出了一种基于性能的进化拓扑优化方法，用于自动开发钢筋混凝土结构中的最佳支撑 - 拉杆模型。他们计算了元素去除元素的虚拟应变能量，同时他们使用性能指标来监控优化过程。 CERROLAZA等[6]使用遗传算法和-样条曲线建模来优化边界元模型。 方和王 [7]提出了一种新的非支配算法，用于提高遗传算法在解决多目标优化问题中的效率。 KRISHNAPILLAI和JONES [8]在基于疲劳的优化问题中使用了遗传算法。所使用的模型在一个完整的计算机辅助设计过程中集成了几何建模，结构分析和优化。 KRISHNAPILLAI和JONES [9]研究了飞机部件的3D优化设计。他们比较了遗传算法解决方案与生物解决方案的多功能性和准确性。结果表明两种解决方案都很一致。 PATHAK和SEHGAL [10]提出了一种新的零级形状优化方法，该方法使用人工神经网络进行结构形状优化以加速收敛。在当前的研究中，为了移动控制点，向量d定义如下：

(7)

其中，，和s分别是搜索方向，Von-Mises应力，阈值应力和步长因子。

为了研究收敛，为每次迭代定义了收敛函数的优化过程：

(8)

很自然地，通过达到到零，Von-Mises应力的分布变得均匀。 在当前的研究中，精确度被认为是0.000 1.在这项工作中，步长因子值的影响，研究了控制点的数量和控制点在收敛速度下的坐标定义方式。 因此，一些代码是使用ANSYS参数化设计语言（APDL）编写的，它接收所研究的参数作为输入，并获得本研究中所研究组件的最佳形状。 当前工作的解决方案流程图如图3所示。所选元素类型为Plane82，模型在平面应力条件下求解。

图3当前工作流程图

用于当前工作的样品组件被认为具有在张力和平面应力下的侧面圆角。 组件的几何规格如图4所示。对问题的控制约束被认为是沿x和y方向的两个几何约束，如下所示:

 (9)

 (10)

步长系数，控制点数和笛卡尔坐标系被认为是变量31，并且在y方向上具有自由度; 否则，将说明与他们相反的情况。

图4当前工作中研究样本的几何形状

2步长因子的影响

根据公式（6）和（7），考虑步长因子以抵消刺激向量。 在先前的研究中假设该值是恒定的。 根据HELLER等[3]进行的研究，降低该值导致迭代次数增加，以达到所需的精度。 另一方面，增加步长因子加速了优化过程。 但增加步长因子的值增加了优化计算偏差的可能性。 HELLER等[3]基于试验和误差方法为其研究样本提供了适当的步长因子值。 这种情况如图5所示。

图5 Heller等人[3]最佳步长因子的计算

在当前的工作中，在系统的收敛期间使用收敛 - 迭代图的斜率。虽然收敛 - 迭代图的斜率是负的，但是应该增加s的值以提高速度（通过乘以1.1），并且在发散期间，应该减小它的值以平衡系统（通过将其乘以0.6）。使用这种技术将步长因子的值保持在一定范围内。对于更高的收敛速度，在计算中发散的过程中，通过减小步长因子的值来使用先前迭代的信息。此操作继续，直到达到新的收敛。使用这种简单的算法消除了步长因子所需的适当初始猜测，并且通过将其他因素视为常数，优化计算的迭代次数减少。为了比较，研究了200个初始迭代的5个案例。这些情况在表1中给出，它们的结果也在图6中示出。

表1用于步长因子的值

图6步长因子对200次迭代中收敛函数行为的影响

从图6中可以明显看出，在较大的s值处的收敛在计算开始时较高，但是由于系统的平衡减少，模型在几何上是无组织的，并且软件立即停止计算。 很明显，在较大的s值（即0.005）下较早发生分歧。 同时，通过使用可变步长因子，计算将在更少的迭代中满足控制收敛标准。 步长因子的变化如图7所示。

图7可变步长因子沿优化过程的行为

3坐标对控制点的影响

由于MATTHECK教授[2]首次提出了自适应生物生长模型，因此大多数后期研究工作假设使用具有两个自由度的笛卡尔坐标系中的控制点以及垂直于曲线的方向。每次迭代。然而，在定义控制点时使用具有两个自由度的坐标在编码优化方面具有缺点。主要的基本问题是在控制点中产生干扰，通过优化迭代导致模型中的混乱。由于研究边界是使用控制点定义的，另一方面，由于优化计算中存在迭代（有时达到数千次），因此建模应该在没有用户干预的情况下自动完成。在控制点沿x和y方向的移动中存在两个自由度增加了这些点之间的干扰的可能性。换句话说，应该保持控制点的布置以便成功建模。如果控制点的顺序是混合的，优化过程将完全停止并带有永久性错误消息，不幸的是，当超过一半的计算完成时，这种情况经常发生。该问题示意性地示于图2和3中。另外，当使用具有两个自由度的坐标时，控制点在最终形状上的分布通常是不均匀的，并且因此，在曲线的某些部分，精度非常好并且在一些部件是不可接受的。

