英语原文共 13 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

加权学生t-混合模型及其在图像分割中的应用

作者：Hui Zhang,Q. M. Jonathan Wu,Thanh Minh Nguyen

摘要：本文介绍了一种新的加权学生t-混合模型(WSMM)进行图像分割。高斯分布和学生t分布是有限混合模型(FMM)中常用的两种。学生t-混合模型具有重尾的特点和较强的鲁棒性，因此它可以替代高斯混合模型。此外，在FMM中，像素之间相互独立。虽然已有一些方法结合了相邻像素之间的空间关系，但它们并不考虑空间信息与聚类信息之间的关系，因此这些方法对噪声仍然敏感。本文提出的方法有以下几个优点：首先，本文引入了WSMM,将局部空间信息，像素强度值和聚类信息整合到一个图像中。其次，本文提出的模型简单、易于实现，且在噪声、图像细节保存方面有较好的平衡。第三，采用梯度法和期望最大化算法，允许同时估计最优参数。最后，图像分割中最常用的统计工具，著名的隐马尔可夫随机场模型，是其模型的一个特例。因此，本方法的应用十分普遍。在合成和真实图像上的实验结果表明了它的鲁棒性和有效性。

1介绍

图像分割是图像处理中最重要、最困难的问题之一。目前已经提出了各种不同的方法[1-6]，但由于重叠强度、图像对比度低和噪声扰动的原因，图像分割依然十分困难。一般来说，图像分割可以分为四类:阈值、聚类、边缘检测和区域提取。聚类本质上是一个像素分类的过程，将图像像素分割成子集。即给定一个已知或估计的类数，所有图像像素都可以聚集到上述类中，并且每个类都被分配一个唯一的数字标签。

著名的有限混合模型(FMM)是使用最广泛的图像分割聚类模型之一。高斯混合模型(GMM)假设条件概率为高斯分布[7-9]，它经常被选为FMM的一个特例。GMM是一种灵活，强大的多变量数据统计建模工具。标准GMM的主要优点是它易于实现，并且可以通过采用期望最大化(EM)算法来有效地估计少量参数。然而，在重异常值的情况下，GMM参数估计的能力较弱。在许多实际应用中，异常数据的鲁棒性是很重要的，因为异常值和可观测数据的混合可能会严重影响模型参数的估计和模型的复杂性。因此，需要额外的组件来捕捉分布的尾部。当可用的拟合数据集存在异常值(在实字应用程序中经常发生)时，GMM往往需要大量的混合组件来捕获近似分布的长尾，以保持其模式识别的有效性[10]。

近年来,Peel和McLachlan[11]提出了学生t混合模型(SMM)作为GMM的替代方案，因为其对噪音具有很高的鲁棒性。在处理重尾数据时，SMM比GMM更鲁棒，并且SMM中每个组件的分布都嵌入在更广泛的椭圆对称分布类中，其中的附加参数称为自由度。因此，长尾多元学生t分布是一种比GMM更有效的方法。然而，作为一种基于直方图的模型，FMM假定图像中的每个像素都独立于其相临的像素。因此，GMM和SMM都不考虑图像中的空间依赖关系。此外，它们不使用相邻像素最有可能属于同一集群的先验知识。因此，GMM和SMM的性能对噪声和图像对比度都很敏感。

为了克服这个缺点，已经提出了各种各样的方法来将空间信息合并到图像中，一个常见的方法是使用马尔可夫随机场(MRF)[12]。这些方法的目的是在图像像素标签上施加空间平滑度约束。然而，大多数方法都局限于在基于FMMs的方法中使用MRF。近年来，MRF模型的一个特殊情况——隐MRF (HMRF)模型被提了出来[13,14]。HMRF的状态序列是不可直接观测的，但可以通过观测场间接观察到。在HMRF模型中，图像中的空间信息通过相邻像素的上下文约束进行编码，其特征是有条件的MRF分布。HMRF模型的参数估计通常依赖于最大似然(ML)或贝叶斯方法[15,16]。Besag[17]又引入了在ML估计难以处理的情况下，伪似然估计的概念。在此基础上，提出了各种HMRF模型估计方法。为了处理不同的HMRF模型，我们可以用迭代方法(如EM算法或迭代条件估计)来估计特征参数[18-23]。在e步迭代中，迭代条件模式(ICM)，最大后验(MAP)估计和最大后验边缘是用当前估计替换图像像素标签的替代方法[24-26]。为了克服有偏差的参数估计，Qian和Titterington[27]提出了一种改进的EM解决方案，称为点伪似然(pplem)算法。这与最近提出的MRF[28-31]的平均场近似有密切的关联。Dunmur和Titterington[32]揭示了这两种方法之间的联系。

