模拟天然气弯管中泥沙冲蚀特性的概率模型

摘要：

泥沙冲刷腐蚀的危害是在石油和天然气运输系统中遇到的一个不可回避的问题。而弯管是管道中最容易受损的部位之一。在弯管处的气体流动中已经发现，附带的固体颗粒在初次撞击管壁时会随机出现反弹，然后以某种机率再次撞击管壁，造成二次碰撞侵蚀。在目前的研究中，概率学方法被发展运用来分析天然气弯管中泥沙反弹碰撞冲刷的影响。首先，将拉格朗日方法运用来跟踪颗粒运动轨迹和颗粒的运动规率的推导。然后就可以计算出第一和第二次的碰撞速度。其次，通过分析单个粒子的随机运动，大量颗粒的整体冲击运动可以被描述。最后，通过使用侵蚀性的相关性计算可以统计出特定部位的第一次和第二次的碰撞侵蚀率，并且可以在整个弯管表面展现出所述的三维的侵蚀轮廓。大量的实验数据都用来检测基于二次碰撞理论的概率模型。在实验中几乎不能被测得的沿着管道中心线和整个管道壁面的侵蚀轮廓，却可以通过概率模型来进行统计和分析。目前的研究不仅证实了概率模型的准确性，而且还证明了固体颗粒的二次碰撞是天然气管道中一个重要的行为，并在侵蚀轮廓的形成起到了显著的作用。

1. 简介

颗粒侵蚀是一个在许多工程领域都严重的问题，尤其是在石油和天然气管道输送领域。由于冲力和惯性，粒子可以随着流体流动并且冲击管道，管件等设备，造成相当大的侵蚀磨损。这种损害会降低操作可靠性，使失败的风险升高，甚至造成工厂显著的财产损失和对人员和环境的危害。因此，有效地预测颗粒侵蚀的能力是对于工程来说极为重要。作为管道中最常见的管路连接部件，弯管处的气体流速快，颗粒的动量大，这使得弯管成为管道中最容易损坏的部位。

美国石油学会（API）[1]提出运输速度应低于上限值，以确保渗透速率能降低到可接受的范围。然而，上述指导方针仅仅适用流体密度对于冲蚀磨损的影响，却似乎不适用于含沙运输的情况。考虑到API在含泥沙时的局限，研究人员提出了几种计算方法来修订上限速，斯威德曼和阿诺德提出了一种估计弯管和T型管中在不同含沙量的质量流量时的极限速度的方法。萨拉马在斯威德曼和阿诺德研究的基础上考虑了油气密度的影响约旦加入由西拉等人提出的等效停滞长度的概念，使得限制值可以迭代计算。

与此同时，一些研究人员试图开发直接计算渗透率的模型。基于四种几何模型的实验数据，Bourgoyne掌握了侵蚀的相关性。萨拉马与文卡塔斯进一步考虑了流速和粒径的影响。挪威船级社（DNV）依据数值计算结果研究了不同几何形状的平均角度影响。希拉兹等认为在弯头和三通处存在停滞区域，这会导致速度衰减。一维停滞区模型被建立，并用于计算沙的冲击速度。基于滞流区模型，乔丹[9]和Mclaury和希拉兹分别提出了各自的预测多相流侵蚀的方法。Mazumder[11]提出了一系列的模型来预测不同的多相流型的侵蚀。基于停滞模型，张等人改进了粒子近壁行为并开发出二维数值解法。张等人还提出了一种概率模型来模拟直管的颗粒侵蚀。

Maclaury将解析整个侵蚀过程分为三个步骤：分析流场，粒子追踪和计算渗透率。为此，他进行了大量的数值模拟计算工作。首先，建立数值模型来分析流体；然后，颗粒和载体流体之间的相互作用被认为是获得泥沙颗粒碰撞，将其用于计算腐蚀率的信息。同时，该粒子反弹模型也被应用。王等人提出了一种简化的数值方法来跟踪二维弯管中的粒子运动轨迹。陈等人运用流体动力学模拟（CFD）软件作出了一种数值模拟，其中各种因素都被进行综合考虑并且对流场进行了精确的计算。随后，许多研究人员利用CFD模拟在不同的管路连接部件来模拟粒子的运动和侵蚀作用，例如管道，弯管，平板。该方法也被用于其他不同的管路部件诸如管理压力钻井和在管道表面的焊道上配置简单的节流阀。

1. 假设和推论

概率模型的总体思路是分析砂粒的冲击反弹冲击行为和弯管处天然气流的碰撞诱导的侵蚀速率。首先，拉格朗日方法采用来追踪粒子的运动轨迹。通过几何和数学分析，粒子的运动规则推导和粒子的所有可能的运动轨迹可以被计算。对于一定的轨迹，第一和第二碰撞的概率和速度是一定的。第二，通过分析单个粒子的概率行为，颗粒的大量的整体冲击行为可以被表征。最后，由Oka和Yoshida等人提出的冲蚀的相关性被用于计算在特定位置的第一和第二碰撞诱导侵蚀率，之后可以在整个弯管表面表现三维侵蚀信息。

