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摇摆对称块体的概率地震需求模型和易损性估计

Esmaeel Bakhtiary, Paolo Gardoni

School of Civil and Environmental Engineering, Georgia Institute of Technology, Mason Building, 790 Atlantic Drive, Atlanta, GA 30332-0355, United States

Department of Civil and Environmental Engineering, MAE Center: Creating a Multi-hazard Approach to Engineering, University of Illinois at Urbana-Champaign, 3118 Newmark

Civil Engineering Laboratory, 205 N. Mathews Ave., Urbana, IL 61801, United States

摘要：本文提出了一个概率模型，用以预测在特定地震烈度下，受地震激励的摇摆体的最大转动。在得到了非线性运动方程并得到了应用于摇摆体上避免滑动所需的边界条件后，对摇摆运动的近似周期和等效阻尼比的估计进行了全面的讨论。在此基础上，提出了一种新的近似方法，即通过寻找最具代表性的地震动强度来代替已有的迭代解。对这些强度进行适当的变换和规范化，并采用贝叶斯更新方法构造概率模型。该概率模型能够在给定地震位移设计谱、地震动峰值加速度、地震动峰值速度和arias烈度的情况下，准确地预测对称摇动块体的最大转动。利用该概率模型，结合摇动块的近似承载力，对具有特定几何参数的摇动块的脆弱性曲线进行了估计。最后，结合数值算例，给出了一种综合实用的易损性曲线形式，供设计参考。

1.简介

独立的非结构组件（例如建筑组件或未锚固的结构）依靠其自重（重力）来确保倾覆的稳定性。这些结构包括博物馆中的雕像，电气设备以及医院中的敏感设备。在许多情况下，放置这些组件的建筑物在地震中不会倒塌。但是，这些独立组件的故障可能会导致巨大的经济损失和致命事故。因此，近年来，各种研究者的注意力都集中在独立式刚性砌块的摇摆响应上。在[1,2]中提出了对承受水平运动的基座上的刚性砌块的摇摆响应的早期研究。当前的研究使用了这些研究中得出的摇摆运动的公式。这些模型已用于描述受基础激励作用的摇摆体的行为和倾覆。一些研究人员采用谐波载荷（例如[3–6]），而其他许多研究人员则使用地震地震动（例如[7–9]）。在参考文献中[1]对于在选定地面激励下的独立式砌块，已经提出了倾覆标准。倾覆概率随着地面加速度峰值（PGA）幅度的增加而增加[9]。此外，摇摆体的易损性随着其细长度的增加或尺寸的减小而增加[9]。一些新的研究还集中在使用基础隔离来减轻块体摇摆上。这些研究还显示了隔离系统的有效性。

在文献中可以找到可用于基础隔离块的更新运动公式（[10-13]）。这些研究还显示了隔离系统的有效性。在[9]中已经提出了一种概率方法来确定在地震激励下的块体的倾覆概率。在那之后，其他研究也集中在寻找块的倾覆可能性上。特别是，[14]进行了概率调查，并发现了倾覆脆弱性与峰值地面加速度（PGA），峰值地面速度超过峰值地面加速度（PGV / PGA）和频谱加速度（Sa）的关系。这些结果与文献[15]中的实验数据进行了核对，表明易损性与实验结果一致。最近的研究表明，摇摆体的易碎性与地震的峰值位移需求（PDD）密切相关。在研究之前，在[1]中已经开发出了一种针对摇摆体自由振动周期的解析解决方案，该方案将运动周期T与旋转角度h相关联。估计了具有单自由度系统的自由体的摇摆运动，并提出了对摇摆块的近似阻尼比[17]。与响应谱相关的摇摆结构的周期和阻尼比的可利用性促使研究人员[17]提出了一种相对简单的程序来估计在地面运动下的独立物体的最大旋转。联邦紧急事务管理局的建议中也使用了此过程的更新版本。然而，在[18]中对该方法进行了全面的研究，结果表明该迭代方法不准确，应该放弃。

本文开发了一个综合模型来考虑200种不同的地面运动来计算摇摆体的最大旋转。利用这些数据，贝叶斯框架被用来为对称刚性块的摇摆运动开发一个概率需求模型。该模型适当地考虑了主要的不确定性，包括由不正确的模型形式或缺少变量引起的模型误差，测量误差和统计不确定性。为了更好地近似可用于摇摆体的地面运动强度，使用在[1]中开发的运动周期公式，并得出了阻尼比的近似值。周期和阻尼比用于归一化地面运动强度。本文并没有将解决方案局限于特定的地面运动强度，而是使用初始的23种不同的地面运动参数集来研究它们对摇摆体最大旋转的影响。然后使用生成的数据选择相关的地面运动参数。之后，使用开发的概率模型，生成易损性曲线。易损性曲线定义为对于给定的一组几何特性和地震烈度，摇摆体倾覆的条件概率。为了更好地理解几何形状对倾覆概率的影响，首先对细长度恒定且尺寸不同的块的易损性曲线进行比较，然后，对恒定大小且细长度不同的块进行相同的比较。 这些比较可以用于获得一组完整的易损性曲线。此设置适用于各种块的细长和大小。最后，解决了一些例子，以阐明易损性曲线的使用，并提供结论。

