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量子相干性

介绍——相干性是干涉现象的核心，在物理学中起着核心作用，因为它使经典力学或射线光学中不可能实现的应用成为可能。量子力学作为波与粒子的统一图景的兴起，进一步强化了相干性在物理学中的突出作用。的确，与能量量子化和状态空间张量积结构相结合，相干性构成了例如多粒子干涉和纠缠等现象的基础，这些现象在量子物理和量子信息科学的应用中发挥着核心作用。

量子光学方法为相干性的处理提供了重要的工具，而量子相干性理论的形成正是量子光学方法的基础。本文从相空间分布和多点相关函数的角度研究相干性，为经典电磁现象提供一个与之密切相关的框架。虽然这有助于从经典波动力学中获得直观感受，并确定量子相干性与经典相干性偏离的方向，但它没有提供一个严格和明确的框架。鉴于最近关于生物系统中相干性的作用的讨论，发展量子框架下的相干性就变得更加紧迫，因为生物系统可以受益于更严格的量子相干性的方法

量子信息科学的发展在过去的二十年里已经导致量子纠缠等物理现象的重新定义，使它们从单纯的工具进化成“巧妙地羞辱对手的量子力学”，这些资源用被开发用来实现在经典物理中不能实现的任务。因此，这个观点推动了一种量子理论的发展，该理论以一种严格的数学方式捕获到了这种资源特性。这种资源理论的形成最初是和那些导致了约束条件观点的量子纠缠理论一起进行的[例如，局域操作和经典通讯（LOCC） ]，这样就阻止了一些被用来实现资源定义[例如，纠缠态]和帮助克服强加约束的物理操作。这个观点曾经被证明不仅对应用程序的发展卓有成效，而且解决了在提供动力理论建立一个统一和严格定义物理资源的量子理论框架下的三个主要问题（1）特性描述（2）量子化（3）在施加约束条件下的量子态的操纵。这个框架正在探索纠缠，热力学和参考系，并使人们认识到纠缠理论和第二定律之间的深层相互关系。

相反，使用了各种各样的关于相干性的测量方法（通常是密度矩阵的非对角项的函数），这些度量方法的使用往往是主要基于物理直观感受，在此，我们按照参考文献中为纠缠所确立的方法，建立了一个作为一种资源的量子理论，从而为这些测量方法奠定一个良好的基础。参考文献[6-8]和[13]中的参考系。我们提出一个基本假设，并使用这些假设来计算各种量子的易于计算的有效的相干性，同时拒绝其他测量方式。

结果——我们讨论的核心是对非相干状态描述以及非相干操作的概念，即量子将一组非相干态映射到它自身。我们区分有和没有子选项的量子操作。这些技术定义导致操作上对良好的最大相干状态有了明确定义，它可以作为相干的一个单元。我们收集了一组满足任何测量方式的条件。其中的主要要求是基于非相干操作的单调性。然后，我们讨论了几个例子——其中一些采用了易于用计算解析表达式表现的形式。例如，我们发现相干的相对熵满足

其中S是冯诺依曼熵和通过删除Q中的所有非对角元素获得的符号，然后得到直观的l₁相关性的标准为

这些都是关于相干性的测量。相反，我们发现所有非对角元素绝对值的平方之和违反了单调性。

非相干态——定义相干测量的第一步是确定哪些态是非相干态。自然的定义是确定一个特殊的基础框架，{|igt;}_{i=1，。。。，d}，在我们考虑的量子态上采用d维度的希尔伯特空间。我们所说的所有密度矩阵对角元素在此基础上是不相干的，自此以后，我们把这组量子态标记为。因此，所有密度算符的形式为

非相干操作——对于相干单调的定义（以及相干量子）需要有非相干操作的定义，就像纠缠理论中关于纠缠单调的定义需要非纠缠操作的定义一样。在此，这个定义是由实际条件决定的，即位置约束，这导致了LOCC操作的定义。在这里，我们将一系列非相干物理操作定义如下，量子操作是由一组满足的Kraus算符{K_n}定义的。我们需要非相干算符来对所有的n履行。这个定义可以保证在所有的量子操作中，即使没有使用独立的结果n，没有观测者（例如，确实有这些结果）将推断出相干性是由非相干态中产生的。因此，我们即使在概率上也不允许量子操作相干性的任何一个分支由非相干输入态而产生。

我们区分了两种量子操作(A）完全非相干性积极和迹保持不变量子操作，像这样的操作，Kraus算符与d_out*d_in有着相同的维度并且满足。注意，这个量子操作的公式意味着信息损失可能导致的测量结果，但是在原则上是可用的。

