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曲轴圆角滚压下的截面应力分布模拟和弯曲疲劳强度测试

K.S.崔,J.潘

（密歇根大学，机械工程学院，美国，密歇根州，安阿伯市，48109-2125）

摘要：曲轴圆角滚压产生的残余应力和弯曲疲劳试验中圆角附近的弯曲应力是决定曲轴弯曲疲劳极限的重要影响因素。在本文中，通过基于崔和潘提出的各向同性硬化规律[崔K.S，潘J.基于Mroz多屈服面模型对于压力敏感和压力不敏感材料的广义各向异性硬化规律（筹备中）]的二维平面应变有限元分析，探究经曲轴圆角滚压和随之的弯曲疲劳试验后曲轴圆角附近的残余应力和弯曲应力。对于在卸载或重新加载过程中的主动屈服表面，首次提出了基于崔和潘的各向异性硬化规律（筹备中）和米塞斯屈服函数的演化方程。采用皮尔斯等人对应变率敏感材料正切模量的推导方法[皮尔斯D,施CF, 尼德曼A.应变率相关固体的切线模量计算法。Comput Struct 1984;18：875-8 7] 导出本构关系。在Abaqus编写并执行基于各向异性硬化规律和本构关系的用户材料子程序。首先，基于各向异性硬化规则和Abaqus的各向同性和非线性运动硬化规则，在单轴单调和循环载荷条件下的简单平面应变有限元模型下进行计算。结果表明，该材料的塑性响应遵循预期的各向同性硬化规则下输入应力 - 应变数据关系，然而塑料响应取决于非线性运动硬化规则下的应力 - 应变数据的输入应变范围。然后，基于崔和潘的各向异性硬化规律（筹备中）和Abaqus的非线性运动硬化规律，对圆角滚压和弯曲的曲轴部分进行二维平面应变有限元分析。一般情况下，基于两个强化规则的应力分布趋势在经滚压后和弯曲状态下颇为相似。然而，对于弯曲状态下的2毫米圆角表面，当考虑滚压残余应力时，基于各向异性硬化规则的压缩环向应力比基于非线性运动硬化规则下的更大。根据各向异性硬化规则推导出的曲轴应力分布情况，疲劳裂纹出现的主要部位与弯曲疲劳试验中的实验观察结果相一致。

1. 简介

汽车的发动机曲轴需要能够承受大量的循环载荷。由于曲轴圆角附近的疲劳裂纹是汽车曲轴的主要故障机制之一，采用滚压工艺提高曲轴的疲劳寿命已被用于生产实际多年[3]。曲轴圆角的轧制过程使圆角表面附近产生压缩残余应力。压缩残余应力降低了圆角表面附近由于工作载荷产生的疲劳驱动应力，从而提高曲轴的疲劳寿命。许多科研人员已经曲轴的应力集中系数，应力强度因子和疲劳强度进行了研究[4-8]。在这些研究中，并没有考虑由于滚压产生的圆角附近残余应力对于曲轴的疲劳强度的影响。然而，由于机械部件的疲劳寿命受残余应力的影响，疲劳分析应该考虑残余应力，以便准确地预测部件的疲劳寿命。神村[9]和马卢夫等人[10]进行了通过滚压增加铸铁缺口圆棒疲劳强度的实验数据测定，而Kloos等[11]和Richards等人[12]则采用钢缺口圆棒的进行了相关的实验测定。Courtin等[13]和Gardin等人[14]利用数值计算方法，推导了对圆棒切口附近的裂纹产生和扩展部位进行轧制的有益影响。然而，由于几何形状不同，带缺口圆柱杆和滚压后的曲轴部分的残余应力分布相比有较大的差异。

根据Abaqus非线性运动硬化规则的二维有限元分析，Chien等[15]研究了通过滚压使铸铁曲轴产生的残余应力对于弯曲状态下曲轴的疲劳破坏过程的影响。结果表明，弯曲状态下曲轴的疲劳失效情况取决于残余应力在圆角表面的几毫米范围内的总体分布。残余应力和循环弯曲应力的总体分布决定了有效应力强度因子范围，从而影响了曲轴圆角附近疲劳裂纹的产生、发展和终止。注：圆角半径为毫米级。Spiteri等[16,17]和Choi等人[18]通过二维有限元分析研究了滚压下滚轮几何形状对于圆角附近残余应力的影响，其实验结果验证计算结果。结果表明，除了圆角表面1毫米内的区域外，滚轮的具体几何形状对曲轴残余应力的总体分布可能并没有显著的影响。基于以上研究结果，准确地预测出圆角表面几毫米范围内的残余应力分布情况，对于确定疲劳破坏过程和曲轴下弯曲疲劳极限十分重要。

