受管制的激光高阶庞加莱球形光束

光的角动量可以用高阶庞加莱球体上的位置来描述，旋转和轨道角动量状态产生了从显微镜到多种应用的激光束材料加工创建这样的光束有许多技术，但是迄今为止还没有一种技术允许它们在源头上产生，这里我们报告了一种能够在高阶庞加莱球体上产生所有状态的新型激光。我们利用激光腔内的几何相位控制将极化映射到轨道角动量，表明标准激光腔的轨道角动量简并可能被破坏，产生纯轨道角动量梁，并且可以在激光光源处以高纯度创建广义矢量涡流束。这个工作基于腔内几何相位控制的结构化光为新激光器铺平了道路。

高阶庞加莱（HOP）领域的概念被介绍为描述的理论框架光的总角动量1,2。HOP球体描述广义向量涡的高阶极化状态梁3，如图3所示。 1，与庞加莱领域相反，这是所有可能状态的几何表示极化。 庞加莱球是一个Bloch球体基态是两个正交的极化状态，而HOP球体是一个Bloch球体，其基础状态更多一般正交状态包含自旋角动量（SAM）和轨道角动量（OAM），导致广义空间极化场。

由HOP球体上的点描述的光场普遍是在本质上已经找到应用光纤模式选择6，空间分割复用7和模式分解复用8，并具有通过使用双折射材料的干涉测量手段创建（参见例如9,10）。特别值得注意的是两极球体的赤道。赤道代表圆柱形矢量（CV）光束11，特殊情况是方位角和径向偏振光场如图1所示。 1b。这些发现已经在激光加工领域有了许多应用12-14：粒子加速度15，光学捕获16,17和显微镜18,19例。已经实现了通过使用干涉方法实现了这种梁的外部生成2，液晶20,21，波长光栅22和螺旋状变化的延迟器23。已定制激光腔以产生特定的CV通过诸如将热应力引向各向同性的技术来实现通过利用激光的热双折射增益介质24增加介质25-27，使用腔内旋转轴28-30或锥形泵梁31-33。

HOP球体的极点代表标量涡流（具有螺旋波前）具有均匀的圆偏振（北极右圆，南面左圆极）。波前的螺旋度来自方位角，其中phi;是方位角，这样的光束承载了lh的OAM- 每个光子，其中l被引用作为拓扑费用，可以取任何整数值。

此后，我们将参考螺旋度的标志（ℓ的标志）作为光的“旋律”。这些携带OAM的光束可以也可以在等同的庞加莱球体34上看到极点是相反螺旋度的OAM模式，并已创建通过腔外的无数方法（参见参考文献35和参考文献37）

这种梁在不同领域已经有了许多应用如光学操作16,17和光学自由空间通信，阳离子36。已经做出许多尝试来产生激光腔内的这些模式37-44，

方位角模式意味着标准激光腔不能区分它们：激光的空间强度分布具有相反方位手性的模式（如l和l），它们在波前具有相同的曲率半径和相同的Gouy相移。因此他们的腔内损失是相同的，所以经常是不受控制的螺旋，生产手段为相干模式叠加42。因此，虽然定制的激光器有在HOP领域展示了具体要点，但是迄今为止还没有激光器能够创造出来任意HOP球形光束。

这里我们直接通过激光显示任何HOP球形波束的产生。我们将SAM与激光中的OAM耦合通过波片和非均匀极化 - （q-plate），使得偏振控制映射到OAM

模式控制。这是Pancharatnam-Berry（geo-公制）相位控制已被应用于激光器的模式选择。通过控制波片之间的相对角度和q板，我们可以调整圆周的几何相位变化，使用它来产生任何在HOP上的任意光束球体，包括CV涡流的特殊情况（如方位角和径向偏振光）以及OAM模式（gt; 98％）。 我们概述了该模式的理论在固体激光器中进行实验控制和确认HOP球形方位角光束| ℓ| = 1和| ℓ| = 10。

