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基于稀疏表示的传感器阵列信号重构

Dmitri Model,Michael Zibulevsky

德米特里模型，迈克尔·齐布列夫斯基

以色列理工学院电气工程系，以色列海法，2004年11月9日收到；2005年5月11日收到修订版；2005年5月30日收到，2005年8月3日在线提供。

摘要：我们基于以下假设提出了一种多传感器信号重构技术：源信号在空间上是稀疏的，并且在时域中在所选字典中具有稀疏的表示。但同时会导致大规模的凸优化问题，涉及组合的l₁-l₂范数极小化。我们可以通过内部迭代中的预处理共轭梯度以及通过截断牛顿法进行优化，重建的副产品是源位置的估计。

关键词：信源定位；信源重建；宽带；多路径

1. 介绍

许多不同的方法解决了基于传感器阵列接收到的信号检测多个宽带源并估计其到达角（位置）的问题。极大似然估计^[1]可能是最精确的技术；但它假定信号源的数目和信号源的谱密度矩阵是已知的。似然函数一般是非凸的，并且可能有虚假的局部解。另一种多源定位方法结合特殊ARMA参数估计方法和非线性优化过程来估计相对时延^[2]。然而，这种方法不能有效地处理相关的信号源，需要事先知道信号源的数量。

信号子空间处理方法最初是针对窄带情况提出的^[3]。在观测周期较长且信噪比不太低的情况下，与传统的波束形成器、Capon的MLM^[4]和自回归谱估计器^[5]相比，该方法在估计信号到达方向方面具有更高的分辨率。信号子空间处理的概念也可用于宽带情况。文中给出的技术可以称为非相干信号子空间处理^[6]：首先分别对每个窄带分量进行角度估计，然后将这些估计组合起来得到最终结果。正如在任何检测和估计系统中常见的那样，在低信噪比下，阈值效应阻止最终组合有效^[7]。非相干信号子空间处理的另一个问题是，即使信噪比无限高，观测时间无限长，它也不能处理完全相关的信源。在相干信号子空间处理的基础上发展了几种技术^[7]，它们表现出比相应的非相干技术更好的性能，但仍然需要较长的观测时间和高信噪比才能很好地估计协方差矩阵。

本文提出的方法非常通用，适用于近场和远场情况下的窄带和宽带信号，同时实现了信源定位和时间进程估计。我们假设输入信号可以稀疏地表示为适当的基或帧（例如，通过短时傅立叶变换、小波变换、小波包等）。例如，在[8,9]中，这种思想被用于非常有效的盲源分离。我们还将该空间划分为一个潜在震源位置的离散网格，并假设震源稀疏地位于那里（类似于[10–12]）。由于可能的源位置的数目往往远远大于传感器的数目，因此相应的反问题是不确定的。为了使解正则化，使用l₁范数和非平方l₂范数正则化来增强时空稀疏性。在信号表示中，使用l₁范数来实现稀疏是众所周知的，参见示例[8,13]。

该方法对传感器阵列模型进行了时域处理，适用于窄带和宽带信号。本文还讨论了信号传播的多径（卷积）模型。结合时空稀疏性的假设，我们的仿真结果表明，这种方法提高了系统的性能。

1. 问题表述

2.1观测模型

假设K个离散时间信号s_k[n]撞击由M个传感器组成的传感器阵列。kth源向mth传感器的多径传播可以用传递函数h_km[n]的卷积来表示（参见例[14]）（图1（a））。因此，我们可以描述mth传感器的输出，y_m[n],如下：

（1）

注：表示卷积，是传感器记录的附加噪声。如果我们设置，上述方程对远场直接路径模型也是有效的：

（2）

这里，是第k个源向mth传感器的延迟。相对于第一个传感器的延迟，即。

2.2离散化空间模型

在我们的方法中，我们假设环境的特性（信号传播模型、传感器位置）是已知的。给定问题的几何结构，我们可以在一些离散的潜在位置集中划分整个实验区域。它可以是近场情况下的一组像素/体素，也可以是远场情况下的到达角方向网格。我们通常会有比活动源更多的潜在位置，我们的任务就是确定哪些位置确实包含源。

将lth位置的潜在源信号表示为s_l[n],1le;nle;T。假设，我们有L个潜在的位置，信号在时间上被限制为T个样本。让我们介绍一个Ltimes;T矩阵S，其行中包含所有潜在位置的源信号，矩阵S是我们想要估计的未知量。当解决方案实现时，我们期望只有几行对应于活动源的S显著地变大，同时每个位置的信号能量将用作空间谱估计。

假设我们的阵列中有M个传感器。我们介绍了传感器测量矩阵Y，它在第m行包含输出信号y_m[n]来自mth传感器的。

图1.（a）在混响环境中，信号s_k[n]的传播对于第i个传感器建模为具有传递函数h_ki[n]的的卷积。（b）均匀线阵的图解。信号s_k[n]从远场冲击到阵列。

