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有限噪声源的被动合成孔径成像

Josselin Garnier

（概率与随机模型实验室amp;Jacques-Louis Lions实验室，

巴黎狄德罗大学，F-75205巴黎Cedex 13，法国）

摘要：研究被动合成孔径成像问题。单个移动的接收器天线记录由一个或几个远距离噪声源并由一个或几个反射器反向散射的随机信号生成。源通过固定随机过程建模发出噪声信号。在连续时间窗内，将接收到的信号计算得到的自相关函数相加，对多普勒因子进行校正，并通过适当的传播时间进行偏移，来对反射器成像。其中多普勒效应起着重要的作用，可用于分辨率的提高。当噪声源位置未知时，即使只有非常少量的噪声源，也可以根据与噪声带宽的记录成正比的精度来定位反射器。当噪声源的位置已知时, 即使只有一个噪声源，反射器可以根据与载波波长成正比、与接收机轨迹的长度成反比的横向距离分辨率（即合成孔径）来定位，并且距离分辨率与带宽倒数成正比。

关键词：被动成像；合成孔径雷达；波传播；相关成像

(某些彩色数字可能仅在网络期刊中显示)

1. 简介

我们研究被动合成孔径（psa）雷达成像问题。这类问题一方面是由诸如广播站、移动电话或无线基站等照明源的增长所激发，另一方面是由静止[9、15、16]或移动[2、9、17、27]的低成本接收器的可用性所激发。

图1.被动传感器阵列成像设置。在(a)中绘制了一个源的几何设置：是源位置，

是反射器位置, (X(t))_t∊_[0,T]是接收器天线轨迹。

在(b)中，绘制了多个（此处为三个）源的几何设置。

此外，合成孔径雷达中的数值处理在如今是可以实现的，甚至可以通过使用GPU计算来加速[5]。在本文，我们考虑由具有宽带容量的单个移动接收器天线记录一个或多个远处噪声源产生的信号，并由一个或多个反射面反向散射的情况（参见图1）。噪声源是一种类似点的源，它发出一个未知的信号，模拟为一个平稳的随机过程。其位置可能已知或未知，我们将处理这两种情况。当有一个机会源重复发射相同的脉冲时，证明基于相关的技术可以用于成像反射器[23，24，26，27]。当有许多噪声源并且照明足够多样化时，也就是说，当噪声源足够密集并且分布在一个扩展区域中时，在[13]中已经表明，可以通过在连续时间窗上迁移接收信号的自相关函数来成像反射。[13]中提出的成像方法遵循地震干涉测量的原理，其中被动接收阵列仅使用环境噪声照明来执行行程时间层析成像和反射成像[3，10–12，14，20，25]。

在[13]中，分析是在停走逼近下进行的，这意味着接收天线的速度足够小，因此可以假设接收天线在每个时窗内是静止的。[13]表明，在停-走近似下，只有在照明丰富且多样化的情况下，反射器才能成像。然而，当天线速度过大或相关时间间隔过长时，停走逼近法不成立。如在[22]中所讨论的，在主动合成孔径雷达的条件下，天线既是源又是接收器，必须考虑两个主要影响。首先，天线可能在相关的时间间隔内移动，这是在主动合成孔径雷达的情况下从天线到目标的往返行程。其次，多普勒效应在被测信号中引起频移。频率偏移必须包含在匹配滤波器成像功能的定义中。

在本文中，我们考虑和利用两个原始且重要的特征来重新探讨psa雷达成像问题：

-在实践中，源的数量可能非常有限。实际上，扩展噪声源的情况对应水下声学问题，在这个问题中，在海面正下方有一片点状噪声源[18、19、21]。在雷达中，典型的情况是使用一个或多个噪声源或机会源[9]。这意味着我们应该能够仅用一个点状噪声源来解决这个问题，然后将结果扩展到多个源，但在有限的数量上，这是与[13]中研究的源分布的连续体近似相补充的情况。

-当计算自相关的时窗宽度变大时，不能忽略多普勒效应。 实际上，我们将看到这一持续时间是决定被动配置中多普勒效应影响的相关时间，而不是决定主动配置中从接收器天线到目标的往返时间。时窗的长短取决于用户。经验上认为选择一个较小的时间窗口是适当的，因为它可以使我们避免多普勒效应，并使用[13]中的停走逼近法。 但是，如[23，24，26，27]中注意到的，多普勒效应实际上在被动成像中是有用的，并且适当的成像功能利用多普勒效应，可以解决有限源的情况。这是本文的主要研究成果。

