论文总字数：11047字

摘 要

向量是初等数学中一个重要的解题工具.它兼有数和形两个特点，而几何在高中数学体系中几乎占据了半壁江山，拥有很重要的地位，用代数方法解决几何问题，可以极大地促进高中几何代数化的发展。本文先是回顾了向量的基础知识，接着详细探究了向量在各类经典题型中的应用，系统研究了向量在初等数学中的应用，并对向量在初高中数学教育中的一些教法做出了一些思考.

关键词：向量 几何 代数 距离 二面角

The application of vectors in elementary mathematics

Abstract

Vector is an important problem solving tool in elementary mathematics. It has both the characteristics of number and shape, Geometric possession is very important in the high school math system，using algebraic methods to study geometric problems greatly promotes the algebraization of high school geometry. This paper first reviews the basic knowledge of vectors,then it explores in detail the application of vectors in various types of classic questions，systemically studies the application of vectors in elementary mathematics，and some thoughts have been made on the teaching methods of vector in the mathematics education of junior high school.

Keywords:Vector; Geometry; Algebra; Distance; Dihedral.

目录

摘要 Ⅰ

Abstract Ⅱ

第一章 引言 1

1.1 研究目的与意义 1

1.2从数学概念到向量概念 1

第二章 向量有关知识 2

2.1向量有关知识 2

第三章 向量在初等数学中的应用 3

3.1平面向量在几何中的应用 3

3.1.1平面向量在三角形四心问题的应用 3

3.1.2用平面向量研究平行、垂直和夹角等问题 7

3.1.3用平面向量研究解析几何问题 9

3.2空间向量在几何中的应用 10

3.2.1用空间向量研究空间中的平行、垂直等位置关系 10

3.2.2用空间向量研究立体几何中的夹角问题 13

3.3向量在代数中的应用 15

3.3.1用向量研究最值问题 15

3.3.2用向量研究方程问题 17

第四章 研究结论 19

4.1对向量在初高中教学中的一些思考 19

4.1.1把握好高考命题规律 19

4.1.2做好零向量与自由向量概念的拓展 20

4.1.3增加对立体几何的重视 20

参考文献 21

致谢 22

第一章引言

1.1研究目的和意义

目的：梳理向量在初等数学中的基础知识和典型应用，并能对向量在我国初高中数学教育中的教学做出一些自己的思考.

意义：向量是中学数学教科书中的新增内容，在高考的考察中也占据了一定的分量，并且，由于向量具有“数”和“形”两个特点，可以成为初等数学中联系多方面数学知识的工具.因此，研究向量在初等数学中的应用具有十分重要的意义.

1.2从数学概念到向量概念

数学：从幼儿园掰着手指头开始计数到大学学习高等数学，我们经常会去疑问，“数学”究竟是什么呢？它为什么那么难，但解开问题时却又很能给人心灵上的鼓舞和振奋呢？笔者认为，数学挖掘出宇宙隐藏的秩序以供人类社会发展，并且以数学的内容来看，数学包括“数”和“形”，“数”是数量以及数量之间的关系，“形”是各种各样的形状.

几何学：几何是一门跟图形打交道的科学，研究几何图形和空间结构的一些性质，包括：长度，面积，直线，圆等等.

解析几何：几何学的一个分支，主要通过数量以及数量之间的关系来完成图形研究中的解析工作.

向量：向量同时描述了大小和方向，常用带有箭头的线段表示，以示和其他量做区别.位移，速度，力，动量，磁场强度，电流强度等等都是向量.向量的大小又称为向量的长度或者模长，是一个数量，向量的方向是始点指向终点.如图1所示和a,b,c（黑体）：

图1：向量的图示

第二章向量有关知识

2.1：向量有关知识

1：若向量，则.

2：若则，.

3:若，则

1. ，
2. ，
3. ，
6. ， ，

，等号在时成立.

4：定比分点坐标公式：有点，点p是直线上的任意一点，且满足，则点P的坐标为，，，由此可推得，线段中点的坐标为：.

对于平面向量，有相应的结果，不再赘述.

第三章向量在初等数学中的应用

3.1：平面向量在几何中的应用

几何在平面向量的“帮助”下可以明晰其图形结构中隐含的信息，并理顺其中的数量关系.对于学生来说，用平面向量去解决几何问题，可以作为对图形认识的入门，便于学生利用已有的知识去全面认识几何的内涵和外延.

3.1.1：平面向量在三角形四心问题中的应用

近十年的高考题和各省市模拟题中，经常出现考察三角形四心—重心、外心、内心、垂心的问题，特别是和向量结合在一起，这类题目虽然常考常新，但难度适中，一般只要把握牢三角形四心的向量表示，在考场运用中还是能较快的解决问题.分述如下：

重心：三角形三边中线的交点.如图2所示，点G在所在平面且满足条件，那么点G即为的重心.

图2

例题1：O为平面上一定点，三点不共线，且点P满足条件

则点P的轨迹过重心.

证明：由可以得到设BC的中点为D，则有又由正弦定理得到，那么，则有设则，那么可得与是共线向量，那么点 P的轨迹过重心.得证.

垂心：三角形三个边的高的交点. 点P在所在平面且满足条件那么点P即为的垂心.

图3

证明：如图3所示，因为，所以，，得到.同理，可证得，，所以可证得点P为的垂心.

例题2：O为平面上一定点，三点不共线，且点P满足条件，则点P的轨迹过垂心.

图4

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