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鲁棒稳定区域的分数阶PI^

分数阶时滞系统的控制器

Zhe Gao Li-Rong Zhai Yan-Dong Liu

沈阳辽宁大学轻工学院，110036

沈阳东北大学信息科学与工程学院，110819

摘要：本文研究的重点是确定稳定区域的分数阶PI^图解法（比例积分）时滞分数阶系统控制器。由D-分解技术，存在的条件与真正的根边界计算方法（RRB）曲线，复杂的根界（CRB）曲线和无限根边界（IRB）线等本文所提出的方法对于一个给定的稳定度。稳定区域的RRB曲线方面，CRB曲线和IRB线在本文所提出的标准确定。最后，2个说明性的例子来验证此图形化方法的有效性，不同的稳定性度。

关键词：分数阶系统，时滞，PI^（比例积分）控制器，稳定区域，稳定度。

1 引言

由于结构简单，实施效果显著，积分比例积分微分（PID）控制器已广泛应用于许多工业过程[1]。最近，分数阶PI^Dmicro;控制备受关注，由于它提供了更灵活的控制器设计与整数阶微分控制器相比，通过引入双参数，即为lambda;积分和mu;微积分。同时，分数阶PI^Dmicro;控制方案实现了一个更好的动态响应分数阶控制系统[3]。但由于结构的复杂性，它也带来了新的对分数阶PI^Dmicro;控制器整定参数的合成问题。获得分数阶PI^Dmicro;控制器满意参数的主要方法是基于频率的方法，[4-6]和智能优化。[7-8]通过传递函数的频率响应的方法适用于简单结构的分数阶系统。对于分数阶控制的复杂结构系统，通过智能优化的调整方法更有效，但它需要确定的稳定参数的初始化和检查优化结果。

D-分解技术是常用的确定整数阶微分控制器的稳定区域用图解法[ 9 ]。对于一个固定的KP，稳定的地区（KI，KD）平面的线性整数阶时滞系统的无时滞的多边形的。[10-12]但它并不是简单的将此结论推广到分数阶PI^Dmicro;控制器。稳定区域的分数阶PI^Dmicro;形状对于一个固定的KP控制器，KI和KD的分数阶系统的时间延迟进行了讨论[ 13 ]。对于分数阶系统无时滞和时滞确定稳定区域的图形化分别提供了[14,15]方法。边界保证分数阶PI和PD控制器，lambda;mu;Hinfin;性能提出分别提升[ 16，17 ]的鲁棒性。

对于整数阶系统，稳定度sigma;被认为是实现鲁棒性，确保闭环特征方程的所有根位于线=minus;左sigma;的整数阶PID控制器在[ 18，19 ]。因此，对稳定度sigma;介绍也是提高分数阶控制系统的鲁棒性的有效途径。确定稳定区域的主要问题是存在的条件和相应的计算方法。通过添加额外的参数PI控制器。分数阶PI^控制器为设计带来了灵活性。确保稳定度（即sigma;指数）可以提高闭环系统的鲁棒性。确定稳定区域边界的方法是分数阶PI^控制下时滞分数阶系统的一个关键问题。出于上述考虑，我们提出了确定稳定区域的分数阶PI^控制器lambda;固定与稳定度sigma;图形的方法。首先，描绘真实根边界方法（RRB）曲线，复杂的根界（CRB）曲线和无限根边界（IRB）线的影响，从而得到了稳定区域的标识，给人一种选择一个固定的sigma;鲁棒参数Kp、Ki。

2 提出问题

考虑一个线性分数阶系统的时间延迟表示为如下传递函数。

其中D（s）= N i = 0 AISalpha;I和N（s）= M J = 0 bjsbeta;j，AI，BJ，an = 0,alpha;N＞alpha;Nminus;1 gt;···gt;alpha;0ge;0，beta;m＞1＞·minus;beta;M··gt;beta;0ge;0是任意实数，alpha;Nge;beta;M和L＞0是时滞。

我们采用分数阶PI^控制器作为一个统一的负反馈控制器稳定系统（1）在下列形式。

其中KP，KI和lambda;分别是比例增益、积分增益和积分顺序。本文的目的是确定一个固定的lambda;参数KP、KI。对于lambda;= 1，控制器成为整数阶PI控制器，因此我们研究了稳定区域为例lambda;＜1，0＜1＜2＜lambda;。

根据（1）和（2）的闭环系统的特征函数给出

将F1（S）的ELS产量一个正的常数sigma;gt; 0被定义为提供一个稳定度。让S = Zminus;sigma;和z = x JY，我们更换的Z向（4），然后

