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基于阿克曼公式的滑模控制设计

Juergen Ackermann and Vadim Utkin

摘要--滑模控制已经发展成为一种用来设计具有理想的动态行为以及极强鲁棒性的系统的理论，那么利用阿克曼公式或许可以显性的发现滑模控制的不连续面。这衍生出两种设计方法。首先，静态控制器的设计是在有限时间间隔后，使用所需的动态属性来执行滑动模式。然后，设计了动态控制器，在整个控制过程中显示所需的动态特性。

关键字：阿克曼公式，线性系统，滑动模式。

I.引言

阿克曼公式可以使我们从一个带有期望特征值的反馈系统中以一个明确的形式得到一个线性状态反馈控制方法。在一个具有线性不连续面的线性系统中设计滑模控制时，也会出现类似的问题，因为相应的滑模方程是线性的，且依赖于表面方程的系数。

对于任意线性控制系统

具有状态向量、控制向量和扰动向量, ，将滑模控制设计为一个在流形函数（是常数，)中进行的不连续的状态函数，比如从一些有限时刻开始，状态轨迹被限制在这个滑动面上。然后，滑动运动由低阶系统控制，并且如果满足匹配条件，则不依赖于干扰条件。为了推导出低阶运动方程，可以使用代数方程组来排除状态变量，而控制变量则由所谓的“等效控制”代替，即可得到对于控制变量的解。

传统的方法是将线性系统转化为以下特殊形式：

，，且。第一个方程不依赖于控制向量，而第二个方程的维度与控制向量的大小相等。

然后将作为第一个方程中的控制向量处理，并将其作为的线性函数

(为常数)符合某种性能标准。控制变量作为状态向量的不连续函数。

（1）

(, ()和()为连续函数)，流形上的滑动模式是强制执行的。结果，反馈系统在滑模启动后呈现出期望的动态行为。

本文的设计方法基于阿克曼公式，并以原始的形状态，以显式形式得到一个不连续平面方程，而不将其转化特殊形式。对于一个在不确定条件下运行的线性装置，由于控制器的存在，线性方程可以控制滑移运动，该线性方程有期望特征值并独立于扰动。

本文研究了两种滑模控制方式。第一种表明了具有理想动力的滑动模式是由一个低阶系统描述的，并且状态向量需要在一个有限的时间间隔内到达一个不连续面。在第二种控制法中，设计了一种动态控制器，使滑模方程和原始系统的顺序重合，滑动运动可以从任何初始状态开始。因此，对于第二种方法，系统运动对于从初始时刻开始的扰动是不敏感的，而对于第一种方法，滑动模态之前的运动依赖于扰动。

II.低阶滑模

考虑一个由微分方程描述的可控系统

（2）

是一个维的状态向量，是一个控制标量，是已知的矩阵或向量, 是以为上界的非线性扰动。

从(2)可以得到，控制矢量和扰动矢量(和)是共线的，所以匹配条件是满足的，在任何平面上的滑动模态对扰动都是不敏感的。

在(2)中的滑模控制的设计意味着选择一个平面，然后控制器强制滑模在上。滑模方程阶的且不依赖于扰动。通过选择一个合适的向量，或许可以得到理想的动态特性。传统上，首先导出滑模方程，然后应用经典的线性理论的方法解决。

本文的目的是为了证明向量在考虑特征值放置位置时，是如何在没有使用阿克曼公式的滑动运动方程的中显性得到。

所需的特征值为的线性系统可以使用阿克曼公式分配

（3）

其中

.

假设实数或成对共轭复数是滑动模态的期望特征值。

定理¹:如果

（4）

其中，那么是滑模模态在平面上的特征值。

证明:根据阿克曼公式(3)，是矩阵的特征值，取任意值。向量是对应于的的左特征向量。事实上，由(3)和(4)可得:

因为

=

times;

=1 (5)

那么

减（4）可得

（6）

系统向量已经变换，变成了最后一个状态，第一个阶状态向量 保持不变，即，

对于T是可逆的，的最后一个分量必须是非零的。由于这个向量是非零的，所以可以通过重新排序状态向量x的分量来使条件恒成立，在条件(5)和(6)中，变换的系统是

（7）

（8）

其中

,

矩阵的谱组成了期望的特征值。

为了推导出平面的滑动模态方程，将代数方程的解代入(7)，得运动方程

（9）

它具有的期望的动态且独立于未知的扰动。结果得证。

结果有一个显而易见的几何解释。向量是矩阵对应于特征值的一个左特征向量，它意味着动能是先前选定的阶特征值所确定的矩阵的一个不变子空间。如果在平面(设计过程的第二阶段)执行滑模，则可以显示出所需的动态。注意，平面的设计并不意味着赋予特征值，它只出现在定理的证明中，并且可以取任意值。

