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具有双线性和非单调发病率的关于两个菌株的流行病模型的全局稳定性分析

摘要：

本文研究了一个由双线性和非单调两种不同发病率菌株组成的传染病模型。该模型由四个平衡点组成：无病平衡点、1号菌株的地方病平衡点、2号菌株的地方病平衡点和2号菌株的地方病平衡点。利用Lyapunov函数对平衡点进行了全局稳定性分析。我们发现了两个基本的再生率R1 0和r20，并且我们已经证明，如果两者都小于1，疾病就会消失，如果两者都大于1，就会发生流行病。此外，任何基本再生率大于1的菌株都会发生流行病，任何基本再生率小于1的菌株的疾病都会消失。研究还表明，任何一个基本再生率最高的菌株都会自发地优于其他菌株，从而淘汰掉它。数值模拟支持了分析结果，展示了参数k在非单调发病率中的作用，并描述了公众对传染病的心理作用。

1. 介绍和文献回顾

设S（t）、I（t）和R（t）分别为t时易感个体、感染个体和免疫个体的总体。大多数SIR类型的模型都具有双线性形式的发生率[1]。文献中存在许多非线性发病率，其中一些是非单调发病率[2]、饱和发病率[3]和分数发病率[4]。

发病率是指疾病的传播速度。它被定义为每单位时间出现新病例的比率。发病率的测量有时是基于根据一些因素对人群进行分类，这些因素包括社会地位、年龄和心理抑制。任何人群的患病率、发病率和年患病风险都是相关的[5]。

病原突变是疾病传播中的一种常见现象。一个例子是2009年在墨西哥和美国出现的H1N1流感病毒，这是季节性流感的突变。许多疾病，如肺结核、艾滋病毒、骨痛热和其他一些性传播疾病，都是由一种以上的病原体引起的。许多研究者已经考虑了病原-宿主与多个菌株相互作用的动力学分析[6-8]。这也表明，任何具有最大基本再生率的菌株将自动优于其他菌株，从而淘汰掉它们[9]。共同感染、超级感染、突变、宿主种群指数增长和疫苗接种等机制促进了菌株之间的共存[10-14]。

研究多菌株模型的意义在于确定不同菌株共存的条件。与此相关的许多机制已在文献中研究过；它们包括超级感染[15-17]、共同感染[18,19]、突变[20]和年龄影响[21]。

文献中的大多数相关研究集中在同质混合模型上：假设易感人群中的每个个体与感染人群具有相同的接触率。这种假设在现实中并不总是正确的，因此有必要在模型中加入异质混合。一些研究者在他们的模型中考虑了非均匀混合（非线性关联率），但这些研究大多是关于单应变模型的[22-25]。文献中很少有对多个菌株进行异质混合的研究，但这些研究考虑了所有菌株的异质混合[26,27]。在现实中并不总是这样；混合的类型取决于人们对该疾病的认识。如果1号菌株是2号菌株的突变株，则预计种群意识到2号菌株（异质混合），但没有意识到1号菌株（同质混合）。

本文的目的是考虑一个同时包含均匀和非均匀混合的两株模型的全局稳定性分析，即一株中的双线性发病率f（I）和另一个株的非单调发病率g（I）。

表1. 模型（1）的变量和参数说明

本文主要研究具有竞争机制的双株SIR模型，第一株为双线性发病率，第二应变为非单调发病率。每个菌株都遵循SIR模型，得到了每个菌株的基本再生率。用Lyapunov方法检验了无病平衡和地方病平衡的稳定性。我们还提出了两种菌株共存的一些条件。我们将数字性地显示参数k的作用，该参数描述了在非单调菌株的情况下，公众对感染者的心理作用。本文的结构安排如下：第一节为绪论。第二节建立了1号菌株的双线性入发病率和2号菌株的非单调发病率的双株模型。第三节是平衡点的存在性和基本再生数的计算。平衡点的稳定性分析见第四节。第五节通过数值模拟对结果进行讨论，以支持分析结果。

2.模型
研究了一个由四个常微分方程组组成的双株传染病模型。分别是S（t）I₁（t）、I₂（t）和R（t），它们分别表示在时间t时1株的易感、感染种群和2株的感染和免疫种群。表1描述了模型的变量和参数，图1是模型的转换图。

