论文总字数：7102字

摘 要

1、有限和、积推广到无限和、积……………………………………4

2、差分形式的有限和、积与无限和、积……………………………5

3、复变函数中整函数的无穷乘积展式………………………………8

4、复变函数中亚纯函数的部分分式展式……………………………10

5、Jordan测度和Lebesgue测度的对比……………………………13

6、Reimann积分和Lebesgue积分的对比……………………………14

7、一元函数时Reimann积分与Lebesgue积分的关系……………15

摘要

有限与无限是数学中的两个方面，可以通过极限、收敛等方法相互转化。在数学本身不同的领域中有限与无限都伴随了许多曾经困难，甚至现在亦值得思考的问题。这篇论文从几个简单基础的角度把有限与无限进行对比，讨论得出一些结论，同时理解、学习某些经典结论得出的过程。另外也尽量发现两者关系在不同领域中的相似之处，寻找到通用的学习方法和探索途径。

在讨论有限和、积与无限和、积的关系时，根据有限情况下多项式的规律，归纳出无限的形式，与已知的Taylor公式对比，推导出结果。再从通项本身出发，发现前后关系，用差分验证求和公式。最后给出两个同阶近似的例子。

从复变函数中整函数的无穷乘积展式与亚纯函数的部分分式展式两个方面与之前实系数多项式比较，以极点为区分，Weierstrass和Mittag-Leffler分别给出了对应条件下的展开式。

为方便研究无限集，人们引入可数（即可列，countable）的概念，我们从中讨论Jordan测度与Lebesgue测度之间的区别，及Reimann积分与Lebesgue积分的对比。而关于有限维空间与无限维空间，未有良好的讨论.

关键词：有限 无限 对比

Abstract

Finity and infinity are two sides of mathematics, both of which are naturally transformed by limit and convergence etc. The paper introduces and compares finite and infinite in an understandable way, such that we are able to make conclusion and be familiar with relative classical derivation process. In addition, we try best to analyze the difference between finity and infinity in different mathematical areas.

When refer to relationship of sum and product, we find rules in finite cases to induce those in infinite cases. Compared with Taylor formula, it is simple for us to prove relative results. Then, we use difference to verify “sum formula”. At last, there are two examples about same order approximation.

A holomorphic function can be factored into infinite products by using zeros of that, and a meromorphic function can be done by poles as well. Weierstrass theorem for holomorphic function and Mittag-Leffler theorem for meromorphic function are given under the corresponding condition expansion.

For convenience of infinite sets research, we introduce the concept of “countable”, from which we discuss the differences between Jordan measure and Lebesgue measure and also make their integrals contrast.

1、有限和、积推广到无限和、积

（1）设、是方程的两根，则。

方程两次同除以得 ，

把替换成

，

对比系数得到

…………有限和

…………有限积

（2）然后用三次多项式得出相似的结论

两边同除以，把替换成，

对比系数得到

…………有限和

…………有限积

（3）类比得出无限情况时的等式

从等式右边联想到Taylor公式，然后对比系数发现下面的关系。

例1.1. 的根是、、、……

由Taylor公式

两个等式两边都除以得

比较中间和右边项的系数得

设，则，即

，即

若在中令，有

即 ,

推出Wallis公式

这是通过系数比较、根据有限次数时的规律类比出无限的情形，从而得出的结果。

2、差分形式的有限和、积与无限和、积

用这样的式子来表达项和项的差分：

用这样的方法可验证

例2.1. 数列和 .

因为 ，

所以 .

同样

两边求和

所以 .

例2.2. 级数和 .

，

这是的推广.

从中可以看出，计算时（1）和（2）时都是往小的一个通项差分。

例2.3. Euler-Mascheroni公式：，为无穷小，为Euler-Mascheroni常数。

计算时，可以用

（1）定积分

（2）Euler-Mascheroni公式：

的部分和无界，所以是发散级数。下面证明在找到后，能使两者之差存在极限，即存在这样的常数 .

证明. 记，所以有下界.