2.摇摆体的动力学

本节的目的是构造在地震激励下的刚性对称物体摇摆运动的合适非线性方程。文献中有多种方法来构造运动方程并考虑撞击过程中的能量损失。本文使用角动量守恒[19]。此外，还讨论了启动摇摆运动所需的标准以及该块塌陷或倾覆的最大阈值。

• 1. 非线性运动方程

所有表示刚体的几何参数如图1所示。其中，C是物体的质心，r是从C到旋转角的距离，h是物体的旋转角度，h是质心的垂直高度，b是质心到旋转角的水平距离，a是将一个角连接到质心的线与垂直线之间的角度。通过评估摇摆运动期间作用在系统上的所有力的平衡来获得运动方程。图2中显示了在摇摆运动期间作用在身体上的力，它们同时围绕左角（角1）和右角（角2）摇摆。可以通过编写围绕旋转角的力矩平衡来获得该单自由度系统的运动方程。在这些图中，是身体的旋转角度，并且分别是水平和垂直地面运动加速度。对于水平和垂直运动，地面位移的正方向分别为向右和向上。假设速度和加速度具有相同的正方向。当块体逆时针旋转时，旋转theta;为正；当块体逆时针旋转时，旋转theta;为负。首先，考虑逆时针旋转，并且可以以类似方式获得顺时针旋转的方程。对于逆时针旋转，力矩平衡为

其中 是相对于转角的惯性矩，Ic是相对于质心C的惯性矩，g是重力加速度。在图2a中，项是由于主体具有的角速度而作用在主体上的离心力。但是，由于它作用在旋转角上，因此它的合力矩为零，并且它不出现在运动方程中。术语是由于旋转加速度引起的平移惯性力。

类似地通过考虑到在这种情况下与底座的抬起相关的旋转为负，来获得顺时针旋转的运动方程。通过参考图2b中报告的力来写顺时针旋转的平衡。该方程式为

假定摩擦足以避免滑块滑动。在[2]中对这个标准进行了完整的讨论。

2.2摇摆运动的开始

当由于重力和车身垂直加速度而产生的阻力力矩之和小于惯性力[2]引起的倾覆力矩时，就会发生摇摆运动。公式是

垂直地面震动的存在并不会系统性地影响倾覆概率的平均值（[9,20-22]）。因此，本文只考虑地震动的水平分量。通过去除地面运动的垂直分量，然后用水平峰值地面加速度（PGA）代替。方程式（3）可以改写为：

2.3塌陷或倾覆状况

假定当块体倾覆时发生塌陷状况。当旋转的绝对值超过细长角alpha;时，摇摆体倾覆

重要的是要注意，这种假设是一种简化。该假设基于当时作用在刚体上的力的静态平衡。但是，即使在地震发生时，惯性力也可能使旋转的角度块回到安全区域，即使块超过了最大角度alpha;。但是，因为当摇摆块达到a时，它具有惯性动量来倾覆，因此返回到安全区域的可能性可以忽略不计。当使用此标准为摇摆体最大旋转建立无偏概率模型时，在下一部分中将基于虚拟实验对该假设的有效性进行完整讨论。

2.4摇摆运动时的冲击

当旋转角h达到零时，刚性块与地面之间会发生碰撞。在分析中，考虑到无弹跳行为（即，在撞击后，连续的摇摆围绕相同的拐角进行），因为身体的细长度足够大来防止[23]。假定撞击是立即发生的，并且身体位置保持不变。地板和砖块通常由不完善的弹性材料制成，并且冲击力不是弹性的。因此，块的撞击后转速不等于撞击前转速，可以通过以下方式计算：

其中是冲击恢复系数。该方程式对于围绕右角或左角的摇摆运动有效，并且可用于摇摆角从左到右的转换，反之亦然。随着身体的细长度（h /b）增加，a减小，结果，冲击恢复系数的值减小。因此，细长块中的能量损失比扁平块中的少。在本文中，冲击恢复系数是在假设角动量守恒的情况下计算得出的（例如[2,19]）。矩形摇摆体的冲击恢复系数g可以计算为

