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随机摩阻自主移动机器人的自定位

及轨迹控制系统

摘要：作者利用模型参考适应控制系统针对随机摩阻自主机器人系统提出了一种鲁棒自适应控制方法。首先，非线性机器人系统模型近似于反馈线性化，推导出标称控制律；接下来，摩擦动力学的在线估算构造出最小二乘的观测。作者推导出一个用以控制摩擦估算误差的扰动系统模型，并且设计一个模型参考适应控制以减轻其影响。此外，利用Lyapunov稳定性理论可以得出扰动系统模型的稳定条件。通过计算机仿真，作者验证了该控制方法的成功，其中包括与基于标称动力学的传统控制器的比较。

1 简介

近几年，自主移动机器人被广泛应用于工业领域，人们努力致力于增强机器人能力，提高机器人性能。在许多大型工厂，比如发电厂，自主机器人现在已经取代人类去执行高难度、高危险任务了。移动机器人必须能够精确控制自己期望的位置和路线。各种工程论文针对自主机器人系统讨论了各种有效的控制方法。Harter提出了一种演化的神经网络控制器并且将其应用到自主机器人的路径规划和轨迹控制方面。这种控制器采用了一种新的神经网络，其结构能够适应于新的未知的情境。Ohnishi 和 Asakura 利用模糊推理系统为蜘蛛机器人构建了一个智能转向控制器。他们设计了一种基于生物激励模糊规则的模糊策略用于控制机器人的速度。在引用文献[3]中，作者针对六自由度水下机器人系统提出了一种滑块控制方法。在引用文献[5]中，通过一个基于LabView的测试平台，针对带有计算机视觉路径规划的步行机器人，为其实时开发和实施模糊控制。Ren等人针对适用于大型工作环境的复杂移动机器人开发了一种控制器。在引用文献[7]中，Martins等人开发了一种鲁棒自适应动态控制方法针对一个稳定独轮车机器人。

工程师们常常使用近似的线性模型为包括移动机器人在内的复杂的非线性系统设计控制器。很多情况下，这种近似模型会导致在实施过程中性能降低甚至无法接受。此外，这种基于线性模型的简单的设计会忽略掉模型误差以及对于性能的影响。特别是对于移动机器人，摩擦会导致高度复杂的非线性甚至在线性控制方法中紊乱的行为会被忽视包含摩擦的模型常常含有重大误差在摩阻模型中，导致难以接受的性能损耗。

我们针对随机摩阻动力学自主移动机器人提出一种新的鲁棒自适应控制方法。首先，我们利用反馈线性近似计算线性机器人系统得出标称控制律。接下来，我们参考一个扰动系统动力学的自适应控制策略提出一个辅助模型。我们利用最小二乘法滑动窗口策略在线估算摩阻系统。我们还利用Lyapunov稳定性理论研究了机器人控制系统的稳定性。我们通过计算机仿真以及与传统控制方法的比较证明了我们控制系统的成功。

本文组织如下：第2部分描述了自主移动机器人的分析模型，第3部分提出了线性化扩展以得到标称机器人模型。我们在第4部分提出了最小二乘法摩擦估算并且在第5部分推导出模型参考自适应辅助控制律。第6部分提供了扰动动力学稳定性分析，第7部分呈现了数值模拟结果，第8部分给出了结论及未来的工作。

2 自主移动机器人分析模型

图1 机器人的几何模型

我们考虑一种带有四轮驱动系统的自主移动机器人。图1是这个机器人系统的示意图。图中，d是轮轴与穿过重心c平行轮轴的平行线之间的距离，r是轮半径且R机器人宽度的一半。

机器人的动态行为用3个状态量表示：坐标x_c和y_c以及转向角theta;。机器人的运动方程形式为^[8]: (1)

其中，q=[x_c y_c theta;]^Tisin;R³，和是状态量，输入和未知干扰矢量。M(q)是一个对称正定惯性矩阵，是一个向心力科氏矩阵，表示表面摩擦力。在等式右边B(q)是一个输入变换矩阵，lambda;是一个约束力变量并且C(q)是一个约束矩阵^[8]。利用拉格朗日方程确定方程（1）中的矩阵元素，我们得到：

，

其中，m是机器人的质量。显然，该系统模型包含非线性项。

3 非线性机器人系统的反馈线性

我们利用反馈线性转换（1）中的非线性系统模型，构造一个标称控制器。首先，在（1）中令=0（没有干扰），我们定义标称控制

项如：

（2）
其中，。我们解方程（2）得到控制输入变量： （3）

用伪逆矩阵和一个新的控制变量u。将（2）代入（1）中，得到标称系统模型为：

（4）

我们选择线性控制律u为：

（5）

其中，控制参数矩阵K₁，K₂isin;R^3times;3。我们将（5）代入（4）中得到反馈线性动力学方程：

（6）

因为这模型是线性的，所以我们可以使用任何线性设计方法来确定满足期望的控制规范的控制矩阵K₁和K₂。

4 最小二乘法摩擦观测

在第3部分中假定系统模型完全知道了（2）中的摩擦力F。在实践中，摩擦力F只能知道近似值并且实施第3部分的控制器设计常常导致无法接受的性能。如果摩擦力F可以很好地实时估算的话，这控制器性能能够接近标称动力学的性能^[9]。在这篇论文中，我们利用摩擦力最小二乘法估算值来改善我们控制器的性能。首先，我们重写（3）中的控制律，摩擦力估算值满足：

