外文原文：

INTEGRATION IN ELEMENTARY TERMS

Every computation of a derivative yields, according to the Second Fundamental Theorem of Calculus, a formula about integrals. For example,

consequently,

Formulas of this sort are simplified considerably if we adopt the notation

We may then write

This evaluation of depended on the lucky guess that is the derivative of the function In general, a function satisfying is called a primitive of Of course, a continuous function always has a primitive, namely,

but in this chapter we will try to find a primitive which can be written in terms of familiar functions like sin, log, etc. A function which can be written in this way is called an elementary function. To be precise,* an elementary function is one which can be obtained by addition, multiplication, division, and composition from the rational functions, the trigonometric functions and their inverses, and the functions log and exp.

It should be stated at the very outset that elementary primitives usually cannot be found. For example, there is no elementary function such that

(this is not merely a report on the present state of mathematical ignorance; it is a (difficult) theorem that no such function exists). And, what is even worse, you will have no way of knowing whether or not an elementary primitive can be found (you will just have to hope that the problems for this chapter contain no misprints).

* The definition which we will give is precise, but not really accurate, or at least not quite standard. Usually the elementary functions are defined to include “algebraic” functions, that is, functions satisfying an equation

where the are rational functions. But for our purposes these functions can be ignored.

Because the search for elementary primitives is so uncertain, finding one is often peculiarly satisfying. If we observe that the function

Satisfies

(just how we would ever be led to such an observation is quite another matter),so that

then we may feel that we have “really” evaluated .

This chapter consists of little more than methods for finding elementary primitives of given elementary functions (a process known simply as “integration”), together with some notation, abbreviations, and conventions designed to facilitate this procedure. This preoccupation with elementary functions can be justified by three considerations:

(1) Integration is a standard topic in calculus, and everyone should know about it.

(2) Every once in a while you might actually need to evaluate an integral, under conditions which do not allow you to consult any of the standard integral tables (for example, you might take a (physics) course in which you are expected to be able to integrate).

(3) The most useful “methods” of integration are actually very important theorems (that apply to all functions, not just elementary ones).

Naturally, the last reason is the crucial one. Even if you intend to forget how to integrate (and you probably will forget some details the first time through), you must never forget the basic methods.

These basic methods are theorems which allow us to express primitives of one function in terms of primitives of other functions. To begin integrating we will therefore need a list of primitives for some functions; such a list can be obtained simply by differentiating various well-known functions. The list given below makes use of a standard symbol which requires some explanation. The symbol

means “a primitive of ” or, more precisely, “the collection of all primitives of .” The symbol will often be used in stating theorems, while is most useful in formulas like the following:

This “equation” means that the function satisfies . It cannot be interpreted literally because the right side is a number, not a function, but in this one context we will allow such discrepancies; our aim is to make the integration process as mechanical as possible, and we will resort to any possible device. Another feature of the equation deserves mention. Most people write

to emphasize that the primitives of are precisely the functions of the form for some number . Although it is possible (Problem 11) to obtain contradictions if this point is disregarded, in practice such difficulties do not arise, and concern for this constant is merely an annoyance.

There is one important convention accompanying this notation: the letter appearing on the right side of the equation should match with the letter appearing after “” on the left side—thus

A function in , i.e., a primitive of , is often called an “indefinite integral” of , while is called, by way of contrast, a “definite integral.” This suggestive notation works out quite well in practice, but it is important not to be led astray. At the risk of boring you, the following fact is emphasized once again: the integral is not defined as “, where is an indefinite integral of ” (if you do not find this statement repetitious, it is time to reread Chapter 13).

We can verify the formulas in the following short table of indefinite integrals simply by differentiating the functions indicated on the right side.

( is often written for convenience; similar abbreviations are used in the last two examples of this table.)

Two general formulas of the same nature are consequences of theorems about differentiation:

These equations should be interpreted as meaning that a primitive of can be obtained by adding a primitive of to a primitive of , while a primitive of can be obtained by multiplying a primitive of by .