在气体的单相流动中，粒子的运动状态的演变是个相对缓慢的过程。假定颗粒被在入口部分均匀地分布。在石油和天然气运输的过程中，管道总是很长，所以也可以假定粒子速度通常有足够的时间和空间发散开和在最后到达弯管前达到了在直管道的稳定状态。这意味着，当颗粒进入弯头入口是均匀分布的，颗粒几乎能达到载体流体速度并以相同的速度分布。固体颗粒在空气中移动的时，颗粒是受到周围流动的影响。然而，干扰被认为是如此之小，颗粒的运动状态，几乎没有在很短的时间发生变化。因此，颗粒将首先以直线撞击管壁，由于在流体中的颗粒是稀释的，固体颗粒的存在不影响流动特性，并且没有颗粒之间的相互作用。考虑到在石油和天然气运输系统中颗粒通常很小（通常为50至500微米），并在弯管的运动时间很短，颗粒的比重是不是一个关键因素，在目前的研究中忽略。

冲击管壁时，粒子将反弹。在弯管里，大量的反弹颗粒可能返回到管壁壁，导致二次碰撞。因为反弹颗粒仍保持相当大的动量，这被认为是保持不变，而气相的扰动小，时间短，所述二次碰撞对渗透率和侵蚀轮廓的形成有重要的影响。考虑到颗粒的反弹特性的复杂性，为了简化，该回弹速度和冲击速度以及正常矢量被假定为共面。因此，单个颗粒第二次撞击壁面在同一时间发生需要两个独立的事件:1）A 1事件，粒子从入口进入弯头，并且有一个冲击位置和入射位置之间的一个对应关系; （2）A 2事件，反弹粒子的二次冲击壁面。这样的冲突概率为P= P（A 1）* P（A2）

其中P表示一个随机事件的概率。大量的粒子的总体影响特性可以通过计算单个颗粒，即，等式的冲蚀概率来表示 。

3.弯管处的固体颗粒冲蚀

在本节中，第一和第二碰撞侵蚀模型采用由Tabakoff等人提出的反弹相关性和在弯头质点运动规则来建立序列。 同时，第一和第二碰撞的侵蚀结果是通过引入Oka和Yoshida等人提出的侵蚀的公式来得到的。

3.1. Tabakoff等人提出的反弹相关性

Tabakoff等人提出的反弹模型是目前研究的基础。因此，有必要在此提出其细节。 Tabakoff等人认为当颗粒撞击壁面时会以某种概率反弹。通过进行一系列的200微米的颗粒的实验，他们发现，该回弹速度以在切线和法线方向的入射速度的比值是正态分布。平均值和比率的标准差受冲击角的影响。然而，回弹速度与入射速度的比率以及反弹角的冲击角的比值都不服从正态分布。还可以得到冲击角可变的平均值的公式。所有的相关性在附录A中已给出。在本研究中，gamma;1和gamma;2表示的冲击角和沙粒，分别反弹角度，如图附录A的Fig.A1。随着比值gamma;2/gamma;1的概率密度函数不可用，则比率函数tan gamma;2 /tan gamma;1的在本研究中推导，推导在详细附录B中已给出。其结果表示为：

其中a和b被用来代替方程的复杂零件; e_gamma;是函数的随机变量。

3.2粒子的运动规律

根据以上的假设，粒子的运动轨迹遵循一些规律。

图1弯管颗粒运动轨迹，(a）中心线外侵蚀 （b)中心线上侵蚀

如该图所示。图1（a），一个入射粒子，其运动轨迹是平行于z轴，冲击管壁在位置R。使通过点R中的弯头的横截面（A点为截面的中心）。有必要指出，我们研究的弯管表面是弯头的外半部分的内表面上。平面XOZ与弯管表面相交于中心线，过A点作一条平行于Z轴 的直线，该直线与中心线相交于点B，直线AB平行于入射粒子RR的轨迹。另外，由于在R点的法线是沿线的RA中，入射线RR和在R点的法线都在平面ABR。因此，反射线RD也必须在平面ABR上。RA的延伸线与截面圆相交于点S，平面ABR与弯管表面相交于曲线RBS。因此，R点处 的反射颗粒在平面ABR上运动并冲击曲线RBS。鉴于B点在中心线上是任意的，如果点A对应于点B，则A点必须是唯一的，而且必须有相应于点A的截面圆。

基于上述的规则和相关的物理定律和数学分析，第一和第二碰撞的侵蚀模型在以下各节建立。

3.3初次碰撞的侵蚀概率模型

在图1，有碰撞位置R和粒子的入射位置R之间是一对一的对应关系。所以位置R可以被认为是第一碰撞位置的坐标可以表示为

其中r表示弯头的曲率半径; d表示弯头的直径; phi;是线RA相对于XOZ平面（连接点R和其剖圆心点A的直线）的角度; theta;是RA在XOZ平面的投影线和x轴之间的角度。在本模型中，弯管的部分，其中被认为是弯头的后部。事件A1的概率是