这就引出了第二类操作(B)保留测量结果的量子运算（视环境而定，称为测量，选择运算或者随机运算），因此允许根据这些测量结果进行子选择。这些也是由Kraus算符根据来定义的，然而现在，可能每一个操作都可能有不同的输出维度（是一个d_n*d_m的矩阵）并且要求再次对每一个n履行。保留知识测量的结果。状态与给出的n的结果一致并且发生的概率是。

对于单个量子比特的退相干机制特别重要的是非相干Kraus算符是定义去极化、相位阻尼和振幅阻尼通道的算符。此外，在线性光学实验中，双轨道量子比特的模型排列实验也是非相干操作的实例。由此，我们建立了一个量子相干性资源理论的框架。下面的这一切是从这些物理动机良好的定义中推导出来的。

最大相干态——我们首先确定d维最大相干态是一种允许通过非相干操作准确生成所有其他d维量子态的状态。注意，这一定义（i）独立于测量相干态的具体措施（ii）使我们能够确定一个所有测量都能标准化的相干性单位。最大相干态的得出是通过，因为通过非相干操作[类型（A）或（B）]，任何单独的d*d态rho;可能从做好确定的准备。我们通过明确的构建一个非相干操作来实现补充材料的转换。

两个自然的问题随即出现，第一，这种最大相干状态是一种资源吗？这种资源在消耗时，允许通过非相干操作生成其他所有相干操作吗？我们在补充材料里面证明是这样的，实际上例如：提供，每一个单一的操作作用于一个量子比特可以通过非相干操作实现。第二，有人可能会问，非相干操纵是否会在一组量子态上引入一个顺序，即，给出两个态和是否可以转化成，反之亦然。我们不得不把这个作为一个开放的问题，但补充材料的报告的小进展，对此我们注意到类似于[24，25]中提出的纠缠态的单拷贝转换协议。

相干性测量——我们现在收集适当的定义任何函数C映射状态到非负实数必须要满足适当的相干测量。首先，我们要求它消失在一组非相干状态：对于所有的，例如在所有的非相干态中它应当是零。也可能需要一个更强的条件：这意味着非零C(rho;)不管rho;在何时都包含相干态，显然C（1′）意味着（C1）。

至关重要的是，在(A)或(B)类非相干操作下，任何适当的相干测量都不应该增加（C2a）在完全正相关和迹保持映射下的单调性，例如，在所有的中都满足。回想一下，这忽略了基于度量结果的子选择的可能性。保留测量结果导致：（C2b）平均选择性测量下的单调性，即对于所有的在和中的{}都满足。

应该注意的是，除了单调的要求下操作类型（A）和（B），人们可能会争论说基于测量结果的子选项是添加了一个经典标志来描述有关的量子态它引入了第三个单调性的要求。我们在补充材料[19]中对此做了进一步的论述，我们发现在这些操作下相干的相对熵和l₁范数也是单调的，进一步加强了他们的关键作用。

理想情况下，人们希望确定同时满足（C2a）和（C2b）条件的措施。我们认为（C2b）下的单调性更重要，因为它允许子选择，这是一个在受控制的量子实验中有效的过程。然而，我们将发现（C2b）通常更难验证，而（C2a）自动满足一个广义类别的相干性度量。

此外，从物理角度来看，我们希望确保只有在混合的情况下相干性才会降低。这就导致了我们的最终条件：（C3）混合状态下的量子态没有增长（凸性），即，对于任何一组态和任意并且都满足。

现在，满足条件的相干测量（C2b）和（C3）意味着条件（C2a),再一次强调了（C2b）的重要性。这可以从下面这个公式中看出

然后，我们研究相干测量的自然候选项。所有的都是基于距离测量。

距离测量——在量子态D之间的任何距离测量，我们通过下面这个公式可以定义候选相干性测量

即，到一组非相干量子态间的最小距离（在D态下）。根据定义，（C1′）是当自动完成所有D当且仅当，即，如果D是一个度量标准。

与纠缠理论[26]类似，我们可以立即确定一整组距离测量D当C_D满足(C2a）：无论何时D在CPTP映射下都是收缩的，即，这样的 ,对于任何完整的正向迹保持映射，它都能推论出一个如下的功能性的满足（C2a）的公式