Notice the consequences of these formulas for definite integrals: If and are continuous, then

These follow from the previous formulas,

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外文译文：

积分的基本理论

根据微积分的第二基本定理，推导并计算出每一个公式的导数的过程，我们称这个过程为积分。例如：

因此，

为了使这个公式便于书写，我们对它进行了简化，采用了记号：

因此上述的式子就可以写成：

对于积分的计算依赖于一个有趣的猜想，那就是函数是的一个原函数。事实上，若对于函数，满足，那么，我们称是的原函数。当然，对任意的连续函数，必定存在一个与之对应的原函数，记作

但是，在本章节中，我们将探究一些常见的函数的积分，例如,等。对于这些常见的、具有可导性质的函数，我们把这样的函数称为初等函数。为了更精确的表述，^*初等函数是由有理函数、三角函数及其逆的加法、乘法、除法的混合等组成，此外还包括对数函数与幂函数。

应该在一开始就说明部分由初等函数复合的函数的原函数通常无法找到。例如，这里有一个复合初等函数

对于一切都较难找出它的原函数。（这不仅仅是一个关于数学无知现状的报告;这也是一个定理(困难)，没有这样的函数存在）。并且更糟糕的是，您将无法知道是否可以找到一个对应的原函数（您只能希望在本章给出的问题中没有印刷错误）。

^* 我们将给出较为精确的定义，但同时它也不是真正的准确，或者说不太标准。通常情况下，初等函数被定义为包括 '代数' 函数，即函数满足等式

其中是合理的函数。但为了我们最终的目的，这些细节可以被忽略。

鉴于需要寻找的原函数是如此得不确定，一旦发现一个，将特别令人满意。假如我们观察这样一个函数

它满足

（为什么我们会观察这样的函数是另外一件事），因此

然后，我们确信可以找到的一个确定的结果。

本章包含的不仅仅是寻找基本函数的原函数的方法（这样一个简单的过程称为 '积分'），还包含一些记号、缩写和惯例等，用以简便这个过程。对于积分这一过程作用的认知可以从三个方面来看:

（1）积分是微积分中的一个基本话题，每个人都应该知道；

（2）每隔一段时间，实际学习的过程中，您需要在不被允许查阅任何标准积分表的条件下，去计算一个给定的积分(例如，在一个 (物理) 课程中解决某一问题，您需要在其中进行积分)。

（3）计算积分的最有用的 '方法' 实际上也是一些非常重要的定理 (适用于所有积分，而不仅仅是一些简单、初级的)。

当然，最后一个原因是关键的。即使你打算忘记如何计算 (你第一次可能会忘记一些细节)，你也不能忘记最基本的方法。

这些基本方法是定理，使我们能够在其他函数的基础上计算出一个函数的原函数。因此，开始整理我们需要的一些函数的积分列表；这样一个表单可以简单地通过整合各种各样常用的函数获得。下面给出的表单使用了一个标准的符号，需要对此进行一些解释。

这个符号表示的积分，更确切地说，是的所有原函数的集合。这个符号常用于叙述定理，与此同时，常应用于公式，如下：

这个 '等式' 意味着函数满足。它不能被逐字解释，因为右边是一个因式，而不是一个函数，但在这样的背景下，我们将允许这种差异；们的目标是使积分过程尽可能机械，我们将采用任何可能的方式。这个等式的另一个特征值得一提。很多人写作

用以强调的原函数正是如同函数一般有着一些常数。尽管这一点是很可能被忽视的 (问题 11)，但在实际运用中，这种困难不会产生，而去关注这个常数只是徒增烦恼罢了。

伴随着这个记号有一个很重要的惯例: 出现在等式右边的式子应该与出现在左侧的以后的元素匹配——例如：

求积分中的函数，即是求的一个积分，通常将这样的式子称之为求的不定积分，相比之下，则被称为求的定积分。这种暗示性的符号在实践中非常好，但不被引入歧途也是十分重要的。冒着无聊的危险，下列事实将再次被强调：当是的一个不定积分时，积分不被定义为（如果您没有发现此语句重复，是时候重读第13章了）。

