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六自由度的四旋翼无人机系统非线性PID控制器设计

摘要：提出了一种非线性PID控制器来稳定6自由度四旋翼无人机系统的平移和旋转运动，并使其能够以最小的能量和误差跟踪给定的轨迹。采用欧拉-牛顿法建立了完整的六自由度四转子系统的非线性模型，并将其应用于设计过程中，同时考虑了速度和加速度矢量的影响，得到了更精确的六自由度四转子模型，更接近于实际系统。设计了6个非线性PID 控制器，分别用于滚转、俯仰、偏航、高度和位置子系统，其中使用遗传算法 (GA) 调整其参数，以最小化多目标输出性能指标 (OPI)。从赫尔维茨稳定性定理的角度，在一定条件下，利用非线性PID控制器的增益，分析了六自由度无人机子系统的稳定性。在 MATLAB SIMULINK 环境下完成了仿真，包括三种不同的轨迹，即圆形、螺旋形和方形。对六自由度无人机四旋翼系统的六个子系统分别进行了非线性PID控制器与线性 PID 控制器的比较，仿真结果表明，非线性PID 控制器在速度、控制能量和稳态误差方面是有效的。

1. 介绍

全自主四旋翼无人机是一种不需要驾驶员控制的无人机。方形转子有四个臂，每个臂上有一个转子。置于相反臂上的两个转子以顺时针方向旋转，而其他转子以逆时针方向旋转。由于四转子系统的转子数少于自由度数，因此是一个欠驱动系统，这就使得控制器的设计成为一个难题。近年来，由于其简单的低成本、不同尺寸和可操作性的实现，四旋翼无人机的应用有所增加。许多应用程序是针对危险地点、灾难和救援而建立的，如：《工业火灾救援系统》，《针对危险区域的四旋翼无人机传感系统设计》，《基于低成本全自主 GPS的四翼直升机灾害管理》。也有在农业中应用，如：《使用四翼机无人机的地形拼接》，《使用带滤光片修正相机的四翼机提取农田 NDVI 图像》。甚至在帮助性质工作也有应用，如：《用飞行机器人 3D 打印》，《通过强化学习探索四翼无人机服务员如何提供饮料》。《无人机在娱乐、AVR 增强和虚拟现实中的应用》调查工作成功调查了四旋翼无人机在娱乐方面的应用。对于多智能体系统和地层控制的研究中也可以找到许多应用，如：《基于分层 MPC 方法的具有避障和自碰撞的四边形协同编队控制》，《基于多曲面控制的多直角坐标自适应前导跟随控制》，《用于森林火灾监测和探测的多无人机协同控制》。对于多智能体系统的更多应用，人们发表了《多旋翼编队控制研究综述》。许多研究人员使用不同类型的控制器研究控制设计和开发。最常用的控制器之一是 LPID 控制，因为它简单、易于实现，并在工业中得到广泛应用，如：《四旋翼无人机的控制设计》,《基于混合记忆重力搜索算法的四翼机系统 PID 控制器整定》，《基于 matlab simulink 的四线转子控制系统数学模型的仿真》，《先进的无模型PID和基于模型的LQI姿态控制的比较研究》。另一方面，它有许多缺点：1）有时由于风力的影响，它给出高控制信号，因此，超调和继续随着累积误差的消除而增加（被另一个方向的误差抵消），2）微分器导致噪声放大。本文重点研究了近二十年来倍受研究人员关注的 NLPID 控制器。一种非线性分数阶 PID (FOPID)在《使用基于改进粒子群优化的分数阶 PID 控制器的自主移动机器人的运动控制技术》一文中被提出。它使用比例增益和导数与积分作用的分数的组合，以增加控制器的灵活性。而在而在 《一种应用于冗余度机器人的非线性分数阶 PID 控制器》中，将双曲型非线性与 FOPID 相结合，得到了鲁棒有效的 NLPID 控制器。的基础上，《一种自适应高斯非线性 PID 控制应用于降压型 CC-CC 变换器的性能分析》分析了自适应高斯 NLPID 控制器。研究者在《基于非线性 PID 的四旋翼无人机无源容错控制》中提出了一种由 PID 结构和步进程序结合得到的 NLPID 控制器。其他研究人员致力于整合经典 PID 和滑模控制 ，如《DC-DC 转换器的滑模 PID 控制》。其中许多 NLPID 控制器都是在四转子系统上研究的，《针对四转字姿态调节的新型非线性 PI 和PID 控制器》提出了一种非线性 PI和PID 控制器，采用 NLPI 控制器控制四转子的水平运动，采用 NLPI 控制器控制四转子的水平运动，采用 NLPID 控制器控制垂直运动和定向运动。《基于滑模非线性 PID 控制的四转子控制器理论与实验》设计了一种基于滑模的 NLPID 控制器，用遗传算法的最小多目标函数调整控制器参数，但采用简化的四转子模型进行仿真，得到了不准确的结果。该控制器包含一个高阶导数项，在估计导数时，会导致噪声放大和不准确。用于四旋翼无人机的其他控制器有：LQR-PID《基于滑模非线性 PID 控制的四转子控制器理论与实验》，几何控制，非线性模型预测控制，如《无人机的非线性模型预测控制》，自适应控制，如《使用自适应控制的四旋翼无人机控制系统的设计和建模》，模糊控制，如《四旋翼模糊 PID 控制器的设计》，《具有非常规隶属函数的四翼机的数学模型和智能控制》，四转子系统进一步研究的控制算法可以在《对四旋翼无人机的自主式四边形的控制算法的评述》找到。

