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基于Daubechies , Coiflets andDaubechies 小波系的JPEG图像压缩

摘要

本文的目的是评估一组用于图像压缩的小波。使用小波变换进行图像压缩的结果是提高了压缩比。小波变换是同时提供了空间和频域信息的技术。这些属性的小波变换极大地帮助在小波系数中识别和选择重要和不重要的系数。DWT（离散小波变换）代表了不同分辨率水平的小波函数总和的图像。因此小波变换的基础可以由函数组成以满足多分辨率分析的需求。图像压缩的小波函数的选择取决于这个图像的应用以及图像的内容。基于小波的图像压缩的原理回顾在这里被给出。这个研究也讨论了小波变换在图像压缩研究中的重要特征。在此次研究中我们比较了三个不同的小波系：Daubechies, Coiflets, Biorthogonal。图像质量测量客观地测量使用了峰值信噪比、压缩比和主观地使用了视觉图像质量。

关键词

DCT（离散余弦变换）、小波、小波变换、图像压缩、压缩性能、图像质量

1. 简介

高性能计算和通信的快速发展在各种图像和视频通信能力的基于计算机的应用中开辟了非常多的机会。然而，所需的用于存储数字图像的数据量持续增加并且压倒了存储设备。数据压缩成为唯一用来克服这个问题的解决方案。图像压缩是一种用尽可能少的字节并且能将图像质量保持在一个可以接受的水平的图像表现形式。一个典型的静态图像在相邻图像元素的平原区域包含了大量的空间冗余即这些像素几乎是相同的值。这意味着图像元素之间是高度相关的。这些冗余可以被删除以获得图像数据的压缩。换言之，压缩的根本部分是冗余和不相关的减少。评估压缩算法表现的基本指标是压缩比。压缩比是指原始数据的大小和压缩数据的大小之间的比例。高压缩比会造成低的图像质量，反之亦然。

现在的图像压缩标准用的是DCT（离散余弦变换），这代表了一个图像是不同的离散频率的余弦函数的叠加。转换后的信号是两个空间维度和它所谓的DCT系数或空间频率组件的函数。DCT系数用于测量余弦函数在不同频率的贡献。DCT提供了出色的能量压缩以及一些用于计算DCT的快速算法。大多数现有的压缩系统使用DCT块的常规尺寸的平方。图像被分为样本区并且每一个样本区都给出系数独立变换。为了实现压缩，DCT系数应该被量化。量化的结果会造成信息的损失，但也是压缩。由量化器规模的提升导致粗糙量化带来了高的压缩比以及糟糕的解码图像质量。均匀大小块的使用简化了压缩系统，但是这没有考虑真实图像中的不规则形状。源图像的块分割是基于DCT压缩系统的基本限制。这个退化被称为“屏蔽效应”并且取决于块的大小。一个更大的块会导致更有效的编码，但是也要求更多的计算能力。图像失真对于小的块来说没有对于大的块那么令人讨厌，但编码效率会受到影响。因此，大多数现有系统使用8X8或者16X16像素点作为编码效率和图像质量之间的折衷。

小波提供了良好的压缩比，特别是对于高分辨率的图像。和与之竞争的技术相比，小波表现的更好，例如JPEG10在信噪比和视觉质量上的表现。与JPEG不同，它没有屏蔽效应但是要考虑到当保留图像的重要细节时整个图像质量的平稳退化。下一个JPEG标准版本例如JPEG2000将会融合基于压缩技术的小波。在一个小波压缩系统中，整个图像作为单一的数据对象而不是基于DCT压缩系统的块而变换和压缩。它允许了整个图像中均匀分布的压缩错误。它能提供比DCT更好的图像质量，特别是在高压缩比的情况下。但是，DCT的实现比DWT的实现要便宜一些。例如，例如,最有效的二维8times;8 DCT算法只需要54乘法,而计算DWT的复杂度取决于小波滤波器的长度。一个小波图像压缩系统可以包括小波函数、量化器和一个编码器。,我们使用不同的小波图像压缩图像测试集,然后评估和比较了小波之间的区别。经过分析，我们发现图像压缩的小波选择需要考虑客观图像质量措施。

1. 小波变换

信号被定义为一个由一个或多个变量定义的函数。任何函数都可以在基本函数的帮助下表示。脉冲被用作时间域的基本函数。任何函数在时间域上都可以表示为各种比例和时移的脉冲的总和。相似的，正弦函数被用作为频域的基本函数。但是这两个基本函数都有他们各自的缺点：一个脉冲不能在频域里被定位，因此这是一个不适合表示频域信息的基本函数。同样的一个正弦函数不能在时域里被定位。为了有效地表示复合信号，一个基本函数必须能同时在频域和时域中被定位。这样的基本函数的支持应该是可变的，所以一个狭窄域的函数可以被用在表示信号的高频部分，而宽域的函数也可以表示信号的低频部分。小波满足成为基本函数的条件。