论文结构如下:第2节介绍了成像功能，总结了主要结果。在第3节中，我们对成像函数进行高频分析，给出了当存在未知位置的单点状噪声源时成像函数的分辨率特性。在第4节中，我们将结果扩展到多个未知源。最后，我们在第5节中介绍并研究另一个需要了解源位置的成像函数。第6节是数值模拟，阐明了本文的主要结论。

1. 被动合成孔径成像

2.1被动合成孔径成像装置

本文研究一种二维情形。在本节中，我们假设在处有一个点状噪声源，具有已知轨迹的单运动接收天线(X(t))t∊[0,T]，和一个点状反射器在处(见图1(a))。反射器是由一个局部变化的传播速度来模拟的。

其中为一个小型域，容积为 , 反射器的反射率为 。

接收天线记录

(2)

式中 us(t, x)为噪声源在处产生的波场:

以形式（1）的传播速度。源项n_s(t) 是噪声源发出的信号，我们将其建模为实现具有均值零和协方差形式的实值随机过程

(4)

这里 lang;·rang; 代表噪声源分布的统计平均值。为简单起见，我们认为n_s有高斯统计，其分布具有相关函数F(t-t)特征，这是唯一变量(t-t)的函数，这意味着该过程是平稳的。相关函数中的傅里叶变换是非负的，实际值函数与噪声源的功率谱密度成正比：

(5)

相关函数的中心频率用w₀表示，其带宽为B。相关函数的形式为:

中带宽的B、和cc代表复共轭。

在典型的雷达配置与侦察平台中，，，典型的传播距离L约为10 km。接收天线的速度V约是200 [6, 9]。

在[13]中，进行了停走逼近。假设接收器在时间间隔期间,连续N个位置（j= 1, K, N）上,固定位置_，在这些连续和不相交的时间间隔中记录下信号{u_s(t, ), t }，然后提出psa成像函数:

其中是传播时间

[13]中成像函数（6）的引入是受接收器记录的噪声信号的自相关与该接收器到其自身的格林功能之间的关系[10]的影响。 格林函数的峰值时间等于从接收器到反射器的传播时间的两倍，对应于反射器反向散射的波。这就是为什么在（6）中在从接收器位置到搜索点的传播时间的两倍处对记录的噪声信号的自相关进行评估以捕获该峰值的原因，并且这些偏移的自相关在连续的时窗内求和。 但是，在[13]中进行的分析是基于停走逼近法（允许忽略多普勒效应）和扩展的源分布模型。

文献[13]的分析表明，当噪声源的空间分布受到限制时，成像函数(6)失效。然而，当使用相对较大的时间窗时，多普勒效应就不能再被忽略，它实际上可以对反射器的定位起到有益的作用。这就是我们将多普勒psa成像函数作为连续时间窗中记录信号(2)的偏移和多普勒校正自相关函数之和的动机。

它的形式是:

是多普勒因子

是时间t时接收天线的速度,是一个标准化的时窗函数,我们可以认为,例如，在或处，是时间窗的宽度，是第j个记录时窗中心。注意，这里假设记录时间间隔是连续的（如果）或甚至重叠的（如果）以便利用由噪声源生成的整个数据集。∆T的选择在等式(12)中解释，多普勒因子的形式来自对以下直接和反射信号的分析。

注意，我们不需要知道任何相关源的信息来计算成像函数。在多普勒因子之前，成像函数(9)与文献[13]中提出的成像函数(6)相似。事实上,如果和X（t）的位移在时间间隔内被忽略,因此, 两个成像函数(6)和(9)一致。

多普勒效应在psa成像中的应用并不少见。在一系列的论文[23,24,26,27]中，作者开发了一种方法，在这种方法中，来自一个接收器的窗口信号与来自另一个接收器(或相同的接收器)的另一个窗口中接收到的信号的缩放和平移相关联。该方法只使用信号的分散分量，需要机会源重复发射相同的脉冲。本文提出了一种解决噪声源平稳发出随机信号的方法。此外，我们还对总场进行了处理，即散射场和直接场的叠加，因为在处理平稳随机噪声源时，这些分量是不能分离的。