2.1．假设

在构建该模型时，我们做了以下假设：
i）通过长出或移植不断地被恢复到易受感染的层次。

ii）一旦从任一菌株中恢复，个体处于恢复级。

iii）1号株和2号株分别存在均匀和非均匀混合。因此，我们有以下表示疾病动力学的常微分方程组：

3. 数值分析

我们首先给出以下引理。

引理1.平面S I₁ I₂ R=Ʌ/d是系统（1）的一个不变流形，它在第一卦限成立。

证明.在（1）中对上述方程式求和，我们得到

由于N=S I₁ I₂ R，我们可以将注意力集中在以下简化系统上：

3.1 平衡点的存在性

系统（1）的四个可能平衡点是

1. 无病平衡

因为S₀，I_1，0，I_2，0都大于或等于零，所以平衡存在。

ii）1号菌株地方平衡

为了平衡的存在（生物学意义上的平衡），I_1,1必须大于或等于零，即当balpha;minus;d² minus;dmu; ge;0时，这意味着Ʌalpha;/d（d mu;）ge;1。

iii）2号菌株地方平衡

为了平衡点的存在（具有生物学意义），I_2，2必须大于或等于零，即

这表示Lambda;beta;/d(d gamma;) ge;1.

iv）地方平衡

为了平衡点的存在（生物学意义上的平衡），I_1,3和I_2,3必须大于或等于零，即

3.2基本再生率

可以定义为在完全易感人群中由感染个体引起的继发感染的数量。在这里我们使用迭代矩阵法来评估它。

基本再生数是矩阵MN^-1的谱半径。

4.全局稳定性分析

在这里，我们用Lyapunov函数的方法对平衡点进行了全局稳定性分析。

定理1.无病平衡E₀是全局渐近稳定的max{R₀¹，R₀²}lt;1。

证明.考虑以下Lyapunov函数：

这意味着Vlt;0，根据几何和算术平均值之间的关系，如果max{R₀¹，R₀²}lt;1。

定理2.当R₀¹gt;max{1，R₀²}时，菌株1的地方病平衡点E₁是全局渐近稳定的。

证明.考虑下面的Lyapunov方程

那么 V le;0从几何与算术的关系看，如果R₀¹gt;1，并且如果

定理3.如果R₀²gt;max{1，R₀¹}，菌株2的地方病平衡点E₂是全局渐近稳定的。

证明.考虑以下Lyapunov函数：

这意味着，根据几何和算术平均值之间的关系，Vle;0，如果

这意味着I_2，2lt;0，没有生物学意义。式（4）表示

I_2,2 gt; 0

表明

R₀²gt; 1

定理4.当R₀¹= R₀²gt;1时，地方病平衡E₃是全局渐近稳定的。

证明.考虑以下Lyapunov函数：

Vle;0，根据几何和算术平均值之间的关系，以及

图2。两种菌株都死亡了。参数值：Ʌ=1，d=0.2，alpha;=0.15，mu;=0.8，beta;=0.1，gamma;=0.75，k=0.1，R₀¹=0.75，R₀²=0.53.

5．讨论和数值模拟

本文研究了一个由两个不同发病率的菌株组成的传染病模型：双线性和非单调发病率。不同于冯等人的研究。2002年[7]和2005年[23]分别研究了具有双线性发病率和非单调发病率的多重菌株，这里我们研究了两者的组合。在前者中，他们分别考虑了同质混合，而在后者中，他们考虑了种群中的异质混合。在现实中并非总是如此；混合类型取决于人群对所述疾病的意识，并且由于这里的菌株1是菌株2的突变，我们假设人群意识到菌株2（异质混合）而不是菌株1（同质混合）。

我们发现了四个平衡点：无病平衡点、菌株特有的地方病平衡点和两种菌株的地方病平衡点。采用Lyapunov方法对所有平衡点进行了全局稳定性分析。这是Junyuan和Chun Hsein在2016年[28]的研究的改进，他们无法通过分析展示地方病平衡的全局稳定性。

全局分析取决于阈值数量：由R₀¹和R₀²表示的基本再生率。如果max{ R₀¹，R₀²}lt;1，则疾病消失；如果R₀¹= R₀²gt;1，则两个菌株都会发生流行病。此外，如果R₀¹gt;max{1，R₀²}，则1号株持续存在，2号株消亡；如果R₀²{max{1，R₀²}则2号株持续存在，1号株消亡。这些结果也与钱倩等人对HIV/AIDS动力学的类似研究一致。2012年[29]，以及2002年Moghadas和Gumel的结核病模型[30]。研究还表明，任何一个基本再生率最高的菌株都会自发地优于其他菌株，从而淘汰掉它。这与Bremermann和Thieme 1989年的研究结果一致[9]。数值模拟也支持了分析结果。在图2中，两个菌株（I₁和I₂）都死亡了，这是因

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