从-infin;延伸到 infin;的正弦波是其中一个流行的波，正弦信号是平滑并且可预测的，也是傅里叶分析的基本函数。傅里叶分析包括一个信号分解成不同频率的正弦和余弦波。小波是在有限时间里平均值为零的波形。小波是局部的函数并且它们不是从-infin;延伸到 infin;而是在有限的时间范围，如图2所示。小波是平均值为零的在有限有效持续时间的波形。对比小波和作为傅里叶分析基础的正弦波，正弦波没有有限持续时间，从负无穷延伸到正无穷。而且，正弦波是平滑和可预测的，小波更倾向于不规则和不对称的。

傅里叶分析包括把一个信号分解成不同频率的正弦波。相似的，小波分析是将一个信号分解为经过转移和按比例变换的原始（母）小波。仅仅看小波和正弦波的图片，我们可以直观的看见急剧变化的信号用不规则的小波分析比用平滑的正弦波分析更好，就像有些食物用叉子处理比用勺子处理更好。

这也使得局部特征能被小波更好的描述而不是局部延伸。

在图2.1表示是小波是一个小波基(h (t))。这个小波基和与其成比例的子函数被用作一个新变换的基础。

不幸的是，如果h (t)以t=0为中心，范围从-T到 T，不管用多少个子函数它将不可能正确代表任何t gt; T的信号s(t)点。对于使用局部波或小波的情况，这必须是可能转移函数的中心位置。换句话说，它必须包括一个转移参数，b，并且子小波应该被定义为

选择这个因素的原因在上面的方程，能保持子小波能量的不变。

1. 小波变换VS傅里叶变化

3.1 时频分辨率

在著名的傅里叶分析中，一个信号被分解成不同频率的正弦波。这些正弦和余弦（本质上是复指数）是基本的函数和傅里叶合成的元素。信号的傅里叶变换可以被看作信号从时域到频域的功能空间的旋转。相似的，小波变换可以看作信号从时域到小波域的变换。这个新的领域包含了更多的称之为小波、小波基以及分析小波的基本函数。

傅里叶分析的一个主要缺点是转换到频域之后时域信息就丢失了。当观察一个信号的傅里叶变换时是不可能知道这个特定时间发生的时间的。为了纠正这一点，Dennis Gabor (1946)一次使用傅里叶变换以适应仅仅一小部分的信号。一种被称为窗口信号的技术。Gabor.s改编，被称为窗口傅里叶变换，能同时给出时域和频域的信息。为了说明时频分辨率在傅里叶变换和小波变换之间的差异，考虑以下数据。

图3.1表示了一个窗口傅里叶变换，其中窗口是一个方波。方波窗口截取了正弦函数和余弦函数以适应特殊的窗口长度。因为单个窗口是用于所有WFT的频率，分析的分辨率在所有时间频率平面上的点上都是一样的。小波变换的一个优点就是窗口的多样化。小波分析允许我们在想要更精确的低频信息的时候使用长时间的间隔，在我们想要高频信息的时候使用较短的区域。实现这一目标的方法是有短的高频基函数和长的低频基函数。

图3.2显示了一个小波分析而不是一个时间频率区域的时序表视图。时序和频率是负相关。一个有快速变化细节的低范围的压缩小波对应了一个高频。一个缓慢变化的高范围拉伸小波对应的一个低频小波的应用。

1. 小波的家庭

4.1 Biorthogonal Wavelets 双正交小波

小波家庭展示线性相位的特性，这一点需要信号和图像的重建。通过使用两个小波，一个用于分解(左边)另一个重建(右边)而不是相同的小波，得到了有趣的性能。

4.2 Coiflets Wavelets

小波函数有2N时刻等于零，成比例的函数2N-1时刻等于零。这两个函数都有6N-1长度的支持。

4.3 Daubechies Wavelets

Ingrid Daubechies，全世界小波研究中其中最亮的一颗星，发明我们所说的紧支撑正交小波-因此使离散小波分析可行。Daubechies家庭小波的名字被写作dbN，其中N是序数，db是小波的姓氏。db1小波,正如上面提到的,和Haar小波是一样的。这是小波函数psi;接下来的9 个家族成员。

