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弯曲通道中流量和污染物扩散的计算

作者： A. 0. DEMURENt和 W. ROD1

卡尔斯鲁厄大学水文学研究所，卡尔斯鲁厄，F.R. 德国

（1985年8月19日收稿，1986年5月7日修订）

摘要：根据曲折通道中流量和污染物扩散的实验和计算方法。根据流动情况的复杂三维特性讨论现有计算方法的缺点。提出了一个充分考虑流动和污染物浓度场三维性的数学模型。该模型基于动量方程的解决方案，该方程根据三维数值过程和连续性方程来控制横向，纵向和纵向的流动。动量方程中出现的湍流应力可以用k-e湍流模型的一个版本来计算，该模型可以解释湍流的流线曲率效应。污染物浓度场随后从其运输方程的解中获得。该模型通过应用于三种不同的曲折情况进行测试，其中速度和浓度测量可以从文献中获得，其中通道宽度与深度比率在4-20范围内，光滑粗糙的床以及各种污染物排放位置。速度和浓度场的详细比较显示出一般良好的一致性。发现流线曲率对湍流质量通量的影响仅在具有光滑床的窄通道中才是重要的。在其他两种宽通道的情况下，床产生的湍流似乎推翻了这种情况，其中有一张光滑的床和一张带有粗床的狭窄通道。在这些情况下，流动模式显示在大多数横截面上存在单个大涡流，而预测表明在前一种情况下通常存在多个涡流。

1 引言

1.1背景

河流的曲折是最有趣的自然现象之一，其分析对工程师和科学家提出了巨大的挑战。河流在人类日常导航，供水，鱼类生产，废物处理，能源生产等活动中的重要性日益增加，因此有必要通过控制和人为改造优化这些水体的使用。这强调了理解河流流动，污染物扩散，沉积物运输等各种机制的必要性，并能够预测这些过程。尽管多年来在河流蜿蜒过程中进行了许多理论和实验研究，但这一现象的某些方面仍不完全清楚，难以用数学方法进行分析。通常会引入简化的假设，这些假设是不恰当的。一个主要的缺点似乎是在大多数分析尝试中二维流动的假设。然而，如果不考虑次级运动是蜿蜒通道中流动的基本特征，那么所涉及的机制就无法充分解释。反过来，这个动作在二维分析中不能直接遇到。本文报道了一种不受此缺点影响的三维数学模型。这里报道的工作必须被视为开发精确数学模型的第一步，该模型不仅可以预测河流蜿蜒的复杂现象，而且可以大大提高对这些现象的了解，特别是纵向运动和次要运动之间的关系，床层剪切应力分布和沉积物运移。

1.2 准备

1.2.1理论研究

Boussinesq（1868）在轻度弯曲的通道中呈现层流的数学分析，解释了弯道中的二次运动的发展。汤姆森（1876年）提出了一个关于如何在河道弯道中观察到的二次流动导致河流蜿蜒的理论。他认为弯道周围的流动是无旋转的（至少就径向速度分布而言），并且沿着任何垂直线的压力是静水压的，以便水面必须按顺序从外层向内层倾斜所产生的压力梯度平衡离心力。然后他假定这个压力梯度与深度无关，并且推导出，由于床层摩擦导致速度随深度减小，所以靠近床层的流体元件必须采用曲率半径小于表面附近的路径。这意味着这些元素向内部组移动，而靠近自由表面的元素向外部组移动。当然，在横截面中引起的运动需要在堤岸附近的垂直水流，在内岸附近向上并在外岸附近向下，这一起导致螺旋运动。由于涉及各种简化假设，基本上无粘流分析所预测的螺旋运动的强度与实验观察结果并不紧密相关。事实上，分析有点不一致，因为流动被认为是几乎没有粘性的，但必须要求摩擦在床边引入较低的速度。

Ananyan（1957）和Rozovskii（1957）引入了扰动技术来分析弯曲弯道中的流动。作为第一个近似值，他们假设主流不受二次运动的影响。这种方式获得的解决方案随后通过引入扰动来解释二次运动的影响，使用深度 - 曲率比（h / R）作为扰动参数。随后开发和应用了许多种摄动方法（Yen 1965; Callander 1969; De Vriend 1 973,1981 1a; Engelund 1974; Ikeda 1975等）以分析弯曲通道中的流动。事实上，这种类型的分析似乎是迄今为止文献中最受欢迎的分析。然而，潜在的假设，即二次运动仅用于扰动本质上完全发展的直通道流，严重限制了这种类型方法的适用性。根据其概念，该方法仅适用于轻微弯曲的管道，然后只有在长时间暴露于曲率之后才适用，即不适用于发展区域。因此，这种方法不能可靠地预测强烈弯曲通道中的流动或由一系列曲折构成的情况，其中前一个弯曲的历史效应传递到下游。这些方法的进一步缺陷是这样的假设：流动是层流的或者湍流效应可以由恒定的涡流粘度或由垂直速度分布的幂定律导出的简单的涡流粘度分布和摩擦系数的值。