一般情况下，一个合适的屈服函数需要能够恰当地描述出相关材料的塑性行为。至于汽车曲轴材料，球墨铸铁由于密度低，机械性能良好，更重要的是能够以低成本铸造出复杂的形状，已经被广泛用于工业生产。由于较高的强度和预期NVH效益 [19]，近年来，锻钢在逐渐地取代了球墨铸铁在汽车曲轴设计中的地位。需要注意的是，由于石墨颗粒的存在，铸铁会展现出压敏屈服现象。因而，可以通过德鲁克 - 普拉格屈服函数[20]描述铸铁的压力敏感塑性行为[21,22]。在材料塑性行为的建模中，硬化规则也起着非常重要的作用，因为硬化规则详细说明了应力空间屈服面在塑性变形期间的演变。过去，科研人员提出了各种不同的硬化规则，以解释说明屈服平面在塑性变形过程中的变化。在单调近似成比例加载的条件下，各向同性硬化规则对材料的硬化行为表现出很好的近似性。另一方面，由于鲍辛格效应无法由遵循各向同性硬化规则的模型来解释[23,24]，科研人员又提出来运动硬化规则。然而，在复杂的塑性变形的研究历史中，经常会观察到许多背离各向同性和运动硬化规则预测的塑性行为。因此，各种塑性理论被提出以解释循环硬化行为[25-30]。比如Armstrong和Frederick[25]以及Chaboche[28]为了说明在循环载荷试验中观察到的非线性弹性-塑性行为，在Prager模型中引入了附加的非线性项[23]。根据各种金属的单轴循环塑性行为的一般性观察结果，科鲁兹[26,30]提出了偏应力空间中对于无限量初始状态共心的屈服面的加工硬化模量场概念。在他的模型中，每个表面的转化彼此间不交叉，但它们之间的相互连接是连续的。Lamba和Sidebottom[31,32]进行的非比例循环应变实验表明了科鲁兹硬化规则可以用来预测实验中的应力-应变响应。虽然科鲁兹硬化规则能为材料的行为给出良好的预测，但是其数值实现方式已被认为是低效率和复杂的，因为应力空间中所有的屈服平面的位置都需要被连续地监测，因此需要很大的存储器进行数据存储。

由于这种计算的复杂性，Krieg [33]和Dafalias和Popov [34]对科鲁兹模型进行了修改，科鲁兹模型中的全部屈服面由一个内屈服面、一个外屈服面以及一个由分析确定的连续中间面所替代。随后，越来越多的研究和塑性理论被提出来[35-48]。其中，科鲁兹的多曲面模型[26,30]，Dafalias和Popov的双曲面模型[34]和Armstrong和Frederick[25]和Chaboche[28]的非线性运动硬化模型是当今众多各具特色的塑性理论的代表性[49]。Khan和黄对现有的各向异性硬化规则进行了精彩的讨论[49]。

近日，崔某和潘[1]提出了一种基于科鲁兹模型概念的计算效率高的各向异性硬化规律。崔和潘[1]的模型，相比于楚的模型[37,38]，用于复杂的循环加载下的大数值模型计算所需的内存空间可显著地减少。蔡和潘的各向异性硬化规则[1]基于米塞斯屈服函数，以描述圆角滚压过程中曲轴材料的塑性行为。本文的一个重要目是探究在单轴和复杂循环加载条件下，基于蔡和潘的各向异性硬化规律 [1]和Abaqus的的非线性运动硬化规律的材料塑性行为。需要注意的是,Abaqus的非线性运动硬化规则适用于承受循环载荷的大多数金属，由于其可适用性，其广泛地应用于工程领域。