图1 | 矢量涡流的HOP球面表示。a，局部极化矢量状态在球体上的各个位置。b，强度输出是具有中心零点的一致波束。这些光束被来自垂直方向的线性偏振器的透射强度区分开，如双端箭头所示。为极点状态和赤道上的径向和特殊点提供表达式方位极化。

结论：

概念：与生产的复杂性和挑战相反OAM光束和来自激光器的矢量涡流束相比，控制激光腔内的极化或SAM是一个很好的建立技术45。考虑一个标准的固态激光器腔Fabry-Peacute;rot配置，如图所示。 2a。包括a偏振分束器（PBS）和四分之一波片（QWP）确保区域A中的极化状态总是线性的极化，取向取决于PBS的取向。传统上，这种空腔用于输出来自PBS的光，以QWP的方向作为控制漏出的光分数。因此，在区域B中循环光是圆极化的。在这样的空腔里任何位置的极化在每一个控制之后重复往返。我们的核心思想是利用SAM控制代理OAM控制，从而实现广义模式HOP球体。我们使用几何相位，直到现在在激光腔内尚未使用模式控制。因此，可以将特定的相位变化映射到极化或等效地是特定的偏振模式在腔内的状态。但是由于极化不是退化并且可以方便地进行控制，所以通过代理模式可以受控。我们使用几何相位元素来创建一个OAM对于两个极化中的每一个，模式（相反螺旋度）允许创建广义矢量涡流束。

我们的非均匀偏振光学元件，形式为aq板用作腔内的SAM-OAM转换器。 的q-plate在选择后会先入一些进入的OAM状态规则：| ℓ，Lgt;→| ℓ 2q，Rgt;和| ℓ，Rgt;→| ℓ-2q，Lgt;，其中L和R指的是左，右圆偏振光，q是电荷（见补充信息）。 这个概念是如图所示。 2b。 通过修改标准腔如图1所示。 如图2c所示，在其中创建携带OAM的波束空腔。 元素的倍增确保了空间模式和极化状态在每次完成后重复往返。 QWP和q-plate角度提供两度需要穿越整个HOP球体的自由度。 有可能显示（参见补充信息）我们的重复模式在腔中可以描述为：

图2 | 激光概念。a，使用标准的Fabry-Peacute;rot配置PBS和QWP件控制激光偏振。b，使用q板将极化映射到螺旋相位波束，具有手性输出取决于圆偏振的入射状态。c，纯OAM LG 0l的主动选择的实验概念SAM与OAM的腔内耦合。 联轴器由通过透射线性极化的光来选择纯SAM状态在水平方向通过以角度beta;旋转的QWP。 这个LG 00形状的场指向以角gamma;旋转的q板（QP）因此通过FM外耦合。 两个旋转角度可以相应地变化以绘制出HOP球体。插图说明各种极化状态在腔内运行相关媒介。

当L|ℓgt; = e -i | l | f L | gt;，| R lgt; = e i | l |phi;| Rgt;，| Lgt;和| Rgt;表示均匀的左圆和右圆偏振状态，其中beta;和gamma;是旋转QWP和q-plate的角度分别为Theta;=pi;/ 2 2beta;和Phi;=2gamma;-2beta;。 这正是这个描述HOP球体上坐标为Theta;和Phi;，球体上的极点代表基本状态|R gt;和 lℓgt;。 换句话说，可以实现任何HOP球形光束从激光。特殊情况的例子见表1。通过跟随进化论可以理解，传播线性偏振的高斯模式区域A远离镜子R 1。水平极化高斯光束被转换成左圆偏振高斯光束波片后波片轴为45°。

q盘将该左圆偏振光束转换为OAM光束电荷l = 1，具有正圆极化。观察镜像反转SAM和OAM中的整个状态，而剩下的两个元素，与前两个相反的角度，

逆向偏振高斯光束inci-凹陷在镜子R 2上。当光束向后传播时模腔再次反转并返回到镜面R 1到起始位置，因此，光的手感也是如此作为其向量性质，完全由beta;和gamma;定义。 例如，如果QWP旋转以产生线性偏振光q盘，然后左右光照叠加