并且，

D-分解技术是用来确定参数Kp和Ki，实现所有的解f（z）= 0定位在相对于Z左复平面，保证闭环系统具有稳定度sigma;。注意到的函数（5）的系数是实数，特征根可能是复杂的或真实的。因此，我们关注区间Yisin;[ 0， infin;）。由D-分解技术，将变量y为三3部分组成，即Y = 0，y =（0， infin;）和y =的RRB曲线对应 infin;，CRB曲线和IRB的线。他们确定的分数阶PI^控制器的稳定区域。

3 稳定区域的分数阶PI^控制器

在本节中，我们提出了确定稳定区域0 lt;lambda;＜1，1＜＜2例lambda;的RRB曲线图解法，CRB曲线和IRB的线。接下来，我们讨论在下面的小节描述3曲线的计算方法。

3.1 RRB曲线

为寻求RRB曲线，我们把y = 0，z = x和替代功能（5），然后

其中D（x）= N i = 0 ai（xminus;sigma;）alpha;I，N（x）= M J = 0 bj（xminus;sigma;）beta;J和Xge;0是一个非负实数。条件Xisin;[ 0， infin;）意味着一些特征根的sisin;[ 0实轴， infin;）。对于整数阶PI控制RRB曲线取决于原点X = 0，但间隔Xisin;[ 0， infin;）应被视为对分数阶PI控制器lambda;描绘的稳定区域的封闭边界。

0le;x＜sigma;，术语（xminus;sigma;）lambda;是复数，那么（Xminus;sigma;）lambda;=（sigma;minus;x）lambda;EJlambda;pi;。这部分RRB曲线对应于Xisin;[ 0，sigma;）定义为rrb1。表示D（x）=Da（x）EJalpha;（x）和N（x）= Na（x）EJbeta;（x），DA（x）、Na（x），alpha;（x）和beta;（x）表示macr;D的模量值和角度（x）和macr;n（x），分别。因此，福（times;）= 0意味着

注意的是， Na（x）= 0，求解上述方程得到

Xge;sigma;，f（x）= 0的解是不唯一的，长期的（xminus;sigma;）lambda;是非负数。然而，Z值=sigma;意味着S = 0的状态y = 0，这意味着其他RRB曲线是由KI = 0的beta;0 = 1确定，这是在[ 15 ]的案例讨论。我们定义这部分RRB曲线为RMB2。

备注1 如果我们把x = 0（8）和（9），每个CRB曲线从以下角度对于一个给定的sigma;。

其中 Da(0), Na(0), alpha;(0) and beta;(0) 代表的模值和 D(x)、 N(x) 中x = 0.

备注2 两RRB曲线的交点是（minus;a0b0，0）设置sigma;= 0（10）和（11）为B0 = 0。

备注3 x gt;sigma;，我们得到（xminus;sigma;）gt; 0点（KP，KI（x）（x））位于负斜率minus;以下行（xminus;sigma;）lambda;，和线与实轴点

可用于检查稳定区域，定义为测试线。从（12）、边坡和交叉点取决于x的值minus;sigma;，因此Delta;= xminus;sigma;定义检查稳定地区不同sigma;值由于所有的测试线吻合在（KP，KI）与同一Delta;平面。

3.2 CRB曲线

确定CRB曲线，我们用Z = JY代入（5），因此

注意（JYminus;sigma;）^=（Y2 sigma;2）lambda;2ejlambda;（pi;minus;tanminus;1（Ysigma;））并且（JYminus;sigma;）= Eminus;Lsigma;ejly，我们表示的模值和角度D（JY）= N I = 0，ai（JYminus;sigma;）alpha;我和N（JY）= NJ = 0bj（JYminus;sigma;）JY）、Na（JY），alpha;（JY）和beta;（JY），那么函数（12）可以改写为

表示f（JY）F（JY）= fr（JY） 产业（JY），实部和虚部F（JY）

从（14）和（15）、FR（JY）和网络（JY）依赖于控制器的参数（Kp，Ki，lambda;）和Y的一个固定的lambda;，利用隐函数定理，如果雅可比矩阵

方程FR（Y）= 0和FI（Y）= 0有当地独特的解曲线（KP（y），KI（y））。然后，我们有以下命题找到稳定的地区。

3.3 IRB线

内部评级法线的存在条件是alpha;n =beta;m，造成该函数的顺序的变化（5），即IRB线是由

因此，稳定的区域的稳定的区域的情况下，必须确定由（18）之间的直线确定的。

备注5。如果要大于分母的传递函数，分子即秩序，alpha;N＞beta;m，IRB线并不存在。

公式（19）和备注5也适用于整数阶PI控制器，为计算公式是独立的lambda;。通过以上的分析，我们提出以下识别算法的稳定区域lambda;分数阶PI控制器对于一个给定的lambda;。

