全文总字数：1810字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

在初等数论中，数论函数是其中极其重要的研究内容，尤其是对于方程解的存在性的判断，更是目前许多学者所研究的对象.本文讨论关于一类数论函数方程\sigma(x^3)=y^2在x=5p^r（r为大于1的整数，p为不等于5的奇素数）条件下解的存在性，给出详细的证明，并与已有结果进行比较。最后，指出尚存在的缺点和不足，并考虑方法与结论的可推广性.该论文对解的可能结构进行了更为一般化的描绘，使得结论具有更具有较为普遍性的意义。

国内外研究现状

目前，国内外对于数论函数方程展开了充分的研究，特别是数论函数方程在满足一定条件下解的存在性的证明，已有很多研究成果。尤其对于函数sigma(n),即正整数n的约数之和，目前国内外对于该函数的不等式性质及与之有关的方程都有广泛而深入的探讨。本文的选题从本科《初等数论》课程出发，并结合主持的大学生创新创业省级训练项目所取得的成果，针对上述函数，考虑一类数论函数方程\sigma(x^3)=y^2解的存在性，乐茂华已证明该方程在x=2p的情况下无解的结论，其中p是奇素数；进一步地，苟素对x的结构进行了更一般化的描写，指出在x=2p^r(r为大于1的整数)情况下上述方程仍然无解.

2. 研究的基本内容

本文首先对数论函数的相关知识进行回顾，包括数论函数的定义、分类以及相关性质等，接下来对一些与数论函数有密切联系的特殊方程进行介绍，例如Diophantine方程，Pell方程等等，对其使用条件以及解的结构和性质进行阐述。

然后进入本文的重点——讨论关于一类数论函数方程sigma(x^3)=y^2在x=5p^r，且p为不等于5的奇素数，r为大于1的正整数时方程解的存在性。此为本文最重要也是最核心的内容，通过与前人所得结果进行比较，对上述命题进行详细的论证，并反思尚存在的不足，进一步探究可继续深入的内容。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：结合《初等数论》相关知识，并利用参考文献中所提供的的相关知识和证明思路，将其应用到本文所要研究的关于一类数论函数方程特殊解的问题中，得出\sigma(x^3)=y^2在x=5p^r（p为不等于5的奇素数，r为大于1的正整数）情况下无解的结论，并进行适当的拓展和反思。

进度安排：截止到3月上旬，完成对主要参考文献的阅读和研究。

3月中旬到4月，完成文章的撰稿。

4. 参考文献

[1] nathanson m b.elementary methods in number theory [m].new york，2000：201-217.

[2] 华罗庚.数论导引[m].北京：科学出版社，1979：15，286-289.