产生相反的OAM电荷，就是我们的一般矢量光束。

图2所示的谐振器概念一对q板和一对具有极化不敏感的QWP45°镜（FM）位于q板之间。这个腔可以通过使用V形腔来等效地构造（参方法），其中两个臂用a分离几度允许位于V顶点处的平面镜离开。轴设计，只需要一个q板和QWP; 这个允许腔内的偏振光学器件减半从而将损耗减少到常规的损耗腔。 它还确保了空间模式和极化状态考虑到反思后一次往返后重复在腔内通过添加q盘引入的损失与产量损失相比，可以忽略不计。

图3 | OAM光束的模式纯度。a，激光的记录作为beta;的函数的输出，其中插图显示左和右圆极化组件。在beta;= -45°和beta;= 45°处观察到右旋度的纯标量模式，SAM状态的叠加之间（例如beta;= 0°）。b，实验测量（数据点）和理论预测（曲线）对于相对权重的演化L|ℓgt;和| R gt;形成最终场作为beta;的函数。c，激光输出的模态分析（beta;=plusmn;45°）证实纯LG 0，-1和LG 0， 1模式，分别对应测量通道（右）。 m，方位指数。d，径向和方位模态分解的结果表明gt; 98％的功率包含在所需的模式（l = -1和p = 0）。对于这些测试，腔在q = 1/2和gamma;= 0°下操作。

图4 | 测量的HOP球形梁。a，激光输出（gamma;= 0，beta;= 0）是径向极化的（这在b中证实）。 b，叶瓣结构是通过线偏振器透射后观察的结果。叶状结构是平行于偏振器的取向（由双端表示）箭头）旋转。c，对于gamma;= 90°，方位偏振光束为在d中观察并确认。d，叶瓣结构现在旋转出来与偏振器相位。这些结果也由斯托克斯确认偏光仪（见补充信息）。e，实验测量在HOP球体上表示的光束，以及它们的状态表达式以及通过偏振器的透射的示例。

耦合器和所有其他元素的累积损耗（其中对于图2所示的两个腔是共同的。 2a，c）; 另外，培养基的增益非常高。 因此，激光阈值对于这两个腔是相似的，q-板腔稍微更高。此外，随着增益介质被置于高斯末端这个空间主题包含了中间体，提高效率以最佳泵模式重叠来最终泵浦激光。

生成HOP球形梁。我们初始设置gamma;= 0并且变化QWP的旋转角beta;，输出束为球形（见图3a），与理论无关。Vout =alpha;1 lLℓgt; alpha;2 lR lgt;其中alpha;1和alpha;2是最重要的的极化状态（从图3a中的插图显而易见）证实该偏振光从光束偏振光束（beta;= -45°）到右圆偏振光束（beta;= 45°）。确定偏振变化的精度如图1所示。 3a，我们测量左右相对权重的强度透射光的成分。这些组件描述HOP球的极点上的状态，因此alpha;1 = cos（theta;/ 2）e-iPhi;/ 2alpha;2 = sin（theta;/ 2）eiPhi;/ 2。测量的各个强度组分与数值测定结果良好beta;如-45°至45°变化，如图1所示。