入射粒子的速度分布和在入口部分中的流体的速度分布是一样的，即

其中：V_m是载体流体的平均速度; L_P是颗粒和管壁之间的距离; V *是摩擦速度[35]，其可进一步表示为

其中，表示绝对粗糙度，其为0.05mm在目前的工作。显然，式（5）适用于在湍流区中的流体，所以LP的值应比边界层厚度delta;大，其可以被估计为

因为当粒子进入弯管时其运动状态难以改变，所有影响角gamma;和冲击速度VP可以按如下方式求取

其中，RR表示粒子的速度矢量; AT表示碰撞位置R。 法线矢量RR和AR可以被表示为

设定Pr表示渗透率，表面在其法线方向上的侵蚀速度定义为厚度损失速度（本地蚀刻速率），依据方程（4） - （11），可以得到在位置B发生的第一碰撞Pr1的侵蚀率如下：

其中W是砂的质量流率;Er是与冲击角和冲击速度有关的侵蚀率（详见3.5节中提出）; rho;T为材料密度; S是受损区域，计算如下：

3.4二次碰撞的侵蚀概率模型

对于二次碰撞与一次碰撞的主要区别是事件A2的发生，这意味着项P（A2）应该包含在数学等式（12）中。由于P（A2）受到第一碰撞碰撞位置和反弹角度的影响，本节将着眼于计算该角度。在侵蚀点与中心线此计算方法计算结果完全不同。此外，最严重的侵蚀位置总是在中心线。因此，我们对两种情况进行了详细讨论

3.4.1 中心线处点的侵蚀

从图1（b）看到，点B是在中心线的任意点。根据如上述的粒子的运动规则，二次碰撞反弹点位于B点有两种情况：一个是在中心线，另一个是在对应于B中唯一的剖面圆。

（1）对于第一种情况，它是一个二维的问题。如图2所示 ，在从B到x轴中心线所有点可以是反弹点。这里，B是第二碰撞的位置，OB是在B处的法线,R是第一次碰撞的位置，是任意的，OR是点R处的法线，垂直于OR的直线是切线。 RR是入射粒子，其在此称为入射线的速度矢量。 RB是反弹粒子，其在此称为回弹线的速度矢量线。 gamma;1是入射线和OR之间的角度的补角，gamma;2是反弹线和OR之间的角度的补角，gamma;3是反弹线和OB之间的角度的补角。假定入射粒子从点R反弹并撞击在点B，其路径（如图2所示）必须是唯一的轨迹。

图2 中心线处的反弹点

首先，事件A1发生，粒子从R至R移动到弯管的概率是P（A1），其也由公式（4）表示。

所有的角度可以由矢量theta;计算，如下

粒子的速度不会改变，直到颗粒撞击壁。因此，对于第一碰撞冲击速度与入射速度是相同的。第二次碰撞冲击速度与R处的回弹速度是相同的，这可以通过由Tabakoff等人提出的相关性来获得..

接着，在事件A2发生时：粒子从R点处反弹并撞击在B处，其概率是

degamma;/dtheta;是egamma;对theta;的导数，degamma;/dtheta;是关于theta;的函数。

设定R是反弹的位置，大量颗粒造成的腐蚀率的微分方程如下：

其中，Er是theta;的函数。由于R表示任意位置，这种相关性是适合于中线的所有合适的位置。因此，在点B处的相应的侵蚀率Pr₂₁为

其中，theta;max为积分上限; theta;B是x轴和OB之间的角度。

（2）对于第二种情况，如图1（b）所示，对应于B点的剖面圆的所有点可以是反弹点。所有可能的点B的侵蚀率Pr₂₂为

在式（18）中P（A1）可以通过上述等式来计算，主要角度包括gamma;1，gamma;2和gamma;3可以轻易地根据相关矢量获得。

与theta;B有关，即

P（A2）与gamma;1和gamma;2相关。然而，在这种情况下，反弹点都在唯一地对应于B点，因此对于相同的圆上不同的反弹点，截面圆是相同的，theta;的值是相等的，phi;的值是不同的。换言之，事件A2的概率是一个仅与phi;相关的函数，即

此外，当点R恰好是在入口截面圆和对应于R的截面圆的投影圆之间的交叉的点，phi;可以得到的最大值，即phi;最大值，这可以从下面的等式得到：

式（22）是该入口部分的边界上的所有入射粒子应该满足的方程。它将被用于计算在以下部分积分的范围。

3.4.2不在中心线的侵蚀点

由图可知，在图1（a）中，D是第二次碰撞的位置，以及B在中心线上，与点A和截面圆唯一对应。如果在圆上反弹点存在，它必须是唯一的一个。假设R是反弹的点，因为点B唯一对应于点R，theta;B成为一个

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