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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

等周不等式是经典的几何不等式。古希腊人就已经知道当平面图形的周长固定时，圆的面积是最大的。但其严格证明一直到近代才利用微分几何工具给出。 经典证明要求边界光滑， 而sobolev不等式的方法很好的解决了这一局限性，并且对所有caccioppoli集都适用。

国内外研究现状

sobolev空间和sobolev不等式始自于前苏联数学家sobolev，伴随着变分法、偏微分方程理论发展起来。以sobolev不等式为代表的一大类泛函不等式已经成为许多领域的基本工具。

在sobolev空间理论发展早期，maz`ya等人就注意到了sobolev不等式与等周不等式之间的联系。本文基于这一想法，并利用有界变差函数和caccioppoli集的概念，将sobolev不等式推广到有界变差函数上，进而证明等周不等式。

2. 研究的基本内容

本文研究有界变差函数中的sobolev不等式，主要讨论：

1.光滑函数的sobolev不等式及其证明。

2.将光滑函数的sobolev不等式推广到有界变差函数中，并证明等周不等式。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：通过查阅书籍、期刊及网络上的一些共享资源，在老师、同学的帮助指导下，完成有界变差函数中sobolev不等式的证明，并且与经典微分几何证明比较。

进度：2016年3月15日-3月29日 确定研究课题、寻找数据并提交任务书。

2016年3月30日-4月10日 完成开题报告和外文翻译。

4. 参考文献

[1] haim brezis. functional analysis sobolev spaces and partial differential equations[m]. springer,new york 2011:278-281

[2] enrico giusti. minimal surfaces and functions of bounded variation[m]. monographs in mathematics,birkhuser verlag, basel, 1984:3-29

[3] theodore shifrin. the shapes of things: a practical guide to differential geometry and the shape derivative [book review of mr3486164][c]. siam rev. 2016:30-31