蜿蜒的河流中的二次运动对传热和传质以及污染物的分布都有很强的影响，正如Fischer（1969）首次详细讨论的那样。从全球来看，这种影响会增加混合，但实际过程不是湍流混合的过程，而是通过二次运动产生热量或质量的对流输送。对这种运输的分析需要三维考虑，但是迄今为止进行的分析对于非稳定污染物情况下的污染物纵向扩散的横向混合和一维横截面的平均二维深度平均蔓延。用于污染物的原始三维对流 - 扩散方程（温度或浓度）的深度和横截面平均在简化方程中引入了所谓的扩散项，并且通过将它们与输送量的梯度相关来近似它们，由此引入分散系数。这些系数基本上起着增强方程中已经存在的湍流交换系数的作用。 Fischer（1969）使用Rozovskii（1957）测量的二次速度剖面和Taylor（1954）和Elder（1959）的剪切流分析来确定弯曲通道流量对扩散系数的影响。他发现无量纲横向扩散系数f / U，h应该与（u / U.J2（h / RJ2）成正比，其中0是通道中的平均速度，U是摩擦速度，h是通道深度， R是曲率半径，Yotsukura＆Sayre（1976）后来发现，各种实验室测量结果表明r / U，h应该与（g / U）2（B / R）2成正比，其中B是通道的宽度Fischer et al。（1979）的书中也可以找到数据的汇编和关于这种关系的讨论，测量结果表明无量纲色散系数可以从通常观察到的0.15的值（Fischer et al。，1979），Smith（1981）所讨论的实验中，对纵向分散系数的影响也是相似的，在实验室水槽中，采用射线路径法来显示污染物由于靠近弯曲通道中心处的稳定源放电而产生的浓度在外部银行附近最大。 Smith（1982,1983）研究了曲折通道的横向和纵向扩散，包括历史效应和深度和宽度变化的影响。在很大程度上，这些作品分析性地补充了费歇尔（Fischer，1969）的经验推导和计算。 Smith的所有分析均基于深度平均治疗，并需要横向扩散系数作为输入。迄今为止提出的分散关系都是相当粗糙的;它们没有充分考虑流程开发的差异，也不能对实际运输过程进行充分的描述。这只能通过三维模型来实现。

1.2.2 实验研究

在文献中已经报道了大量关于河流蜿蜒问题的实验研究：对这些问题的一般综述可以在Callander（1978）中找到。 这里简要回顾一下那些研究，这些研究对二次运动的发展及其对主要流量分布和污染物扩散的影响提供了特别的见解。

弯曲通道纵向速度发展的测量（例如Rozovskii 1957; Ippen等1962; Chang 1971; Fukuoka 1971; Siebert＆Gotz 1975; Meckel 1978; De Vriend 1979; Siebert 1980）已经表明速度最大值通常发生在弯道入口处的内部银行附近和出口处外部银行附近。这是由于外部河岸的水位上升和弯道内离心力引起的内部河岸的下降。与弯曲处的横向表面斜坡的建立和随后的衰减相关联的是，在外部岸边处存在不利的压力梯度和相关的流体减速以及在内部岸边处的有利的压力梯度和流体加速度。在出口附近，超出最大横向表面坡度的位置，这些机构反转，使得最大速度倾向于移向外部堤岸。螺旋次级运动将高动量流体从上层传送到外部组，并且从近底层向内部组传送低动量流体，并且因此支持该反转，即，它有助于将速度最大值移动到外部库。然而，只有在非常平缓的弯曲处，可发展纵向压力梯度可忽略不计的完全发展条件的情况下，螺旋运动是否支配纵向速度分布，使得在这些条件下最大值将接近外部银行。一般来说，表面斜坡的流向发展或衰减在整个弯曲过程中都很重要，即使在弯道的上游和下游也会感受到相当的距离。 Siebert（1980）发现，这种影响持续的时间远远长于二次运动的影响。在弯曲的通道中，一个弯曲跟随另一弯曲，因此在各个弯曲之间存在相当大的相互作用。当通道非常强烈地弯曲时，靠近入口处的外部组和靠近弯曲部出口处的内部组处的不利压力梯度可能非常强以至于流动分离。 Mockmore（1953），Shurky（1949），Ippen等人观察到这种在最大超高位置附近分离的趋势。 （1962）和日元（1970）。该趋势随着半径宽度比R_c/ B增加并且在曲折通道的后续弯曲中减小。但应该指出的是，Rozovskii（1957）在R_c / B = 1和B/h = 13.3的强弯曲通道中的实验没有显示任何分离迹象。