3.摇摆体动力学特性的估计

如前所述，当摇摆的物体撞击地面时，会发生撞击，并且在撞击期间，物体的某些动能会消散。用粘性阻尼器估算摇摆运动中的影响，并使用刚体摇摆运动中粘性阻尼器的阻尼比公式。重要的是要注意，影响的持续时间非常短。因此，与地面碰撞时的耗散性质不同于粘性阻尼器中的能量耗散。在用于结构动态建模的粘性阻尼器中，能量的耗散是连续发生的，而不是在很短的时间内发生的。但是，冲击阻尼和粘性阻尼都会降低振动幅度。本研究的目的不是要找到等效的单一自由度系统。而是使用阻尼比的近似值和摇摆运动的典型非线性周期来计算地面运动强度。

3.1 摇摆运动的阻尼比的近似值

如方程6所示，撞击后的摇摆体的角速度是撞击前其速度的一部分，并且一些动能消散。可以计算出两个连续的自由摇摆振动峰值。根据[24]并调整旋转方程，阻尼比为

其中，是旋转的峰值，是一个周期之后的旋转的峰值，是阻尼比。为了找到自由摇摆振动的阻尼比，从旋转角释放自由摇摆体。当摇摆块返回其初始释放点时，它达到，小于初始旋转角度。通过找到 =的比率并将其放在等式中。 （7），可以计算阻尼比。在每次撞击时，角速度都会减小系数，因此，动能会减小系数。使用了能量守恒，并假设能量损失仅在碰撞时发生（每个周期两次碰撞）。因此，块体从释放时的总能量与一个周期之后的总能量具有以下关系：

当摇摆体达到最大可能的旋转角度时，角速度和动能为零。因此，块体的总能量是势能的形式

等式可以求解（12）的的值用于使用等式7获得对称摇摆体的阻尼比。

根据定义，块体的峰值旋转在翻转之前从零变到a。作为简化的假设，为使阻尼比仅是a的函数（假设具有对称分布），假定等于均值其可能范围的值，即。使用这个假设，等式（12）可以简化为

可以数值求解该方程，并获得与a的给定值相对应的。因为假设，所以可以对应于a的特定值计算的值。用代入方程式。根据式（7），可以得到阻尼比的函数。该过程通过数值方式完成，并通过将多项式函数拟合到解中。此后，可以得出以下简单方程，以根据阻尼角a的函数来近似阻尼比。

方程（13）和（7）的同时数值解之间的比较。以及等式（14）的结果绘制在图3中。等式（14）相对简单，使用该方程的结果非常接近精确解，可以用作阻尼比的良好近似。

3.2 摇摆运动的线性化

摇摆阶段的运动方程（式（1）或（2））本质上是非线性的。但是，通过为方程中的变量定义一些特定的边界，可以使其更简单并找到线性化形式。通过将h和a限制在较小的值，而忽略地震垂直分量的影响，（1）可以简化为

这是摇摆运动方程式的线性形式，可用于得出线性运动周期。

3.3 摇摆运动的线性化周期

使用式（15）中，刚性块的摇摆运动的近似线性化周期为：

对于矩形块（I =（4/3）mr2），P减小为常用值[6]

3.4 摇摆运动的非线性周期

等式（16）仅对细长块和小角度旋转有效。但是，通过对摇摆运动进行非线性研究，可以消除这些限制。摇摆运动的非线性周期的精确公式如下[1]：

其中是归一化的旋转角度，P可以从等式（17）获得。对于一般形状或等式（18）用于矩形体。

3.5 摇摆运动的线性和非线性周期比较

获得了摇摆运动的线性和非线性周期。可以通过等式右边的等式（16）（线性期间）和等式（19）（对于非线性周期）来比较这些公式

通过求解该方程式的，可得出等于0.6。这意味着当=0.6时，摇摆运动的线性和非线性周期相等。

6.结论

本文针对给定的地面运动参数，开发了一个概率模型来预测刚性对称物体的最大旋转。概率模型是使用解释性术语开发的，这些术语是基于对基本行为现象和影响地面运动参数的理解而开发的。贝叶斯更新方法用于评估一组未知模型参数。使用虚拟实验需求数据进行模型评估。一组细长角alpha;和大小r的不同值用于构造受大量代表性地震地震动作用的36个代表性刚性块。因此，已开发的需求模型考虑了地面运动的不确定性，模型误差以及模型参数的统计不确定性。虽然计算机建模的结果被认为足够准确，但是未来的工作可以通过贝叶斯更新方法使用实验数据或现场测量值来更新建议的模型。本文考虑了23种不同的地震参数。但是，未来对其他重要地震参数（例如地震频率含量）及其与PGA组合的影响的研究可以用来更新本文提出的模型。作为一种应用，已开发的需求模型用于评估一组细长角为a且尺寸为r的块体的倾覆脆弱性。已经发现，尽管alpha;对失效的可能性有实质性的影响，但它对易损性曲线的影响有限。提供了数值示例，以阐明所提出的模型和易损性曲线的使用。这些例子表明，随着块细长度的增加和块尺寸的减小，摇摆体的易损性增加。所开发的需求模型和脆弱性曲线可用于遭受地震地震

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