由于我们知道传感器的位置和波传播模型，我们可以预先计算传递函数h_lm[n]从任何网格节点l到任何传感器m。

让我们定义一个前向运算符Ȧ，它的作用U=ȦS是在任意矩阵S上。

（3）

U_m[n]是U的第mth行。注意，我们对所有位置（S的行）一视同仁，就好像它们都包含活动源一样。这种Ȧ的表示对于我们的计算是足够的，我们不需要它的显式矩阵形式。

我们的问题是找到矩阵S给出的观察结果。

(4)

其中N是加法噪声矩阵，其mth行包含mth传感器记录的噪声。尽管运算符Ȧ是已知的，但如果没有额外的优先级，问题就无法解决，因为我们的网格位置比传感器多得多。

伴随运算符是梯度计算所需的值，由其作用X=Y给出：X的第i行是

（5）

注意h_ji参数附近的减号。

2.3插值

如上所述，我们使用离散时间信号。因此，当D_ji不是整数时会出现一个问题。一个简单的解决方案是用四舍五入的延迟替换分数延迟。然而，这种方法大大限制了空间分辨率。一种更好的方法是在应用Ȧ运算符之前对信号进行上采样，可以使用一些插值核产生上采样。

让 N_up由N_up运算符表示，如果S是Ltimes;T矩阵，那么S_up= N_upS将是Ltimes;TN_up矩阵。注意，那么S_up的第1 N_up（i-1）列等于S_up的第i列（1le;ile;T）。其他列应使用插值计算。

假设，我们要计算矩阵S_up的第j列。此列对应于一个时间点，位于原始信号的样本k=[j/N_up]和k 1之间（[]是天花板函数）。上述时间点与最接近的原始信号样本之间的距离是d^-=(j-(k-1)N_up-1)/ N_up取左样品，d =1-为右边的样本（在采样周期T_s中测量）。最后，如果是插值核，N_io是插值阶，S^k是S的第k列，那么

（6）

我们还需要计算伴随算符，把Ltimes;TN_up矩阵S_up转变为Ltimes;T矩阵。

利用上述符号，我们可以为矩阵S_r的kth列——写出以下公式：

（7）

现在，在我们的模型中，我们将使用修改后的运算符。

（8）

而不是Ȧ和，但为了简单起见，我们将继续将修改后的运算符表示为Ȧ和。注意，在上述采样之后，我们应该调整D_ji为D_jiN_up。我们仍然需要将D_jiN_up舍入为最接近的整数，但现在舍入的误差更小了。

1. 算法描述

3.1稀疏正则化

在反问题的框架下，我们解决了源分离和定位问题：我们希望找到源矩阵S，这样在应用前向算子Ȧ之后，结果将尽可能接近实际的传感器测量矩阵Y，即Yasymp;ȦS。换言之，我们想找到极小化子。这种邻近度的度量与最大似然模型相联系。根据噪声模型选择特定的范数。我们假设高斯白噪声，因此我们使用由定义的Frobenius矩阵范数。

然而，直接解决上述问题并不能很好地估计源矩阵S，因为问题是不可靠的：可能的位置比传感器多得多。为了使解正则化，我们使用稀疏先进行试验：我们假设源S在某个基中是稀疏表示的，或者在Gabor、小波、小波包等函数的超完备系统中是稀疏表示的（参见示例[13]）。特别地，存在一些运算符Phi;和系数C的稀疏矩阵，使得

（9）

矩阵Phi;在其行中包含所选基的元素。矩阵C的行将包含所选基中时域源信号的分解系数。

除了时间稀疏性外，我们还将执行空间稀疏性，如[12]中所建议的。这种稀疏性确实存在于我们的问题公式中。回想一下，我们已经将空间划分为一组可能的位置，并且有比活动源多得多的位置。

所有这些都导致以下目标函数，必须在C中最小化：

（10）

其中：c_i矩阵的第i行（第i个源的系数），c_ij是c_i中的第j个元素。标量和用于调整每个项的权重。

（10）中的第一个术语是基于Frobenius的数据保真度。第二个术语倾向于在时间上选择稀疏可表示的信号；它基于l₁范数，该范数先前被证明在增强稀疏性方面是有效的[8,13]。第三种是空间稀疏正则化项，它的目的是使源信号集中在少数几个位置。很容易看出，将某个系数从一个活动源位置移到一个空位置，会严格地增加这个项。

注意，我们选择C（而不是S）作为目标函数的变量。这个选择是有意的：从C到S的转换总是存在的，它在（9）中定义。但是，并不总是定义反变换（例如，当选择的信号字典过满时）。

还要注意，矩阵Phi;通常不需要显式存储。乘以Phi;和Phi;^*对应于某些信号字典中的合成和分析操作，并且可以非常有效地执行（例如快速小波或小波包变换），有关详细信息和更多示例，请参见[13]。

为了在数值上最小化目标（10），我们使用L₂型的光滑近似，其形式如下：

（11）

近似值变得更精确了，因为 。很容易看出，如果Psi;应用于x的单个元素，它就成为绝对值的光滑近似。

（12）

利用（11）和（12），我们得到以下目标函数：

（13）

3.2选择优化技术

我们可以有效地计算ȦS和Ȧ^*Y的积，它使我们能够计算梯度矩阵G和Hessia

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