我们可以通过区分右侧的式子来验证以下不定积分的公式。

（为方便书写，经常被写作，此表的最后两个示例中使用了类似的缩写。）

两个相同性质的公式是关于微分定理的结果：

这些等式意味着的积分可以通过的积分加上的积分来表示，而的积分则可以用的积分乘以常数来获得。

注意：这些公式对于定积分的计算有着类似的结果: 如果和是连续的，那么

这些由前面推导而出的公式，因为每个定积分可以看作是对应的不定积分在的区间[a,b]上的值。为了确定这些积分的存在是有意义的，需要被积函数具有连续性(当然，当和仅仅是可积的时候，公式也是正确的，但回想在这种情况下证明是多么得困难)。

在推导上述公式的过程中，产生了一个更有意思的定理，它将可以通过几种不同的方式表达。

定理 1 (按部分积分)

如果和是连续的，那么

（需要注意的是，第二个等式中表示作用.）

证明：

公式

可以写成

因此

并且也可以选择表示成，到这里，第一个公式即证明完毕。

第二种公式只是第一个重述，第三个公式紧接着可以由前两个中的任意一个推导而出。

如下面给出的例题所示，当被积函数被看作是函数的乘积，其积分的计算比解更简单，显然另一个函数就是。

有两个特殊的技巧，往往是用于复合函数的部分。第一个是考虑函数 ，可以总是被写成因数 1。

第二个技巧是通过部分的积分来找到中的， 然后解决。一个简单的例子就是计算

这意味着

或者

通常还需要进行更复杂的计算，例如：

因此

或者

由于部分的积分依赖于识别函数是的形式，所以您进行积分的函数越多，成功的几率就越大。在解决主要问题之前，做初步的整合通常是合理的。对于下面的积分，我们可以使用部分积分

如果我们回想 (这个公式本身是由部分的积分推导)；我们有

最重要的积分方法是链式规则的结果。这种方法的使用比部分积分更需要独创性，甚至对方法的解释也更难。

因此，我们将分阶段开发这一方法，首先说明定积分定理，并为之后的不定积分的处理节约时间。

定理 2 (替换公式)

如果和是连续的，那么

证明：

若是的一个原函数，因此等式的左边是，另一边的是：

因此，是的一个原函数，并且式子的左边为

替换公式的最简单的用法取决于给定的函数。例如，对于下面的积分：

由作为该积分的积分因子，在该积分中运用了替换，因此可以替换成，这样就只剩下因式，并且该式可改写，其中令：、，因此

积分可以做类似的处理，我们可以将这个积分改写：

在这个式子中，可以作为，当时，剩下的因式就能写成和，因此

最后，我们来探究积分：

注意到，当时，且，从而能够得到

幸运的是，这些替代公式的使用可以大大简化积分的计算过程。中间涉及到的替换步骤

可以通过使用以下方式很容易地省略:从左到右依次书写

我们可以直接在原始的积分上执行替换（关于这个定理的名称的确定），例如：

类似的：

通常，我们对这个方法进行简单地优化，写作：

因此，可以写作

在本章中，我们通常对原函数感兴趣而不是确定积分，但是，若我们找到区间[a,b]上对应的积分，然后我们可以得到的确切的值。例如：对于定积分

它遵循于

类似的有：

从置换公式中获得积分因子是相当不合算的，首先需要找到定积分。相反，两个步骤可以组合，从而产生以下过程:

(1) 令：

(在这样的操作以后，仅因式应该出现，而不是因式).

(2) 找出被积因子 (作为一种包含的表达式)。.

(3) 然后用 来替换.