在我们的前期工作中《从 PID 到非线性状态误差反馈控制器设计》提出了一种新的 NLPID 控制器，在本文中展示出来。通过增加积分项的下限来提高闭环系统的稳定性，实现了对积分项的修正。此外，还利用赫尔维茨稳定性判据对六自由度四转子系统的稳定性进行了验证，并将其性能与流程工业中应用最广泛的四转子系统控制器（即 LPID 控制器）进行了比较。6自由度无人机的控制系统包括6个NLPID 控制器，3个NLPID 控制器用于平移系统，其余的用于底层无人机的旋转系统。每个 NLPID 控制器有十二个调优参数；使用 GA 对它们进行调优，并针对所提出的多目标 OPI（积分时间绝对误差 (ITAE) 和控制信号的平方 (USQR) 的加权和）最小化进行优化。

第二部分介绍了六自由度四转子系统的建模。接下来，第3节描述了问题陈述。：第 4 节给出了主要结果：NLPID 控制器设计和稳定性分析。第 5 节说明了数值模拟和讨论，随后是第 6 节中的结论和未来工作。

2. 六自由度无人机四旋翼的数学建模

要控制任何系统，首先必须建立数学模型。该数学模型将描述系统对不同输入的响应。六自由度四转子系统的输入是转子速度 (X) 的组合，在这种情况下是的力f控制高度 (z)，分别控制角度（x,y,z,）的力矩（x,y,z,），参见 (1)。各参数的含义见表 1。

一些研究人员只依赖于六自由度四转子系统的加速度方程，而不考虑速度。本文建立了六自由度四转子系统的数学模型，并考虑了加速度矢量和速度矢量的影响，使得六自由度四转子系统的非线性模型更精确，更接近于实际。基于欧拉-牛顿格式推导了六自由度四转子系统的非线性数学模型，以表示刚体的三维运动。图 1为六自由度四转子动力学关系框图。

为了控制六自由度四转子系统，需要（x,y,z,）和() 旋转运动的组合。这可以根据牛顿定律得到。

3. 问题陈述

假设以下方程式代表图 2所示的非线性 6自由度DOF 四转子系统：

其中，X =Y=[x,y,z, ,u,v,w, p,q,r]是四转子系统的线性、角位置和速度矢量，Y 是实测输出，U=[] 是六自由度四转子系统的控制输入矢量，需要进行设计，以稳定欠驱动不稳定六自由度四转子系统，并使其遵循符合最佳时域规范和最小控制能量的特定轨迹。

4、主要结果

4.1. 非线性控制器设计

它是误差信号，其导数，和由增益（ Kp;Kd;Ki ）加权的积分R 的线性组合。为了使非线性六自由度四转子系统获得更满意的响应，开发了 NLPID 控制器，它将 LPID 控制器的每一项用非线性函数 代替， 是误差信号的符号和指数函数及其导数和积分的非线性组合，如下所示

其中可以是e，e的倒数，或 e的积分，函数 是一个系数为，的正函数。为了提高 NLPID 控制器对小误差的灵敏度，采用了非线性增益项 。对于接近零的小误差，非线性增益项 值接近 ki1 ki2 的上界，而对于大误差，非线性增益项 接近 ki1 的下界，这意味着非线性增益项 在扇区[]中有界，见图 3。在误差不断变化的情况下，采用 NLPID 控制可获得更少的控制能量。本文在《PID 到非线性状态误差反馈控制器设计》的基础上进行修改，对 NLPID 控制器的积分项 (6) 作了修改，在积分项中增加了下限

针对六自由度四转子系统存在的欠驱动现象，将六自由度四转子系统的控制系统分为两部分。第一部分是输入控制可用的地方，它被称为内回路控制 (ILC)，而第二部分是没有实际输入控制可用的地方，它被称为外回路控制 (OLC)。

