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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

随着学术科研的发展与科学技术的创新，薛定谔（Schrdiger）方程越来越广泛地应用到物理和数学等各个领域。本文将根据非线性Schrdiger方程的相关物理背景和具体形式，结合偏微分方程数值解法相关知识以及Matlab数学软件进行实验计算。最关键在于针对具体的非线性Schrdiger方程构造出它的一些典型的差分格式，包括二阶中心差分格式，紧差分格式和Crank-Nicolson格式。我们对这些差分格式，在不同的初值、边值条件下进行实验计算，参考实验结果数据比较分析这些差分格式在计算过程中出现的优缺点，比如计算精度，计算效率等。三种差分格式各有其优缺点，在不同的实际情况下，我们可采用较为理想的差分格式进行数值计算求解。

国内外研究现状

随着学术科研的发展与科学技术的创新，Schrdiger方程的研究越来越受到国内外学者的重视。在文献中，张[1]运用算子半群方法证明了非线性Schrdiger方程的解存在唯一性及解的一些性质；张和常[2][3]针对非线性Schrdiger方程构造出新的守恒差分格式，并对该格式的稳定性和收敛性展开证明；孟佳[4]研究利用有限差分法，对具体的非线性Schrdiger问题展开数值求解，将解析解和数值解进行比较，分析误差和稳定性等因素；Borhanifar和Abazari[5]主要研究了Schrdiger方程近似解的构造，并在实验中加以验证；Ashyralyev和Hicdurmaz[6]研究了含相关系数的多维分数阶Schrdiger微分方程混合问题的一阶及二阶精度差分格式，并得到这些差分格式解的稳定性估计；Zisowsky和Ehrhardt[7]建立并分析了求解非线性Schrdiger方程的不同有限差分格式的离散人工边界条件，并借助数值算例证明了其正确性和稳定性。

在相关格式数值研究中，王等人[8]简要分析了二阶中心差分的理论基础，在此基础上构造出声波方程的该格式，建立相关模型并进行了数值模拟；吴[9]证明紧差分格式的解的相关性质，并利用该格式数值求解一类半线性抛物型方程；李[10]等人对Crank-Nicolson差分格式误差，稳定性等展开分析证明，并联立具体的数值算例加以论证；在文献[12]中，Sun与Zhao研究了[11]提出的非线性差分格式。他们证明了解的存在唯一性和二阶收敛L∞范数，并提出了一种迭代算法求解非线性差分格式；Wang[13]构造了最优收敛速度紧凑的有限差分格式，即L∞范数下空间4阶、时间2阶精度；Patel和Mehra[14]针对具体偏微分方程，提出了一种无条件稳定紧致有限差分格式，并证明了所提紧有限差分格式的一致性、稳定性和收敛性，数值计算结果也验证了其理论正确性。

2. 研究的基本内容

第一部分：理论研究。首先，我们介绍关于非线性schrdiger方程的相关物理及发展历程。关于该类方程的求解，一直以来都是数学与物理的重要课题。其次，我们给出非线性schrdiger方程的具体形式及其相关性质。鉴于对其的分析求解并不容易，因而可利用差分格式对其数值求解[15]，本文主要考虑以下三种差分格式：二阶中心差分格式，紧差分格式和crank-nicolson格式。最后，介绍三种格式的一些相关结构特点和计算特点，为接下来数值计算这些格式做基础。

第二部分：实验计算与数值比较。在一定初值、边值条件下，充分考虑不同差分格式的特点，通过matlab软件编程进行求解，并比较分析实验结果。具体的实验包括：波形的演化、时间和空间两个方向的收敛阶以及计算效率等。我们会结合实验结果数据并以图表形式给出比较结果，分析并总结不同差分格式之间的优缺点。

3. 实施方案、进度安排及预期效果