非连续控制向量用来在平面上执行滑动模态(或者是提供条件和并且在时，)

（10）

限制条件为

如果控件只使用两个极端值或 (这在应用程序中是常见的)，那么(9)，（10）与在平面s = 0处执行滑动模态。当然，初始条件的域和摄动应该是有界的。

例:让是二阶系统滑动运动的期望特征值

其中：

根据(4)

滑动面方程形式为

(注意，.

通过等效控制方法，方程组的解与有关，应代入原系统，推导出滑动运动方程

以及

滑模由特征值决定，不依赖于扰动

设计过程总结如下。

步骤1)选择滑动运动的期望范围。

步骤2)不连续平面的方程设为

步骤3）设计不连续控制(10)。

注:它遵循

如果

有有限个正数，那么这种滑动模式可以在不受干扰的系统中执行。在具有渐近稳定滑动模态的系统中，控制向量趋于零。

III.全阶滑模

在状态向量得到所需的有限时间间隔达到后，控制(10)为系统提供了所需的运动。因此，系统的运动依赖于扰动，在这个区间内不受(9)控制。在这一节中，我们设计了一种方法来实现这种滑动模式，该模式与任何初始状态下的扰动无关。该运动用一个线性时不变的齐次系统来表示，具有期望的特征值。

假设集合是反馈系统的期望频谱，而是为系统提供该频谱的线性控制。根据阿克曼的公式，可以从公式(3)找到。

由一个额外的一阶动态子系统补充(2)

（11）

令公式(2)中控制器u为状态向量x和z的不连续函数

（12）

（13）

一维s空间上的运动投影受

（14）

约束。

滑模存在的条件是

（15）

滑模在初始时刻出现，因为。如前所述，将关于的代数方程的解代入公式(2)得到在平面上的滑模方程

。

控制器的设计符合阿克曼公式,因此,系统存在的未知扰动由线性定常微分方程与分配的频谱描述。

如果控制器只能取值或，那么的大小应该满足公式(15)，这意味着初始条件和扰动应该是有界的。

使用附加的动态子系统与特定的初始条件(11)强制执行一个期望动态顺序与原系统相同的滑动模式。对于任何的全阶滑移运动都存在。

设计过程:

步骤1)选择反馈系统的期望频谱。

步骤2)根据阿克曼公式建立线性控制.

步骤3)设计控制器的动态部分 .

步骤4) 建立不连续面的方程.

步骤5)设计不连续控制(12)、(13)、(15)。

IV.结论

本文所提出的方法使得在原始系统方面而不是在滑模方程方面，让基于阿克曼公式的滑模控制设计成为可能。在有限的时间间隔后，带有静态控制器的系统显示了所期望的动态特性和对未知扰动的不敏感性，而带有动态控制器的系统则无论从任何初始状态开始都具有相同属性。

感谢

如果没有p . Kokotovic的帮助这篇论文将很难完成。1974年，在亚美尼亚，Kokotovic教授发起了两名作者之间的合作.对此，作者表示感谢。

参考文献

[1] J. Ackermann, Sampled-Data Control Systems. Berlin, Germany:

Springer-Verlag, 1985.

[2] V. Utkin, Sliding Modes in Control and Optimization. Berlin, Germany:

Springer-Verlag, 1992.

[3] B. Drazenovic, “The invariance conditions in variable structure systems,”

in Automatica, vol. 5, no. 3, pp. 287–295, 1969.

[4] V. I. Utkin and K.-K. D. Young, “Methods for constructing discontinuity

planes in multidimensional variable structure systems,” Automat. Remote

Contr., vol. 39, no. 10, pp. 1466–1470, 1978.

[5] A. G. Lukrsquo;yanov and V. I. Utkin, “Method of reducing equations for

dynamic systems to a regular form,” Automat. Remote Contr., vol. 42,

pt. 1, no. 4, pp. 413–420, 1981.

[6] A. Zinober, “Introduction to variable structure control,” in Deterministic

Nonlinear Control, A. S. Zinober, Ed. U.K.: Peregrinus, 1990, pp.

1–26.

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