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4.1引言
矩形板在四个边缘处的法向位移受到限制，对于振幅大约为板厚的振幅，显示出很强的硬化型非线性。为了用线性理论正确地描述行为，薄板的振动幅度必须为厚度的1/10或更小。面内约束大大增强了非线性行为；因此，与线性理论不同，产生了大振幅偏转的平面内拉伸。

法向位移不受所有边缘限制的矩形板可呈现线性行为，以获得更大的振动幅度。悬臂板就是这种情况（在一边处约束而在另外三边处自由）。实际上，对于这些边界条件，相当大的位移omega;可能与很小的旋转part;omega;/part;x和part;omega;/part;y相关联，因此可以忽略应变中的非线性项。
几何缺陷起着重要作用；他们将平板转变成弯曲的面板（即使曲度很小），该面板表现出最初的弱软化行为，而对于较大的振动幅度则转向强硬化非线性。

本章首先讨论简单支撑的矩形板的线性振动，给出了数值和实验结果；然后，使用拉格朗日运动方程和冯·卡马因理论研究了具有不同边界条件的板的非线性强迫振动、研究了几何缺陷的影响，给出了数值和实验结果，并进行了令人满意的比较；最后，解决了在增加集总质量或分布质量的情况下运动方程之间的惯性耦合问题。
4.1.1文献综述
Leissa（1969）在书中研究了不同形式的板的线性振动，该板经受了几组边界条件。
Chia（1980; 1988）和Sathyamoorthy（1987）对板的非线性振动进行了文献综述。矩形板大振幅振动分析的基础研究是Chu和Herrmann（1956），他们是该领域的先驱。他们研究了具有固定边缘的简单支撑矩形板，并获得了基本模态的主干曲线。通过使用扰动过程获得溶液，并显示出强硬化类型的非线性。

一系列令人关注的论文（Ganapathi等，1991； Rao等，1993； Leung和Mao，1995； Shi和Mei，1996）比较了各向同性板基本模式的主干曲线与Chu和Herrmann（1956）的主干曲线的不同结果。所有这些都与Chu和Herrmann的原始结果非常吻合。特别是，Leung和Mao（1995）还研究了带有可移动边缘的简单固定矩形板，相对于带有不固定边缘的简单支撑板，这种矩形板减少了硬化类型的非线性。 Amabili（2004，2006）研究了不同的边界条件。

Hui（1984）和Amabili（2006）研究了几何缺陷的影响。Han和Petyt（1997a，b）以及Ribeiro和Petyt（1999a，b; 2000）的最新研究使用分层有限元方法深入研究了固定矩形板的非线性响应。Ribeiro（2001）使用了类似的方法来研究具有固定边缘的简单支撑板的强迫响应。El Kadiri和Benamar（2003）为Chu和Herrmann（1956）研究的案例开发了一种简化的分析方法。
矩形层压板的非线性振动已被彻底研究，例如Noor（1993）等人。 Abe（1998）等人。和Harras（2002）等人。Chang（1993）等人研究了矩形板非线性振动中的内部共振。
即使在科学文献中有大量的关于板的大振幅振动的理论研究，实验结果也非常匮乏。Amabili（2004; 2006）给出了完整的实验结果，而Harras（2002）等人仅给出了振动幅度为0.5和0.8 h的实验模式形状为夹层矩形板的基本模式。

4.2经典板理论的线性振动
在小振幅振动的情况下，可以通过删除所有非线性项来简化方程（1.72）和（1.73）给出的矩形板的von Kaacute;rmaacute;n运动方程。这里没有考虑几何缺陷，因此板是完美平坦的。特别地，等式（1.73）变为nabla;⁴F =0，其与法向挠度omega;无关。这说明对于小振幅挠曲不会产生平面内拉伸，并且静力和动力学仅由方程（1.72）控制，其中F设为零。因此，矩形板的运动方程变为

Dnabla;⁴omega; chomega;˙ rho;homega;uml; = f p, (4.1)

其中nabla;⁴=[part;²/part;x² part;²/（part;y²）] ²。方程（4.1）通常被称为基尔霍夫板理论或经典板理论。 在线性振动中，主要的关注点是自然频率和众数的计算。 为了执行该计算，在方程式（4.1）中将粘性阻尼c，外部激励f和由于流体-结构相互作用而产生的压力p都设置为零，从而得到

Dnabla;⁴omega; rho;homega;uml;=0 （4.2）

为了求解方程（4.2），有必要分配代表板的四个边缘的约束的边界条件；仅必须指定偏转omega;的边界条件。这表明，根据经典板理论，面内边界条件不会改变板的固有频率和振型。

最简单的情况是具有以下边界条件的简单支撑的矩形板：

omega;=0，Mx= 在x=0时,a, (4.3a,b)

omega;=0，Mx= 在y=0时,a, (4.4a,b)