我们写出系统模型（1）对应的状态方程为：

然后，我们利用向后欧拉逼近离散状态方程：

并且得到逼近状态方程：

其中，b是采样周期。使用多项式摩擦力模型^[8]：

其中，表示摩擦系数，我们替代（9）中的第二状态方程得到：

从（9）的第一状态方程中，且（11）近似于：

（12）

接下来，我们利用公式：

根据（12）估算得到表达式：

最终，我们得到：

方程（14）写成标准线性形式为：

其中，是需要估算的参数矢量，是一个包含系统参数矢量的测量矢量，是一个观察矩阵以及是一个高斯随机矢量。利用（14），我们写出：

参数矢量theta;的最小二乘估算值是^[10]:

其中，表示Moore-Penrose广义逆矩阵。对于一个满秩矩阵，我们有：

最小二乘法需要到当前时间k的所有测量数据。随着时间的推移，这将导致一个巨大的矩阵以及对于实时计算无法接受的计算负荷。然而，并非所有历史数据需要用于参数估算，仅有部分数据需要保留。利用一个合适的数据窗口对摩擦参数进行在线有效计算是可行的。在（15）我们使用一个宽度的滑动窗口估算参数矢量。

5 自适应控制设计

建模和摩擦估算误差在实时实施中是不可避免的，需要用附加控制器降低这些误差的影响。我们提出一种鲁棒自适应控制方法来弥补摩擦估算误差：

在（3）中的含有摩擦误差的控制输入重写为：

类似的，将（23）代入（4）中得到扰动系统模型：

用控制变量表示为：

其中，是（5）中的标称输入变量与辅助输入变量的和，

，为正数，=1,2。将（25）中的第二项代入（24），我们展开系统模型为：

最后，我们状态向量的状态空间形式表示这个模型为：

在（26）中加上辅助控制变量u(t)以补偿由于系统扰动导致的控制误差。理想情况下，我们设（26）中,得到（6）的标称模型。但是，由于在离线设计步骤中是未知的，因此这个选择不可取，并且我们利用鲁棒自适应控制策略创建u为F的函数。我们的目标是计算跟随参考线性动态模型的实际系统模型的控制输入变量：

其中，为参考状态向量，为参考状态矩阵，为参考输入矩阵。参考模型的阶数跟装置的一样并且它的状态矩阵是赫尔维茨矩阵，也就是说，它的所有特征值都是开放LHP。我们将误差跟踪矢量e(t)定义为参考状态向量和实际状态向量x之间的差：

我们区分这个误差方程并且将（27）和（28）代入误差方程得到动态误差：

我们利用Lyapunov稳定性理论设计一个稳定的鲁棒自适应控制使误差趋近于0。首先，我们定义正定二次Lyapunov函数：

其中，P是正定对称的。Lyapunov函数沿着系统轨迹的派生函数是：

区分于（32），我们得到：

上式中派生函数在平衡点附近动态误差一定收敛于平衡点。因此我们需要满足下列不等式：

其中，对于正定矩阵P满足，因为在（28）中被选定为稳定矩阵。当下列条件满足时不等式（34）成立：

因为非线性函数和f(x)包含辅助控制变量，所以我们必须推导出一个控制规则对于任意时刻t都满足不等式（35）。我们首先在（28）中选择一个带状态矩阵和输入矩阵的可控参考模型：

为简单起见，令（34）中和为：

这将不等式（34）简化为：

将（36）的两个矩阵代入（37），我们得到：

为了简化计算，我们将（38）中的每个6times;1向量分解成两个3times;1向量：

我们将（40）和（27）代入不等式（38）然后简化得到：

接下来，我们选定控制变量为两个输入变量之和：

我们用（42）替代（41）中的第二项，得到：

为了推导出，我们令：

我们解出控制律：

其中，是的伪逆矩阵。将（44）代入（43），我们得到：

我们写出各个向量：

其中，，为有界扰动由于模型和满足的估算误差。我们将（46）代入上式得到不等式：

一个简单的满足不等式（48）的充分条件是：

最后，我们选择保证条件（49）成立的辅助控制率为：

将（50）代入（49），我们得到下列不等式：

联合（45）和（50），我们最终得出（42）中的控制律为：

我们使用自适应机制设计控制律以弥补实时实施中的控制和估算误差。我们的方案如图2。

图2 提出的机器人控制系统原理图

我们总结鲁棒自适应控制设计步骤如下：

1.选定（28）中稳定的线性参考动态模型。

2.选定一个对称正定矩阵Q并且解出Lyapunov方程得到相应的矩阵P。

3.利用选定的参考模型解出（45）中的。

4.添加（45）和（50）的控制律，解出（52）中的辅助输入。

6 稳定性分析

这部分依靠Lyapunov稳定性理论提出了第5部分的扰动机器人系统稳定性理论研究。我们引用Khalil^[11]著名的论文中我们无需证明的定理。

定理1：^[11]考虑这样一个非线性自定系统，指数稳定平衡点x=0且关联Lyapunov函数满足以下三个不等式：

lt;

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