在许多实验中，在外岸表面附近观察到第二个较小的反旋涡（例如Chang 1971; De Vriend 1979; Siebert 1980）。 Mosonyi＆Gotz（1973）发现这种涡流的存在取决于宽深比B / h。 虽然漩涡在B / h的低值处出现在弯道的大部分处，但他们发现它在B / h = 20时完全不存在。Tamai等人的测量结果表明， （1983）证实了这些发现。 De Vriend（1981a）认为反旋涡的发展可能是由于流体动力学的不稳定性。 他认为这可能与沿着凹壁的边界层中存在的Gortler涡类似，并且其起始表示高迪恩数流量范围的开始。

很少有实验研究了曲折通道中的污染物扩散。费舍尔（Fischer，1969）确定曲率对恒定曲率水槽中扩散系数的影响。 Chang（1971）在一个由两个90°弯道组成的通道中进行浓度测量，交叉方向由短切线相连，而福冈（1971）和福冈和塞耶（1973）则报道在由大量弯曲组成的弯曲通道中进行浓度测量在染料引入的后期阶段存在周期性流动，在所有实验中，在垂直方向上发生快速混合，但由于二次运动的偏斜作用，染料的垂直分布不均匀如上所述，二次运动也导致染料的相当大的横向扩展，使得有效混合比直通道强得多，分散系数量化了这种混合，其确定是其中之一上述实验的主要目标通常比湍流扩散系数大得多，发现其达到最大值va在每个弯曲的大约中间弯曲，并且在弯曲之间的切线的大约中间处具有最小值。 Yotsukura，Fischer＆Sayre（1970）和Holley＆Abraham（1973）报道了蜿蜒河流中的实地测量结果。后者发现内河岸排放的污染物比外岸排放的污染物要少得多。

通过参考以前的研究，突出了弯曲通道中流动和污染物浓度场的复杂三维特性，尤其是二次运动对主要速度场，壁剪切应力分布和污染物扩散的重要影响。 理论研究的回顾表明，大多数现有的计算曲折通道流量的方法都基于相当限制的假设，因此它们不适用于具有强曲率和发展区域的情况，其中流动的全部三维性质具有 被解释。 此外，现有的曲流通道中污染物扩散模型仅允许通过扩散系数对曲率影响进行全局经验描述，并没有描述通过二次运动实际输送污染物。

本研究提出了一个不受上述限制的数学模型，因为它充分考虑了流场和浓度场的三维特性。该模型是Leschziner＆Rodi（1979）的方法的扩展，该方法在数值上解决了三维Navier-Stokes方程以及合适的湍流模型。该方法已经开发并应用于单个弯曲，并且其中一个扩展是使其适用于具有曲率反转的一系列弯曲的曲折通道。对于弯曲次数没有限制，因为当弯曲次数如此之大以致流动模式自身重复时采用周期性概念。为了确定曲折通道中的污染物浓度场，本文也解决了控制该领域的t维对流扩散方程。此外，通过用莱纳德（1979）提出的高阶精度二次上游加权差分格式（QUICK）代替Leschziner＆Rodi（1979）方法中采用的一阶精度迎风差分格式，数值过程得到了改进。这种用于近似各种控制方程中对流项的改进方案显着降低了由该方法产生的数值扩散。 Demuren（1983）以前的计算表明，使用这种高阶方案能够更好地预测污染物浓度分布，而速度预测只受到轻微影响。

目前的研究仅限于矩形横截面和固定床通道中的稳定流量计算。 此外，只有在排放的污染物中性浮力和保守的情况下才会考虑这种情况。 这项研究是为蜿蜒河流中复杂的现实生活流，污染物扩散和沉积物运输过程开发强大的计算方法迈出的重要一步。 对于上面提到的理想情况，模型通过模拟Chang（1971）和Fukuoka（1971）实验研究的曲折实验室水槽情况进行了广泛的测试。 将主要和次要速度场的发展预测与各种条件下的实验室测量结果进行比较。 计算的污染物浓度字段也与可用的测量值进行比较。 最后，检测蜿蜒通道中的预测床剪应力分布。

2.数学模型

2.1 平均流量平衡

控制蜿蜒通道的弯曲部分中的稳定的，均匀密度，三维，湍流和污染物输送的时间平均方程可以写成如下的圆柱极坐标（r，y，0）：

连续性方程 （1）

径向动量方程

（2）

垂直动量方程

（3）

纵向动量方程

（4）

浓度方程 （5）

图1（a）中示出了极坐标系，其中符号也被定义。 在（2） - （5）中，原始出现的湍流应力和质量通量分别用涡粘度和扩散率关系近似表示。 uc是污染物浓度的湍流施密特数，代表涡流粘度v与涡流扩散率r之比。 已经发现uc = 0.5的值适用于之前计算的明渠污染物扩散情况（Rastogi＆Rodi 1978; Rodi，Pavlovic＆Srivatsa 1981），并在本研究中使用。

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