其中M是每单位长度的弯矩。用公式（1.28）和（1.29）给出的kx和ky表达式代替，边界条件（4.3b）和（4.4b）可以重写为：

（）= 0，在x=0时，a （4.5a）

( ) = 0，在y=0时，b （4.5b）

完全满足边界条件的omega;的表达式为：

omega;(x, y, t ) =omega;_m,n sin (mpi;x/a) sin(npi;y/b) f (t ) （4.6）

其中，m和n是分别表示在x和y方向上振形的半波数的整数，而

omega;_m，n是振幅。与自然振动研究一样，时间函数是

f (t ) = cos(omega;_m,nt ), （4.7）

其中omega;m,n是自然圆频率。
将公式（4.6）和（4.7）代入（4.2），可获得以下结果

omega;m,n=[] （4.8）

公式（4.8）给出了固有的圆周频率，公式（4.6）给出了固有振动的振型。代表板共振的自然频率是无限的，这是在m = 1、2，...的情况下获得的，并且在公式（4.8）中n = 1，2，...。
案例中完全平坦，简单支撑的矩形板的情况特别简单。对于更复杂的边界条件和几何缺陷，解决方案更加复杂。例如，可以使用第4.3节中介绍的用于非线性振动的技术，从而消除所有非线性项。

4.2.1理论和实验结果
对于如图4.1所示的简单支撑的矩形铝板，已经进行了计算和实验，具有以下尺寸和材料特性：a = 0.515 m，b = 0.184 m，h = 0.0003 m，E = 69 GPa，rho;= 2700 kg / m3，nu;=0.33。对该板进行突发随机激发，以识别固有频率，并通过测量该板进行模态分析。激励由电动激励器（振荡器）提供。压电微型力传感器放在板上，并用托管架连接到振动器，测量

传递的力。通过使用超小型加速度计测量板响应。

图4.1 实验装置的照片

测得的频率响应函数（FRFs）的总和如图4.2所示，其中标识了与响应峰值相对应的自然模式。图4.3给出了使用公式（4.8）计算的实验和理论固有频率的比较。结果的一致性令人满意，并确保实验边界条件近似于简单支撑的边缘。n = 1，2，m = 1，2的理论模式形状如图4.4所示。

4.3冯·卡马纳板理论的非线性振动
在本节中，通过使用能量方法研究几何非线性振动，即大振幅振动。 使用公式（1.52）中给出的弹性应变能。重要的是要指出，可以通过直接接近von Kaacute;rmaacute;n运动方程（1.72）和（1.73）来获得解决方案。与冯·卡尔马运动方程式相比，这里使用的能量方法涉及更多的自由度。 实际上，使用了两个平面内位移u和v来代替单个平面内应力函数F并保留了平面内惯性。然而，能量方法允许更容易地考虑复杂的影响，从而导致更加灵活的技术。

图4.2 带有自然模态的实测FRF的总和

4.3.1边界条件，动能，外部载荷和模式扩展
忽略转动惯量，矩形板的动能TP为

Tp= (4.9)

图4.3。 板的理论和实验自然频率。理论结果：—。 实验结果：diams;，n = 1； ■，n = 2； ，n= 3。

图4.4。 简支矩形板的理论模式形状。（a）n = 1,m =1。（b）n = 1，m =2。（c）n = 2，m =1。（d）n = 2，m = 2。

其中rho;是板的质量密度。在等式（4.9）中，虚线表示时间导数。

由外力完成的虚拟功Omega;表示为

Omega;= (4.10)

其中q_x，q_y和q_z分别是沿x，y和z方向作用的每单位面积的分布力。 最初，仅考虑与板正交的单个谐波力。因此，q_x = q_y =0。由于平面外集中力施加到板上的外部分布载荷q_z由下式给出：

q_z = ftilde;delta;(yminus;ytilde;)delta;(xminus;xtilde;)cos(omega;t) (4.11)

其中omega;是激励频率，t是时间，delta;是狄拉克delta;函数，给出在z方向上为正的力大小，和给出力施加点的位置。这里，点激励位于板的中心，即＝a / 2且＝b / 2。公式（4.10）可以用以下形式重写：

Omega; = ftilde; cos(omega;t ) (omega;)_{x=a/2, y=b/2} (4.12)

为了将系统减小到有限的尺寸，通过使用近似函数扩展了中间表面位移u，v和omega;。
在本研究中分析了四种不同的边界条件：情况（a），边缘不动的简单支撑板;情况（b），带有可移动边缘的简单支撑板；情况（c），具有完全自由的平面内边缘的简单支撑板；情况（d），夹板。

具有不动边缘的简单支撑板的边界条件（情况a）为

u = v= omega;= omega;₀ = M_x = part;²omega;₀/part; x² = 0，在 x = 0时 ，a (4.13a–f)

u = v= omega;=omega;₀ = M_y = part;²omega;₀/part; y² = 0，在 y = 0时， b (4.14a–f)

其中M是每单位长度的弯矩。
具有活动边缘的简单支撑板的边界条件（情况b）为

v =omega;=omega;₀ = N_x = M_x = part;²omega;₀/part; x² = 0，在 x = 0时, a, (4.15a–f)

u =omega;=omega;₀ = N_y = M_y = part;²omega;₀/part; y² = 0，在 y = 0时, b, (4.16a–f)

其中N是每单位长度的法向力。
具有完全自由的平面内位移的简单支撑板的边界条件（情况c）为

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