，有不等式, 则

所以单调递增，根据单调有界定理有极限，记为Euler-Mascheroni常数

例2.4. 寻找与等量的关系

显然，为了找出中间的系数，先作商再用比式判别法证明其收敛。

设, 则 ，所以当足够大时. 于是改设. 取对数后作与的差分

对某个正整数，

其中对大于2的， ，并且是有界的，单调递减趋于零

所以

注意到和在时的导数同为，所以上式两边同除以

，

右边是收敛的，当时，记右边为，即

即

所以, 即

为了求出，分别代入、产生一个平方，再相除求出,

两式相除：, 所以

从而 , 此为著名的Stirling公式.

3、复变函数中整函数的无穷乘积展式

定义3.1. 在有限复平面上解析的函数称作整函数.

关于整函数因子分解的问题，分两类情况：

定理3.1. 若整函数没有零点，那么，其中是一个整函数

证明3.1. 因为是整函数，所以也是整函数，且是的导数，所以的导数恒等于零，即（常数）。

推论3.1.若有阶零点，其中（）阶在原点，其他阶零点在处，（）阶零点在上列有限序列中出现次，那么在上解析，且中每点都是的可去奇点，所以表示一个没有零点的整函数，根据定理3.1，，其中是一整函数。

下列定理作出了有无穷个已知零点的整函数：

定理3.2. 设，且。若，使，有，那么表示一个整函数，它以中的点为零点且无其他零点，其中, ()

即若某个零点在序列中出现次，它就是的阶零点。

引理3.1.当时，，

引理证明3.1. 时显然成立。时，

在有阶零点，

且在的邻域中非负. 又因

在有阶零点，所以当时,

，

得证.

证明.是

中无穷乘积所以因子零点构成的序列, 要证明收敛于一整函数, 只须证明

，

在上一致收敛。根据引理3.1,

.

关于一般有无穷个零点的整函数的无穷乘积展式，Weierstrass证明了下面的定理：

定理3.3. 设整函数在有（）阶零点，其余无穷个零点可按模数排成一个序列（每个阶零点在此序列中出现次），则一个整函数和一个序列，使得

证明. 使整函数

与有相同的零点，且相同的零点有相同的阶数，于是函数在解析，在上有可去奇点。所以可表示一个没有零点的整函数，根据前面定理3.1，就得到定理的结论。

例3.1. 求的无穷乘积展式

的零点是（），的指数项正负相消（乘积为1），

，

因为 , 所以.

最后得到 .

4、复变函数中亚纯函数的部分分式展式

定义4.1. 在有限复平面上除去极点外到处解析的函数称作亚纯函数.

设亚纯函数的所以极点是（互不相同），且围绕这些极点的Laurent展式的主要部分分别是，于是函数

在内解析, 中每点都是可去奇点, 从而确定一个整函数。所以 (4.1)

就是的部分分式展式.

如果亚纯函数有无穷个极点，那么(4.1)对应的无穷级数在极点外不一定收敛，下面的定理从中减去了一个适当的多项式来得到类似的结果，作出具有无穷个已给极点并且具有相应主要部分的亚纯函数。

定理4.1. 设,,并且. 设是不含常数项的多项式,那么存在多项式（）使得

是亚纯函数,中的点就是的所以极点,是和极点对应的主要部分.

证明. 函数在内解析，并且围绕原点可展开成Taylor级数

然后估计级数的系数, 设

，，

取正整数, 令，

当时,

想要结果收敛，取使得,

当时, ;

当，，从而时， .

因此当时，一致收敛. 于是在内，除了已给的极点，并且具有相应的主要部分外，到处解析. 由定理4.1可推出下面的定理.

定理4.2. 设亚纯函数的极点（）满足上述定理中的条件,则存在多项式（）及整函数,使得

其中是在极点的主要部分。

上列定理由Mittag-Leffler得到，可推广到一般区域内亚纯函数的情形（参看M.Hervé,Les Fonctions Analytiques,Presse Universitaire de France,1982）。

例4.1. 求的部分分式展式

的极点是（）. 它与相应的主要部分是, 因为

它与相应的主要部分是. 与相比较, 级数

在时收敛. 在任何紧集上, 除去可变为无穷大的项, 所得级数一致收敛. 因此

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