接下来，我们通过模态分解测量了OAM状态47,48具有相位空间光调制器（参见附录信息）。我们发现在beta;= -45°时，模式是纯ℓ= -1螺旋度，而对于beta;= 45°，纯l = 1。这是图形图在图1中。3c，连同三个模态的原始数据分解通道，其中中心峰表示当前模式和中心零点表示不存在模式。腔内孔径确保径向指数模式是p = 0，这也通过模态分解来确认（见图3d）。这种方法提供了积极选择的方法纯LG 0plusmn;l（Raduerre-Gaussian of radial order p和方位秩l）模式只取决于beta;和qq盘。外部技术产生具有许多径向的梁模式（对于l = 1，p = 0模式中功率的80％以下）一个超几何函数49（见补充信息）。p = 0模式中的能量含量急剧下降增加l，至l = 10的少至约1％。换句话说，它不可能同时最大化纯度和模态权力通过外部模式创建技术。在这里我们演示选择LG 0plusmn;l模式的高模式纯度（gt; 98％，p = 0）-a某些应用的关键要求，例如，受激发射耗竭（STED）显微镜。

在HOP球体的赤道上表示的模式a由等式（1）确定的SAM和OAM状态的混合组成。通过将beta;设置为零可以实现SAM状态的组合使得纯的线性状态入射到q板上导致a叠加输出（如图3a的插图中beta;= 0°）。因此，这也导致了OAM和SAM的叠加输出的状态如表1所示模式的极化和空间含量意味着开启通过线性偏振器，环形输出分裂分成在偏振器中旋转旋转的两个凸角。随着激光在beta;= 0和gamma;=0的条件下工作，得到导致可旋转的叶片梁的环形梁（图4a）（图4b）。他们俩-裂片结构定向平行于线性方向偏振器（如双端箭头所示）因此呈现纯径向极化矢量涡流束。gamma;旋转90°我们选择一个环形光束（图4c），它是纯方位极坐标，这是由双裂结构标志的，垂直于线性偏振器的方向（图4d）。我们通过斯托克斯极化法确认非均匀极化图尝试三个输出状态，即方位角，右圆（北极）和径向，并通过每个极化的模态分解组件（见补充信息）。显着的capa-选择性地激发这些矢量涡流束的能力意味着CV涡流不仅可以实现，而且是任意的通过控制输入极化状态的矢量状态选择正确的beta;值。适当控制beta;和gamma;允许整个HOP球体被映射并帮助组合。图1b，径向和叠氮化物之间的状态，因此，如确定假体偏振图所示。 4e。环形输出通过线性极化 - 有意识地（通过双尾合并描绘）和

与预期的强度非常一致。注意到在腔体外部创建这样的模式将需要几个传出空间光调制器（非常有损）或混合光束具有干涉测量（难以对准）。这里，高模式纯度是通过只有两个光学元件的旋转在一系列模式下实现。

该技术不限于LG 0，plusmn;1模式，实际上是q板可以等效实现较高的q值。 我们展示这是通过用q = 5替换q = 1/2的q板，从而允许的选择LG 0，plusmn;10模式，不改变物理支架，空腔的特性 用于腔下的输出beta;= -45°，45°和0°，gamma;= 0。 5a和显示明确的环形梁。 当腔在beta;= 0°运行时，环形输出在线性之后导致可旋转的叶片梁偏振器如图1所示。5b产生径向偏振输出。为了再次推断模式的OAM，我们执行一个azi-具有数字编码传输功能的虚拟内部产品我们确定在单位步骤中从-12到 12的变化m = 10和m = -10的轴上信号，其他地方为零，分别操作beta;= 45°和-45°，如图所示。 5c具有一些示例测量通道。

讨论

我们已经概述了一种新型激光器的概念：通过几何相位控制来实现任意的HOP球形梁。我们已经通过另一种传统的方式证明了这个概念固态激光器腔和显示控制一代这样包括高纯OAM模式的特殊情况（gt; 98％）以及方位角和径向偏振光。 这些梁在许多领域都有了应用，例如，在材料中清洁（更紧密的聚焦和更清洁的材料边缘），光学复合通信（矢量模式复用），模拟量子由于其不可分离的性质和显微镜的过程结构化的光。创建所需模式的优点在源头包括显着更高的模式纯度，直接的

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