1. 离散小波变换

基于编码技术的变换通过概率以去相关图像中包含的信息使得冗余数据可以被丢弃。因此“密集”信号转换为“稀疏”信号并且大部分信息集中在几个重要函数。与例如基于图像压缩的DCT这样的变换编码技术相关的最大的问题是压缩图像在视觉上存在烦人的“块效应”。这已经引起了一个对于所有图像和视频压缩标准使用离散小波变换的倾向。离散小波变换提供自适应局部分辨率（更好的高频空间分辨率低频频率分辨率）。在当前的场景中，大多数图像压缩的研究工作都已经用离散小波变换完成了。离散小波变换现在已经变成了一个在图像压缩应用中的标准工具因为他们的数据减少功能。离散余弦变换（DCT）的基础是余弦函数，同时离散小波变换的基础是满足多分辨率分析的小波函数。离散小波变换有一定的特性使得让它成为了图像压缩的更好选择。它特别适合有更高分辨率的图像。离散小波变换代表了图像在不同分辨率的水平即它拥有多分辨率的特性。既然，离散小波变换可以在有更好的图像质量的同时提供更好的图像压缩比由于更高的解相关性质。因此，离散小波变换有用更少的系数良好表示图像的潜力。离散小波变换转换一个系列的输入x0，x1，xm到一个高通小波系数系列和一个低通小波系数系列（每个长度为n/2）:

　Sm(Z)和tm(Z)被称为小波滤波器，K是滤波器的长度，i=0, [n/2]-1。

　在实践中,这种转换将递归地应用在低通系列,直到达到所需的迭代次数。

1. 使用二维离散小波变换的图像压缩

小波图像压缩系统可以通过选择小波函数的类型、量化器和统计编码创建。在本文中，我们不打算对小波图像压缩系统进行技术描述。我们使用一些通用的小波类型并且比较小波分析影响、压缩比、图像内容和图像质量分辨率的影响。经过这一分析，我们证明寻找最优小波不仅需要考虑客观图像质量测量也要考虑主观测量。我们强调离散小波变换的性能增益高于离散余弦变换。

小波函数的选择对于图像压缩的结果是至关重要的。有很多决定选择图像压缩的小波基础。由于小波产生了所有通过平移和缩放转换而得的小波函数，它决定了作为结果的小波变换的特点。因此，特定应用的细节应该被考虑并且应该选择合适的小波以有效地使用小波进行图像压缩。不同频谱活动的图像压缩的性能决定了小波家族中的小波函数。在我们的实验中，小波家族的多样小波函数被检查即：Daubechies, bior, amp; Coiflet。Daubechies小波是最受欢迎的小波。Biorthogonal小波，被用于信号与图像的重建，展现了线性相位的特性。Coiflets是由Ingrid Daubechies设计的离散小波。这个小波是几乎对称的，它们的小波函数有N/3的消失矩。Coif N比dbN更具有对称性，其中N是指在家族中的序数。通过使用两个小波，一个用于分解另外的用于重建。使用这个与采样问题有关的属性，当计算扩张在给定信号的和采样的版本而不是相同的版本之间的差值时，可以得到有趣的属性。这些小波的主要缺点是它们的不对称性。这一点导致了在小波的边界次频带的伪迹。小波根据他们的形状和在特定的应用程序中压缩图像的能力被选择。

6.1 小波分解

合成的过程可以被依次连续近似分解重复。因此一个信号被分解成许多低分辨率的部分。这就是所说的多层小波分解。

1. 性能评估方法

图像压缩技术性能主要通过两个层面测量：压缩比（CR）和编码错误引入的量级。

压缩比被定义为

CR=

对于错误的评估，两个误差测度被使用去比较不同的图像压缩技术：均方误差和信噪比。信噪比是用于测量两个图像的不同的。为了定量评估压缩图像的质量，要计算图像的信噪比。信噪比提供了一种测量信号失真的方法，一个高的信噪比的值表示低的失真。对于n个字节每像素的图像，信噪比被定义为：

1. 实验结果与讨论

8.1使用离散小波变换的图像压缩

在这次研究中，我们检测了三种小波基：Daubechies 小波， Coiflet 小波和 Biorthogonal小波。我们分析了三种不同的实验图像：Cell (159X191),Pout (291X240), 和Saturn (328X438)。结果在信噪比、压缩比和压缩图像的视觉质量等方面被测量。每个小波基中小波对于不同测试图像的压缩比和信噪比的值对比如下。图8.1表明了cell图像的压缩比和峰值信噪比值的相似。图8.2和8.3表明了pout和Saturn图像的压缩比和峰值信噪比的值。表1显示了cell图像资料编号：[153411]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word