2.2. 主要成果总结

我们选择一个时间窗口∆T

下面我们会看到，这意味着:

bull; 时间窗口比典型的传播时间长。

bull; 多普勒效应在∆T的时间尺度上很强。

bull; 多普勒效应可以通过将相位项扩展到的一阶来定量捕获。

注意，我们应该把取∆Tsim;与上面提到的数字结合起来。还有，利用假设, （即典型的传播时间大于脉冲宽度）和（即一个时窗内的接收器位移小于范围) ，显然这在所有情况下都是合理的。例如，在我们的设定中，是，1/B 为，V∆T为1m,L长为10 km 。

我们还假设噪声源的带宽B是：

在雷达配置中很容易满足这一条件。

最后，我们还假设了一个几何条件，即接收天线的轨迹在源位置和反射位置之间。确切的假设是接收天线轨迹与连接源位置和反射位置的线段相交。这就是所谓的日光照明条件，特别是在文献[10]中，利用固定接收阵列进行被动成像的情况下引入。

在这种情况下，当上有一个位置未知的光源时，成像函数（9）可以将反射器定位到经过且与向量-正交的直线附近（请参阅第3节）。这条线的粗细（定义“距离”分辨率）约为。当存在多个位置分离且位置未知的独立噪声源时，反射器可以定位在这些线的交点处，分辨率约为。多普勒效应在此结果中起关键作用（请参阅第4节）。正是成像函数中的多普勒校正，加上传播时间偏移，给出了反射器的定位。

当存在具有已知位置的点状噪声源时，可使用第5节中所述的替代成像函数，该函数可提供反射器的定位，其分辨率相当于使用标准、主动合成孔径成像获得的分辨率（即当移动天线既是发射机又是接收机，并且它发射一系列中心频率为和带宽为B的短脉冲时）。在这种情况下,横向距离分辨率由瑞利分辨率公式给出，，是噪声源的中心波长(在记录时窗[0，T]内)，L是从接收机天线到成像接收器的传播长度。距离分辨率再次由给出，其中B为噪声源带宽。

3.成像函数分析

3.1信号记录

我们用表示波方程的时间谐波格林函数，传播速度的形式(1),它解决

在佐默费尔德辐射条件下。格林函数满足Lippmann– Schwinger（李普曼-施温格尔）方程，

其中是背景介质的格林函数,也就是说,在没有反射器的情况下:

因为我们认为反射器弱，所以我们使用Born(或单散射)逼近格林函数

此外，如果反射器回应较小(小于典型波长)，则得到点状近似:

我们使用这个模型来获取数据。注意,在一个二维开放介质,是下式给出的齐次格林函数：

其中是一种零阶Hankel（汉克）函数。使用汉克函数[1，公式9.2.3]的渐近形式，我们看到齐次格林函数的高频特性与传播时间有关

我们可以把记录的信号写成齐次格林函数的形式：

备注 如果替换处的噪声源，我们认为一个脉冲源发射信号，然后，利用齐次格林函数的高频渐近形式和的展开项，我们可以给出记录信号的直接分量和分散分量的傅立叶变换的近似表达式：

这使得我们可以看到每个分量都有一个特定的多普勒因子。实际上，到达接收器的直达波来自，因此多普勒因子，而散射波来自，多普勒因子。 对于典型传播时间

，由多普勒效应引起的前导阶修正出现在方程(24)-(25)的各个阶段，其形式为。因此，如果,对于脉冲源（仅仅是脉冲源）的多普勒效应是可以忽略,其中是发射脉冲的载波频率，是典型传播时间，V是接收器的速度（是多普勒因子beta;的典型振幅）。但是，下面章节将不使用方程式(24)-(25)，在第3.3节末尾会看到，对于噪声源，条件实际上并不是忽略多普勒效应的充分条件。

3.2成像函数

局部成像函数(10)由下式给出：

应该还有其他三个影响，即项，项，项。然而，这些影响消失了，因为它们牵涉到源发出的两段信号的相关性，其时滞远大于相干时间1/B。我们在附录中给出了相关影响的详细证明。

命题3.1在假设(12)-(13)下，局部成像函数(10)形

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