另一种混合模型，空间可变FMM(SVFMM)也已成功应用于图像分割[33,34]。该方法不是将基于MRF的平滑约束强加于像素标签上，而是考虑将平滑度置于上下文混合比例上。在[33]中，Sanjay和Hebert采用基于吉布斯MRF的先验的MAP估计，增强了空间平滑性，并产生了空间连续的簇。然而，在这种情况下，MAP算法无法在封闭的状态下找到像素标签，本文采用了梯度投影算法。在[35]中，利用二次规划来改进SVFMM的像素标签计算问题。在[36]中，提出了一种基于高斯-MRF的上下文混合比例的光滑性先验簇，以保证每个簇的平滑度不同。该模型也被细化以捕获不同空间方向的信息。可以利用闭型更新方程的EM算法得到这一结论。同时，作为具有空间约束的分层贝叶斯模型，Nikou等人[37]考虑了先验概率的约束:它们是正的，且必须为1。该模型假定上下文混合比例遵循狄利克雷复合多项式(DCM)分布。在全贝叶斯框架中，将多项分布的参数进行了积分，并通过EM算法对狄利克雷的参数估计进行了迭代更新。

尽管一些研究认为空间信息降低了对噪音的敏感性，但是这些方法对于噪声和异常值仍然缺乏足够的鲁棒性。在本文中，我们提出了一种新的加权SMM (WSMM)图像分割方法。我们的方法与上面提到的方法有很多不同:首先，我们方法中的先验概率对于每个像素都是不同的，并且依赖于像素的邻域;此外，我们的方法考虑了相邻像素之间的空间关系以及空间信息与聚类信息之间的关系。其次，对于空间信息，我们为远距离像素添加权重，以便在噪声和图像清晰度和细节之间建立良好平衡，因为加权参数随着距离的增加而减少。由于采用了加权因子结合局部空间信息，我们将我们的方法称为WSMM。第三，我们的方法是基于FMM的，它很简单，并且容易实现，采用了EM算法和梯度法进行参数估计。此外，我们构建了一个灵活的框架，以一种新的方式分析了标准FMM，揭示了我们的方法与HMRF模型之间的内在联系。实际上，HMRF可以被认为是我们模型的一个特例。我们所提出的方法用于分割合成图像和真实图像，与其他先进技术相比，我们所提出的方法的性能表现出了改进的鲁棒性和有效性。

本文的其余部分如下:

第二部分，简要介绍了几种常用的图像分割方法的数学背景。分析了FMM在图像分割中的主要问题。在第3节中，详细描述了所提出的方法，参数估计在第4节中给出，第5节给出了评价该方法性能的实验结果。最后，得出了一些结论。

2初步理论

2.1学生t分布

学生t分布为具有潜在异常值的高斯分布提供了一个重尾的替代。多元学生t分布的概率密度函数(PDF)中均值、协方差矩阵和自由度为1

(1)

其中，是变量的维度,为伽马函数

(2)

根据[11,38],表明了一个学生t分布相当于一个高斯分布,精度比例因子,是一个伽马分布的潜在变量,根据自由度，定义为

(3)

伽马分布的PDF由下式给出

(4)

图1是学生t分布的图像，其中是固定的，当自由度取不同的值时，可以证明对

于，学生t分布趋向于高斯分布，具有相同的均值和协方差。相反，当趋向于零时，分布的尾部变长，为潜在异常值提供重尾替代，而不影响分布的均值或协方差。 因此，与GMM相比，SMM可以提供更好的计算效率，更好的算法稳定性和更好的模型参数估计