我们使用和表示非相干态到最小距离。

无论何时D都是共同的凸函数，推论出相干单调性C_D满足条件（C3）

对于所有的n，使到的距离最小化，如果和任何矩阵范数，（C3）是由三角不等式和自动性意味着绝对的同质性。

条件（C2b）似乎更难决定。显示（C2b）的一个好的出发点是检查D是否满足参考文献[6]中给出的条件。我们接着考虑具体的例子。

相干的相对熵。考虑量子相对熵，并表示由推导出的测量。它显然满足（C10和（C1′）。此外，已知相对熵在CPTP映射下收缩，且共同凸面是[27，28]，即，满足（C2a）和（C3）。它也满足（C2b），这可以按照[6]的方法显示，用于一般的选择性测量（见补充材料[19]）.除了满足我们所有的相干测量的需要，允许一个封闭形式的解决方案，避免了最小化：让并且给出一个来表示

，然后，因此

应用这个公式，我们可以在一个态中很容易的找到最大可能值：对于任意的态有这是最大限度的获得相干态的表面定义。注意，在类似的环境也考虑了这种相对熵度量，例如量化叠加和框架[29-34].值得注意的是在（C2a）下的单调性，(C2a）是引用[29]的结果的特殊情况。

l_p规范——非常直观的量子相干性肯定与所考虑的量子态的非对角元素有关。因此，利用非对角元素的泛函数对相干性进行量子化是必要的。给出一种常用的相干量词

但它是（C1）—（C3）态上合适的相干性测量吗？如果是这样，它将构成另一个直观的相干单调性与一个简单的封闭形式。这是衡量l₁引发的矩阵范数[35] ，因此满足（C1）和（C3）。此外，（C2b）可以直接显示（参见补充材料[19]），从而隐含（C2a）（参见上面的讨论）。因此，本文建立的相干l₁范数和相干的相对熵是最普遍的相干单调项。

可能有人会问，由其他的l_p矩阵规范诱导的度量是否也可以作为适当的相干单调。例如，考虑平方希尔伯特-施密特范数引起的测量，这是

在补充材料[19]中，我们发现C_l2不满足（C2b),即，存在（B）类的非相干操作，在这种操作下，C_l2增加。这表明，在对相干性进行量子化的时候必须谨慎：尽管C_l2由于其与量子态的非对角元素相关的简单结构，在直觉上似乎是一个不错的候选，但它并不构成一个有效的相干单调。

我们还讨论了其他可能的候选指标，如补充材料[19]中的保真度和迹范数所导致的测量。

前景——在前面，我们提供了作为资源的相干性理论的基础，以及具体关于相干性量子化的第一个结果。完成这一理论是一项艰巨的任务，需要彻底的考虑在这一资源观点下的对相干性的操作、量子化和利用问题。

在这篇文章中，我们已经确定了最大相干态的概念，但是我们还没有通过非相干操作提供相干态互相转换的完整理论。这有两个主要方面，一方面，从实际的观点来看，设置相干态的单一副本是相当有趣的，因为这在实验室中是最容易得到的，我们希望建立一个理论，在纠缠理论中也有类似的发展。在那里，优化的概念提供了相关的结构，决定了状态的可互动性[24，25，26]，并使探索诸如催化[37]等概念成为可能。参考文献[38]中已经报告了在这个方向上的一些进展，这些进展是针对的是特定的设置，但是使用的是另一类允许的量子操作。这种现象是否也发生在相干性的资源理论中，或者是否可以建立量子态的总秩序，还有待探索。

另一方面，无穷多的渐进极限相同的备用副本相干态及其互变现象的不相干的现象感兴趣的，因为它可能会提供一个链接到热力学第二定律等概念[7,8,39]，通过使可逆互变相干的资源，通过调用等自然连续性需求渐进连续性[40]，它可能导致一个独特的相干性测量的识别。后者我们期望通过相干性的相对熵来实现，这与纠缠理论的发展十分相似[7，8]。参考[34]在这个方向上采取的步骤，并在退相干过程的热力学平衡环境中提供了相干的相对熵测量的热力学解释。

相干性操作的第二个方面涉及到当只有非相干性操作和相干性状态的供应可用时，将其作为一种资源加以利用[38,41]。在第一步中，我们已经证明任何（相干的）单一操作都可以用这种方式实现。目前还没有建立资源最优协议，也没有从这些资源中生成通用的量子运算。这进而引发了诸如量子运算的相干性成本和运算的相干性功率对偶问题等问题，再次与纠缠理论中的类似发展密切相关[41，42]。

很可能上述三个问题的每一项都将导致合理和良好的相干性措施的定义，每一项措施都将与某些相干性转换的效率有关。然后，这将提供一个关于相干性作为一种资源的量子化的全面情况。

上述所有考虑都隐含地假定了有

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