在本文中，首次基于崔和潘的各向异性硬化规律[1]和米塞斯屈服函数，提出了主动屈服面在卸载/重新加载过程中的演化方程。利用皮尔斯等人对应变率敏感材料的正切模量推导过程[2]导出本构关系。在商业有限元分析软件Abaqus中编写并执行了基于各向异性硬化规律和本构关系的用户材料子程序。首先,根据各向异性硬化规律和Abaqus的各向同性非线性运动强化规则，在单轴单调和循环载荷条件下，对简单的平面应变有限元模型进行计算。计算结果表明了采用崔和潘的各向异性硬化规则[1]的优势以及采用Abaqus的非线性运动强化规则的限制。然后，基于三个不同的硬化的规则，对经滚压和弯曲后曲轴部分的二维平面应变有限元模型进行分析。比较计算结果，证明基于各向异性硬化规律和非线性运动硬化规则应力分布的不同。最后，讨论如何使用各向异性硬化规律和非线性运动硬化规律，并得出结论。

1. 崔和潘的各向异性硬化规律[1]

崔和潘[1]推导的材料循环塑性理论是基于一般性的屈服函数，而不是仅限于过去普遍应用于研究中的只针对不可压缩压力不敏感材料的Mises与Tresca屈服作用。崔和潘[1]的循环塑性理论公式推导是基于压力不敏感和压力敏感材料两者在一般性的屈服函数下的科鲁兹模型。在初始加载过程中，，其中代表应力张量，代表应力率张量。屈服面在应力空间内各向同性地展开并适用各项同性硬化规律。当，中性线加载产生，不发生塑性变形。当，卸载过程发生。当卸载/重新加载过程开始时，线性或非线性运动硬化规律、科鲁兹规则及其变式以及崔和潘的各向异性硬化规律[1]可以用来描述卸载/重新加载过程中材料的各向异性硬化行为。

从对科鲁兹多屈服面模型下主动屈服面的观察，包括目前主流的屈服面以及更大尺寸的屈服面，通过考虑主动屈服面在卸货/重新加载过程中连续扩展，崔和潘[1]得到了一个简洁的主动屈服面演化方程。 如图1所示为在卸载/重新加载过程中主动屈服面基于崔和潘的各向异性硬化规则的演化过程。

如图所示，主动屈服面连续扩展，卸应力点始终作为其切向接触点，并且中心也连续地沿着曲线延伸，把卸载应力点和之前所能达到的最大屈服面中心接合起来。屈服面是用于在卸货/重新加载过程中，确定随后的塑性行为的记忆屈服面。注意，这里说的屈服面和都有取决于它们自身尺寸的加工硬化系数。卸载/重新加载过程一直持续到或时。当一个新的卸载/重新加载过程发生时，当前的成为另一个记忆屈服面。

图1.在卸载/重新加载过程中基于崔和潘[1]的各向异性硬化规则的主动屈服面演化示意图

如图1示，在卸货/重新加载过程中，对于记忆屈服面和主动屈服面的近似条件可表示为：

其中和分别代表记忆屈服面和主动屈服的尺寸，和分别表示这些屈服面的中心。沿主动屈服面和记忆屈服面的中心连线的演化方程可以由式1的推导得来。 公式1为：

其中主动屈服面中心的运动的标准矢量与Mises材料[37,38]偏应力空间下主动屈服面中心运动的相应单位矢量适用于相同的函数。

在卸载/重新加载期间，主动屈服面的一致性条件，为、和的函数，可表示为:

其中，不是一个常数而是在卸载/重新加载过程中不断地增加。将式（2）代入式（3）得到主动屈服面的尺寸增加率。

如图1中一个给定的应力速率下，新的主动屈服面的尺寸可以由公式（4）中尺寸增加率来确定，其中t表示时间。代式。将式（4）代入式（2）得到主动屈服面的演算方程如下：

注意，公式（5）中的演化方程不同于其在科鲁兹硬化规则的方程。图1中，在给定应力速率下当新的主动屈服面的尺寸由从公式（4）确定，其新的中心可以由公式（1）中的相似条件唯一地确定。因此，根据崔和潘的各向异性硬化规则，新的主动屈服面的中心并不需要跟踪公式（5）的变化，并存储每个计算步骤。

在复杂循环载荷条件下，可能需要额外的工作来保存记忆屈服面的记录。在复杂加载历史的情况下，可能需要存储大量的

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