图8笛卡尔坐标系中控制点的示意图，该坐标系具有两个自由度和先前研究中的刺激矢量方向

图9在具有两个自由度的笛卡尔坐标系中进行一些迭代后的干扰控制点（节点4和5）

为了阐明刺激向量与控制点坐标定义方式之间的关系，研究了不同刺激向量方向的四个不同坐标。第一个坐标基于最近完成的研究，包括笛卡尔系统中控制点的两个自由度，并且刺激矢量的方向垂直于每次迭代中的曲线。另外三个坐标被认为是极地系统中控制点的定义，在r方向上具有一个自由度，在笛卡尔系统中控制点的定义在y方向上具有一个自由度并且在控制点的定义中笛卡尔系统分别在x方向上具有一个自由度。显然，已经定义了具有一个自由度的三个坐标。使用这样的坐标主要使得不可能发生干涉，并且可以预期控制点的位置的相对更均匀的分布。在图10,11和12中示意性地描绘了三个其他坐标中的控制点的定义方式。

图10极坐标系中控制点的定义，r方向有一个自由度

图11笛卡尔系统中控制点的定义，y方向有一个自由度

图12笛卡尔系统中控制点的定义，在x方向上具有一个自由度

然而，通过使用这样的坐标，控制约束也很重要并且需要对问题的形状优化进行初始分析。 因此，研究了具有侧面圆角的部件。 通过使用沿x和y方向具有两个自由度的坐标，不需要考虑算法的特定约束。 但是根据形状几何和对问题的控制约束，当使用在r方向上具有一个自由度的极坐标系时，考虑坐标原点的位置很重要，因为最佳曲线必须在使用的坐标中定义。 由于目标是在两个不同横截面的连接部分中找到最佳形状，显然在研究边界的较大横截面处将发生最小应力。 现在，通过使用MESKE等[1]提出的所有这些，可以预测近似的最佳形状（图13）。

图13 MESKE等[1]提出的形状

根据上述研究，最佳曲线与控制几何约束的碰撞概率只能在横截面的较大侧面上实现。 如果最佳曲线与控制几何相撞，则曲线上的应力（c）应小于边界上的应力（f），这仅在最佳曲线接近控制约束的情况下才有可能。 横截面。 然后，选择坐标系原点的位置对于预测最佳曲线的两个部分是重要的，并且为此目的的最佳位置是两个横截面碰撞的坐标系的原点。

通过使用在y方向上具有一个自由度的笛卡尔坐标系，原点的位置并不重要，并且控制点的移动和驱动矢量的方向基于问题的几何形状。然而，通过使用在x方向上具有一个自由度的笛卡尔坐标系，位于几何约束上的控制点从收敛标准的计算中消除。根据MESKE等人提出的理论，如果最优曲线与控制几何约束相冲突，那么点处的应力值将小于最佳边界上的均匀应力。这只会产生一些额外的编程线。在由于控制点的干扰而在x和y方向上具有两个自由度的坐标的情况下分析结果时，在初始迭代中停止优化计算。如果使用在r方向上具有一个自由度的极坐标系，则由于没有干扰，计算将继续，但是满足收敛标准所需的迭代次数是不可接受的。这种现象是由于所研究部件的最佳轮廓形状。由于部件的最佳形状具有连接到较小部分的非常小的斜率（几乎为零），因此沿r的选择运动方向延迟了对所提到的部分的预测。如果是笛卡儿使用在y方向上具有一个自由度的系统，或者通过在笛卡尔系统中定义具有x方向上的一个自由度的控制点，优化将在可接受的迭代次数中执行。但是，使用在y方向上具有一个自由度的笛卡尔系统导致在更少次数的迭代中获得最佳形状。研究案例的收敛函数的行为可以在图14中看到。很明显，使用不同的坐标系统只会影响迭代次数，对最终答案没有任何影响。

图14使用的坐标系定义控制点对250次迭代时收敛函数行为的影响

4控制点数量的影响

通过减少控制点的数量，降低了最佳轮廓的精度，并且似乎该因子的增加导致最佳轮廓估计的精度的增加，因为在定义最佳曲线时使用了更多的点。基于目前的研究，似乎通过增加控制点的数量，在研究的边界中产生一些不均匀性的可能性也增加。在这种情况下，优

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资料编号：[2629]