论文总字数：15825字

摘 要

特征值问题是矩阵理论的一个主要研究领域，对它的研究具有重要的理论意义和实用价值。许多科学和工程问题如结构力学中的固有频率分析以及控制系统中的稳定性问题最终都转化为特征值问题。

本论文主要研究对称矩阵的最小特征值问题，我们给出了一个新的求解矩阵最小特征值的连续方法。为了实现这一方法，我们将对称矩阵的最小特征值问题转化为等式约束优化问题。基于该等式约束优化问题，我们构造了一个连续的动态系统的微分代数方程,通过求解微分代数方程，我们得到其稳态解，并且证明该动力系统的稳态解是相当于对称矩阵最小特征值的一个特征向量。为了获得微分代数方程的一个稳态解，我们采用预测校正的方法，并结合隐式Euler方法、投影技术和信赖域技术作为时间流的策略从而沿着方程的运行轨迹，通过微分代数方程的离散轨迹，我们可以得出一个微分代数方程的稳态解，又因为微分代数方程的稳态解是对称矩阵最小特征值的特征向量，所以我们可以计算出最小特征值的近似特征向量，进而获得近似最小的特征值。

为了说明瑞利商梯度流方法的有效性，我们将其与DRQGF等方法进行了比较。通过Matlab软件我们进行了程序的设定以及运算，进而得到了数值实验表格和所需要的数据，通过这些表格和数据我们发现用瑞利商梯度流方法求得的最小特征值和其他方法求得的特征值在允许误差范围内是一致的，由此可见该方法是具有准确有效性的。而在实验中也显示出该方法在某些状况下较之其他方法它更加实用方便。本文最后就瑞利商梯度流求解矩阵最小特征值的方法给出了总结。

关键字：特征值 微分代数方程 等式约束 Euler方法 信赖域技术 稳态解 瑞利商梯度流

The method of Rayleigh gradient flow to solve symmetric matrix eigenvalue problem

Abstract

Eigenvalue problem is a main research field of the theory of matrix, it has important theoretical significance and practical value to have the research .Many scientific and engineering problems such as natural frequency analysis of structural mechanics and the stability of control system problems are translated into eigenvalue problem eventually.

The article mainly has a research on the smallest eigenvalue problem and its eigenvector.it gives a new continuous method for this problem based on the dynamical system of differential-algebraic equations.First, we convert the smallest eigenvalue problem into an equivalent equality- constrained optimization problem.Second,fromtheKarush–Kuhn–Tucker conditions for this optimization problem,we obtain a variant of the Rayleigh quotient gradient flow,which is formulated by a dynamical system of DAEs. we get the steady state solution, and proved that the steady state solution of the dynamical system is equivalent to the smallest eigenvalues of a symmetric matrix feature vector.Lastly,using the implicit Euler method , and a projection technique,and an analogous trust-region technique as the time-stepping strategy, we construct a practical method to follow this special dynamical system to compute a steady-state solution, and consequently obtain the smallest eigenvalue of symmetric matrix.

Finally We also analyze the local superlinear property for this new method, and present the promising numerical results, in comparison with other methods.By using Matlab software we get the numerical experiment form and the required data,from these forms and datas we find that the

method of Rayleigh quotient gradient flow is consistant with other methods within the scope of permissible error.What is more,it indicats that this method in some cases is more convenient and practical than other methods.

At the last of this article we give the conclusion for the method of Rayleigh quotient gradient flow。

Key words:

Eigenvalues；Differential algebraic equations；Equality constraint；Euler method；Trust region technique；The steady state solution； Rayleigh quotient gradient flow.

目 录

摘 要 I

Abstract II

第一章 引言 1

第二章 预备知识 3

2.1 等式约束优化问题 3

2.2 求解微分代数方程 5

第三章 求解矩阵最小特征值的瑞利商梯度流方法 7

3.1 瑞利商梯度流方法 7

3.2 瑞利商梯度流方法与DRQGF方法的比较 10

3.3 瑞利商梯度流与DRQGF方法的算法 11

第四章 数值实验 13

第五章 结论与建议 17

参考文献 18

致谢 21

第一章 引言

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