2.2有限混合模型

让我们首先考虑两个集合和。 设是有限索引集合，。 我们将集合称为一组站点或位置。设和为两个随机场，它们的状态空间和由假设的一组站点（每个站点）表示

and

他们的产品空间

and

应表示为所考虑的站点集的状态值的配置空间，和。

在图像分割时，由个像素组成的图像被分割成个类别。 表示图像的第个像素处的观察（强度值），并且表示第个像素的相应类别标签

图1单变量学生t分布，自由度不同时，固定不变

随着趋向于高斯分布

对于较小的，该分布比高斯分布更重尾。

对于每个和，概率

(5)

是像素的先验分布，属于类，满足约束条件

and (6)

，遵循条件概率分布，其中是参数集合。针对SMM，条件概率为学生t分布。在独立的假设下，我们有

(7)

根据(5)-(7)，可以计算出FMM。

(8)

虽然FMM这种模型因为其简单性和有效性而得到了广泛的应用[1]，但它只对数据进行了描述，没有使用数据的空间信息。换句话说，它没有考虑到决策过程中相邻像素之间的空间相关性。然而，具有相同强度分布的图像可能具有完全不同的结构性质。为了克服FMM的问题，同时降低分割结果对噪声的敏感性，一些研究人员建议对相邻像素之间的局部空间信息进行修改。下面的小节将介绍两个典型的模型。

2.3隐MRF模型

MRF通过使用具有条件MRF分布的空间信息来解决上下文约束的问题。 在MRF中，S中的站点通过邻域系统相互关联，其定义如下：，其中是相邻站点的集合。并且，当且仅当。随机场是相邻系统中上的MRF，当且仅当[25]

根据Hammersley-Clifford定理[40]，给定的随机场是一个MRF，当且仅当其概率分布是吉布斯分布时

(9)

是称为分区函数的标准化常量，由下式给出

(10)

是能量函数。

(11)

其中是所有可能的集合，代表与集合相关的潜在集合。集合被定义为中的一个子集，其中每对不同的位置都是相邻的，除了单一位置集团。

HMRF是HMM的一种特殊情况，它被定义为随机过程具有不可观测的状态场和可观测的(或发散)随机场。概率分布满足(9)。此外，对于任意，随机变量满足条件独立假设。

(12)

这提供了后验概率的近似，仍然能保证其马尔可夫性.

（10）中定义的项的计算涉及HMRF的的所有可能的情况，这几乎是不可能实现的。 Besag[17]在解决这个问题之前引入了马尔可夫场的伪似然近似的概念。在这种近似下，马尔可夫场的先验是

(13)

相关研究[1,2,14,27]表明，利用伪似然近似(13)对马尔科夫场进行优化可以对HMRF模型进行良好的参数估计。

2.4 关于上下文混合比例的MRF。

另一种模型，SVFMM，强调了基于MRF的平滑度约束条件的上下文混合比例[33-37]。 FMM和SVFMM的主要区别在于先验概率的定义，它等价于FMM中的和SVFMM中的（也称为上下文混合比例）。 SVFMM中基于MRF的上下文混合比例，用以合并相邻像素之间的空间信息，并考虑像素与类之间的关系。 这里，上下文混合比例仍然需要满足（6）中的约束条件。 令表示状态的配置，即 ，与HMRF类似，SVFMM方法引入了先验概率的吉布斯函数

(14)

(15)

在[33-37]的文献中有许多对公式（15）的理解。其中一种即为高斯- MRF。

在HMRF中，采用传统的迭代EM算法进行参数估计。然而,由于SVFMM的对数似然函数的复杂性,EM算法的M步不能直接应用于上下文混合比例。在[33]中，作者应用梯度投影算法来解决这个问题。在[35]中使用二次规划来计算先验的像素标签。

3加权SMM

设维数为，表示第个图像像素的强度值，表示第个像素对应的类别标签。WSMM被定义为

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[23750]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word