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改进获取地震运动转动分量的方法

Hong-Nan Li, Li-Ye Sun, Su-Yan Wang

大连理工大学土木工程系，大连灵工路2号，大连116024，中国

沈阳建筑大学土木工程系，沈阳110015，中国

2002年2月11日收录；2004年5月19日收录经修订的表格；2004年5月20日接受申请

摘要：地震强震中的转动分量正引起人们的关注，显而易见的是它在地震运动中对结构的整体响应可能存在很大的影响。本文提出了一种改进方法来计算地面运动中基于记录的三组正交平动分量的扭转分量和摇摆分量的时间历程。该数学模型的建立基于土壤阻抗和体波作用的详尽表述。在考虑临界入射角的转动分量计算中，适当地给出了入射角与频率的关系。本文还介绍了一组记录的三种平动分量所得到的扭转和摇摆的数值结果。copy; 2004 Elsevier B.V.版权所有。

1. 引言

目前对于地震运动的处理只提供三种平动分量的记录（两种水平分量和一种垂直分量），主要是因为只有这些分量可以直接测量。然而，由于行波效应，地震事件中的平动分量总是伴随着转动分量。几项研究(Bielak, 1978; Abdel-Ghaffar and Rubin, 1984; Gupta and Trifunac, 1989; Goel and Chopra, 1994; Takeo, 1998)已经表明转动分量在结构抗震分析和设计中的重要性。研究表明(Awad and Humar, 1984)，在地震中，即使是对称结构预计也会遭受较大的扭转激励。抗震设计规范还规定了设计力计算中的“偶然偏心”，来解释建筑设计中未知的扭转输入和意外偏心。然而，没有这样的规定用来解释摇摆分量能对高刚性结构的设计产生重大影响。在抗震设计规范中没有明确考虑这个信息的原因之一是缺乏地面扭转反应谱的可靠信息。Newmark (1969)可能是第一个在地震运动的扭转分量和平动分量之间建立简单关系的研究者。它是基于波速恒定传播的假设。Newmark的理论被其他的研究者进一步研究，他们提出了从水平分量的时程记录中获得地震扭转反应谱的方法。Hart (1975)等人从数值上区分了两个正交的平动记录，并且得到了相应的自由区域转动。Nathan和 MacKenzie (1975)采用了类似的技术，从EI Centro地震波的两个组成部分生成了扭转地震动的记录。有条件时，利用强震微分数组得到的加速度时程记录可以通过水平分量的数值微分获得旋转分量。Niazi(1986)使用该技术估计了长刚性基础的微分位移所引起的扭转和摇摆，Olivera and Bolt (1989)使用该技术从智能一号在台湾的圆阵记录的五次地震中估算出转动分量。

扭转地震动响应谱被Tso和Hsu(1977)以及Rutenberg和Heidebrecht(1985,1986)进一步发展。对于这些研究者所考虑的震动输入，这些频谱在0.2-0.6s的范围内有一个平坦的峰值。这些周期范围对某些高频结构，如中等高度结构、核安全壳等刚性结构以及容易受到扭转基础输入影响的偏心布置结构有特殊意义。

尽管它被很多作者采用，但是用平面波传播速度恒定的假设通过平动分量计算转动分量的时程是难以证明的。这个速度取决于波动的频率和入射角。Trifunac(1982)，Lee和Trifunac(1985、1987)以及Castellani和Boffi(1986、1989)提出了更为合理的过程，其中放宽了平面波传播速度恒定的要求，并考虑了波在弹性半空间中的频散和瞬态到达时间。事实上，入射角也取决于地面运动的冲击谐波的频率。为了纠正相应的平动分量中的转动分量的计算，必须考虑入射角和构成某一地点的地面运动谐波频率对波的传播速度的依赖关系。

本文提出了一种包含这种依赖关系正确方法。提出的方法考虑了P波和SV波的相对贡献对计算转动分量时程的影响。

1. 体波引起的转动分量

我们认为地震运动是由到达震源附近的平面简谐波引起的。假设波的传播方向在垂直于(x, z)的平面上。波阵面通道将在垂直于传播方向的平面上诱导粒子位移，并沿着传播方向移动。粒子在平面上垂直于传播方向的位移分解为平面内分量SV波的ASV振幅和平面外分量SH波的ASH振幅。P波在传播方向上的位移振幅为AP。体波的入射和反射将产生自由表面地面运动的两个转动分量和。分量称为扭转分量，绕z轴转动，分量称为摇摆分量，绕y轴的转动。

2.1. P波入射

当波遇到自由边界时，会发生模式转换的反射过程。P波将反射成为另一种具有一定反射角的P波，角等于入射角加上一个SV波的反射角。这两种波将分别用下标PP和SP表示。对于频率为omega;的谐波，势能函数是：

alpha;和beta;分别为P波与S波的速度。

质点在x、z方向上的位移u、w由下式给出

根据方程式。由(1)、(2)得到的质点位移为:

在地面施加自由剪应力条件:

根据弹性理论，摇摆分量为

根据方程式。由(3)、(6)得到摇摆分量可以写成：

其中=

2.2. SV波入射

SV波将反射成为另一个具有反射角的SV波，角等于入射角加上SP波的反射角。这两种波将分别用下标PS和SS。来表示那么势能函数是

u, w的含义与上文给出的相同。根据

运用方程式。由(4)和(8)得到：

根据斯涅尔定律，=，还可以得到：

其中，=。

2.3. SH波入射

在SH波入射的条件下，没有模式转换发生，波所反映的反射角大小等于自身的入射角。入射波和反射波的势能函数分别为

入射波和反射波在y方向上引起的位移区域v是：

由于u不依赖于面外坐标，利用式(11)和式(12)可得到扭转

其中，=。

我们假设自由表面的地面运动的分量u、v和w可以从测量中得到。方程式(6)、(10)、(13)可用于定义转动分量。然而，在最先进的地震学上这还是不可行的。因此，为了应用这些方程去定义，我们需要知道入射角的大小。如何计算未知量将是下一步发展的课题。

1. 入射角

让

P波和SV波需要满足两个边界条件:：地表的自由剪应力条件和自由正应力条件：

其中，K=

3.1. P波的入射角

我们假设只有P波在传播。用方程式(2)和(15)可以得到

根据斯涅耳定律，=，方程(17)可以写成:

运用方程（2）和（16）可以得到：

即：

解方程组（18）和（20），我们得到：

其中

方程式(21)、(22)、(3)用入射P波的位移区域分别表示地面运动u和w的两个分量:

用方程式(23)、(24)和(14)解出

引入以下量值

和基于斯涅尔定律：=K，方程（25）可以写成关于x的多项式

这个表达式可以计算入射角，它考虑了波的分散现象。

• 1. . SV波的入射角

同样，通过一些推导，得到入射角与频率之间的关系如下

其中G=tgē=；x=；入射角=arcsin）。

用方程式(26)-(28),我们可以得到体波的入射角。一旦确立了角度，转动分量就可以直接用方程(6)、(10)和(13)计算得到。

在实际应用中，很难确定地震记录中P波与SV波的比值。不过，这将是一个需要在计算中解决的问题。一般来讲，在距震源不远的场地上选取的地震波中，可以适当假定SV波的含量是主要的，而不是忽略P波的含量。

1. 数值结果

为了举例说明，我们使用1951年EI Centro地震的三个平移分量来获得相应转动分量的时程。三种平移分量的时程及其各自的频谱如图1所示。两个水平分量的主频率在2-5周/秒(cps)范围内，而垂直分量的主频率约为10cps。

为了从这些记录中获得转动分量，这些平动运动时程首先通过快速傅里叶变换分解为2048个离散频率下的谐波。假定所记录的运动主要是由横波引起的。因此，对于每个谐波分量，方程式(27)和(28)用于计算频率相关的入射角。知道入射角后，由式(10)得到谐波频率处的转动分量，由式(13)得到扭转分量。该过程用于定义所有离散频率下两个转动分量的傅里叶谱。这些波普的傅里叶逆变换得到了时程。

通过这一过程得到的摇摆分量和扭转分量的时程如图2所示。相应的频谱也显示在邻近的图中。将这些转动分量谱与平动分量谱进行比较，发现转动分量谱在7-20cps的高频范围内具有更高的能量。

图1.(a) El Centro平动加速度(1951年1月23日);

(b) El Centro平动加速度功率谱(1951年1月23日)

图2.El Centro扭转分量 (1951年1月23日).

(a)摇摆加速度;(b)扭转加速度;(c)摇摆加速度功率谱;(d)扭转加速度功率谱

致谢

本文的研究工作获得了国家自然科学基金50025823号资助。我们感谢这一支持。

参考文献

[1]Abdel-Ghaffar, A.M., Rubin, L.I., 1984. Torsional earthquake response of suspension bridges. ASCE, J. Eng. Mech. 110, 1467–1484.

[2]Awad, A.M., Humar, J.L., 1984. Dynamic response of buildings to ground rotational motion. Can. J. Civil Eng. 11, 48–56.

[3]Bielak, J., 1978. Dynamic response of nonlinear buildingfoundation system. Earthquake Eng. Struct. Dyn. 6, 17–30.

[4]Castellani, A., Boffi, G., 1986. Rotational components of the surface ground motion during an earthquake. Earthquake Eng. Struct. Dyn. 14, 751–767.

[5]Castellani, A., Boffi, G., 1989. On the rotational components of seismic motion. Earthquake Eng. Struct. Dyn. 18, 785–797.

[6]Goel, R.K., Chopra, A.K., 1994. Dual-level approach for seismic design of asymmetric-plan buildings. ASCE, J. Struct. Eng. 120, 161–179.

[7]Gupta, V.K., Trifunac, M.D., 1989. Investigation of Building response to Translational and Rotational Earthquake Excitations. Report No. CE 89-02. Department of Civil Engineering, University of Southern California.

[8]Hart, G.C., DiJulio, R.M., Lew, M., 1975. Torsional response of high-rise buildings. ASCE, J. Struct. Division 101, 397– 415.

[9]Lee, V.W., Trifunac, M.D., 1985. Torsional accelerograms. Soil Dyn. Earthquake Eng. 4, 132–139.

[10]Lee, V.W., Trifunac, M.D., 1987. Rocking strong earthquake accelerations. Soil Dyn. Earthquake Eng. 6, 75–89.

Nathan, N.D., MacKenzie, J.R

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