4.1.1. 集成电路的非线性设计

高度 z 和姿态（）运动的建议控制信号如下所示

节流力控制 表示为：

而卷轴扭矩控制信号 给出为：

螺距扭矩控制信号表示为

最后，偏航力矩控制可设计为

其中，下标 de 表示期望参考值，ac 表示来自 6 自由度四转子系统不同传感器的实际或实测值，（，）；i=1，2，3 是 NLPID 控制器增益，如 (6) 所示

4.1.2 OLC 的非线性设计

四转子系统对（x，y）平面内的运动没有实际控制输入，建议进行以下分析，以便为（x，y）平面内的运动生成适当的控制信号（和），参见 (3)。假设 h 角偏差较小，简化 (3) 模型

NLPID 控制器的主要目标是使 x 和 y 位置的误差接近零，如下所述

将 (13) 的， 替换为 (12)，得到，

其中 和 分别是x，y 的虚拟控制信号，如下所示

其中，（，）；i=1，2 是 (6) 中给出的 NLPID 控制器增益。现在，(14) 可以写成：

整体受控四转子系统如图 4 所示：

注 1：为了研究六自由度四转子系统基于其非线性模型的稳定性，(2) 的非线性模型方程被转换成六个子系统。

其中，=（x,y,z,）=（u,v,w,p,q,r,）,=（）,是一个未知函数，需要对其进行识别以分析 (18) 的稳定性。一些研究如 《关于一类具有失配扰动和不确定性的非线性系统的新型有限时间非线性扩展状态观测器的设计》,《改进的基于滑模非线性扩展状态观测器的总扰动未知的不确定系统的自抗扰控制》 提出扩展状态观测器来估计未知函数, 而《一般 Brunovsky 系统的神经控制学习》提出径向基函数 (radial basis function,RBF) 来近似, 并将其包括在建议的控制律中。由于我们提出的非线性 PID 控制器属于一类无源控制器，其中未知函数不能由控制器本身估计，稳定性检验是基于未知函数 FU 减少的线性化模型。

4.2. 闭环系统的稳定性分析

在本节中，ILC 和 OLC 子系统的整体稳定性分析将使用劳斯-赫尔维茨稳定性准则在《四转子控制：建模、非线性控制设计和仿真》中推导出的六自由度四转子的线性化模型上得到证明，虚拟控制器和 和分别在 (15) 和 (16) 中提出。整体六自由度四转子系统的线性化模型表示为

式中 （）,(19) 中描述的六个子系统中的每一个都可以用一般形式表示

式中=（代表。若系统 (20) 的稳定性得到保证，则在 Hurwitz 稳定性定理的意义下，6 自由度四转子子系统是稳定的，整个四转子系统是稳定的。在继续之前，需要一些假设

假设 A1:为了证明四转子系统 (19) 的稳定性，由于六个控制器的a,s的调谐值接近于 1，即（即符号），因此，(6) 中的所有 s 都将近似为 1。i.e.,i=1,2,3,4,5,6,.

假设 A2:所有的状态 x,y,z,和六自由度无人机四转子系统的状态都是可观测的，即不需要状态观测器。在不可观测状态的情况下，可以设计一个状态观测器或扩展状态观测器，如参考文献35,36 条所述。

定理 1. 给定 (7) C (10)、(15) 和 (16) 中针对 (19) 提出的 NLPID 控制器，如果假设 A1 和 A2 成立，则闭环系统对于 和是 Hurwitz 稳定的.

证明：为了进行定理 1 的证明，(19) 的六个子系统都可以用 (20) 表示，其中闭环系统的误差动态可以写成

求出 (21) 的导数，知道 和 0，得到：

通过代入 (22) 中的控制信号 (6) 并表示为矩阵形式来闭合环路，我们得到：

通过关系式Ⅰ， Ac 找出 Ac 的特征方程，

特征方程的 Hurwitz 矩阵如下所示：

系统 (24) 达到 Hurwitz 稳定的条件如下：

如前所述，是[ ]范围内的扇区界，并且始终为正，假设 []中任意两个的范围将导致第三个范围，例如，和 。这将导致 gt;,并且给出：

这将确保闭环系统在 Hurwitz 稳定性定理意义上是稳定的。

注 2：6 自由度四转子的线性化模型 (19) 仅用于证明闭环四转子系统的稳定性，而控制设计和仿真则采用 (2) 所代表的完全非线性模型。

5. 模拟结果及案例分析

5.1. 步骤参考跟踪

在 MATLAB Simulink 中实现了六自由度非线性四转子动力学模型和 NLPID 控制器，其中我们假设风力和力矩[]可忽略不计。在我们的仿

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资料编号：[2273]