算法1

步骤1。选择根据被控对象模型的稳定度sigma;。

步骤2。检查存在的条件rrb2曲线和IRB的线。

步骤3。计算KP（y），KI（y）通过（17）和（18）代入lambda;。与lambda;isin;计算Y0（1，2）为CRB曲线。

步骤4。获得所有地区通过描绘RRB曲线，CRB曲线，和相同的内部评级法（KP，KI）线路平面。

步骤5。找到稳定区域的分数阶PI^控制器的命题1。

4 说明性的例子

例1。考虑以下分数阶时滞系统。

确定稳定的区域lambda;= 0.4和lambda;= 1.5pi;lambda;控制器，我们研究了稳定区域的RRB曲线，在CRB曲线（KP，KI）面，由于其内部评级法的曲线不存在。稳定度sigma;设置观察稳定区域的收缩现象的不同的价值观。选择sigma;= 0，= 0.4和0.5为lambda;sigma;= 0，0.15，0.3lambda;= 1.5，稳定区域的系统（20）的分数阶PI^控制器在图中描绘的图1和2。图3为邻近的图2的放大图。

图1稳定区sigma;= 0、0.5和lambda;= 0.4

图2稳定区sigma;= 0，0.15，0.3和lambda;= 1.5，Delta;= 1测试线

图3图2附近的放大图

如图所示，所有的CRB曲线开始从rrb1曲线，这个结论可以推广到其他的稳定区域与稳定度sigma;不同lambda;和模型。如果我们sigma;= 0，这rrb1曲线消失，代表稳定的地区不稳定度，配合[ 14 ]算法。对于lambda;= 1.5，两CRB曲线，即，Crb1和CrB2出现。Crb1左边、CrB2右边是稳定电位区。描述测试线设置Delta;= 1通过（12）在图3中，我们观察到测试线穿过Crb1左，从而形成区域rrb1 CrB2和稳定地区sigma;= 0，0.15，0.3和lambda;= 1.5。稳定区域分别是S1 S2 S3、S1 S2和S1（区域边界不包含）为sigma;= 0，0.5，1图和sigma;= 0，0.15，0.3在图2中。增加稳定度sigma;导致收缩的稳定区域。同时，这种现象也发生在以下系统。

例2。考虑下面的时滞分数阶系统具有相同的分子和分母函数命令。

在这个例子中，IRB线考虑。稳定的地区必须找到两IRB线之间为sigma;= 0，0.5，1，lambda;= 0.4和sigma;= 0，0.05，0.1，lambda;= 1.5，如图。4和5分别所示。与Delta;= 1测试线也描绘在图5和图6，是图5的放大图附近的起源。

基于稳定性准则的Kp和Ki参数稳定区域，每个lambda;= 0.4和不同的sigma;由rrb2线确定，IRB线交叉的正实轴，如图4所示的CRB曲线。在图5中，测试线是用来确定稳定区域lambda;= 1.5，和每一个稳定区域由IRB线交叉的正实轴和CrB2决定（CRBsigma;= 0）图5中的曲线。在图6对于一个大的sigma;值，稳定区域不如sigma;= 0.1图存在。

图4稳定区sigma;= 0、0.5和lambda;= 0.4

图5稳定sigma;= 0，0.05区，0.1和lambda;= 1.5，Delta;= 1测试线

图6图5附近的放大图

5结论

在这项研究中，我们提出了一种确定稳定的分数阶PI控制器lambda;0＜lambda;＜1，1＜＜2的情况下lambda;时滞分数阶系统区域的方法我们将面定为平面，通过引入稳定度sigma;，达到其特征方程的所有解位于线=minus;sigma;左。作为基础的曲线，CRB曲线和IRB线的影响来确定稳定区域的标准。1 lt;lt;lambda;＜2的情况下，具有稳定度sigma;分成在Y值= Y0两曲线CRB曲线，不同于CRB曲线没有sigma;。稳定的地区确定所提出的方法提供一个选择分数阶PI^具有鲁棒性的控制器参数KP、KI。

参考文献：

[1] K. J. ˚Astruml;om, T. Huml;agglund. Advanced PID Control.Research
Triangle Park, USA: ISA, pp. 407–432, 2005.
[2] I. Podlubny. Fractional-order systems and PIlambda;Dmu; controllers.
IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44,lt;

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