因此，我们找到

(1) 令：

然后可以得到

(2) 计算

(3) 然后记得用替换，因此，

类似的，令

然后得到

从而

如果要计算

令

若对给定的替换因式2没有问题，则积分可化为

因此

（这一结果可能与积分的部分重合，从而产生了一个已经提到公式，

上述替代公式的应用*说明了最直接和最有趣的类型，一旦适当的因数被找出，整个问题就可能从精神上变得足够简单。当然,以下的三个问题的正确的替代 (第三个问题已被进行了一点点伪装，化为了代数骗局)只需要在本章开头的不定积分的简短表述中得到提供的信息。

*替换公式通这样书写：

这个公式不能逐字地推敲 (毕竟， 应该意味着一个原始的函数；应该意味着原始的，这些当然是不相等的。)然而，它可以被看作是我们所开发的程序的象征性摘要。如果我们使用莱布尼茨的表示法和一个小变换，公式将特别好读数:

如果你没有成功地找到合适的替代因式，你应该也能够从答案中猜测出来，什么是，和。起初，你可能会发现这些问题很难在你的头脑中思考出来，但至少当 是类似于这样 非常简单的形式时，你不应该浪费时间去写出替换。下面的积分应该都是明确的。(唯一令人不安的细节是正确的定位常数——第二个应该回答 还是 ？我一直在处理这些问题，如下所述。清楚地是。(某事)。现在，如果我令，则我可以得到，因此 '某事必须是 1/3，而不是3。)

当因式无法出现时，就会产生更有意思的替代公式。在发生这种情况时，有两种主要的替换类型。我们首先考虑积分

对于表达式突兀的出现，建议使用简化的替换

虽然表达式未曾出现，但它始终可以被放入:

因此我们得到积分

可以利用代数方法来进行转化，得到

从而可以继续计算

解决这个问题还有另一种替代的方法，它不需要乘以，如果我们令

然后

对于大多数的替代问题，如果你利用这个技巧：用来替代，用来替代，而不是反过来，就会容易得多。不难看出为什么这个方法总是起作用 (只要对于的替换表达的函数是一个对于任意一一对应且成立的): 如果我们应用替换

对于积分

我们可以得到

另一方面，如果我们应用直接的替换

对于同样的积分有

同样可以得到

积分 (1) 和 (2) 是相同的，因为。

对于另一个具体的例子，考虑积分：

在这种情况下，我们将全力以赴，取而代之的是一个整体。因此我们可以选择替代

则积分可化为

然后可以进行计算，

另一个例子，这说明了可能发生的第二种主要的替代类型，例如下面给出的积分

在这种情况下，我们将采用一个复杂的表达式来代替简单的，我们将替换成，因为我们发现。这真的意味着我们正在使用替换，但是的表达式，可以帮助我们找到替代的表达式，从而简化了积分的运算。

因此

然后积分可以化为

这个积分的结果取决于等式

（参见下面的三角函数的讨论）因此

即

积分中对于被积因子的替代是你必须掌握的一种基本方法。借助它们的基本性质，可以解决大量的函数的积分问题。尽管如此，正如我们所给出的一些例子所揭示的那样，成功往往取决于一些额外的技巧。更重要的是下面将要列出的一些方法。使用这些方法，您应该能够对问题1到问题 7 的进行积分(其他一些有趣的技巧，将在剩下的一些问题中进行解释)。

1. 三角函数

已知：

和

我们可以推导出

或者是

这些公式可用于积分

若 为偶数，代入

对于或将进行一次用于降低次数的步骤，例如：

或者是

若为奇数，，则

还有一种表达式中涉及到相乘的形式的，所有这些都可以很容易地积分。对于的积分将被相似地处理。积分

如果 或 是奇数，则处理相同的方式。如果 或 都是偶数，则使用 和 。

最后一个重要的三角积分是

尽管得到这个结果还有几种“派生”方法，通过我们已经使用的方法 (问题 10)，最简单的还是通过区分等式的右边，来检查这个公式并记住它。

2. 缩减公式<!--

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