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这项工作得到了美国国立卫生研究院NIBIB奖R33EB00573的部分支持。

J.Blanc-Talon等人 （编）：ACIVS 2008，LNCS 5259，第390-399页，2008。

copy;Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008

一种鲁棒的边缘保护的图像平滑方法

Gang Dong and Kannappan Palaniappan

Department of Biology

University of Massachusetts, Amherst, Massachusetts 01003 USA

Department of Computer Science

University of Missouri-Columbia, Columbia, Missouri 65211 USA

摘要：图像平滑是许多图像处理任务中的关键预处理步骤。在本文中，广义边缘保持平滑模型是从鲁棒统计理论得出的，并建立了其与各向异性扩散和双边过滤的连接。这种关系允许我们在边缘保持平滑的鲁棒估计过程的上下文中导出改进的数值方案。实验表明，所提出的平滑算法能够有效地减少噪声的分散效应，而不牺牲图像边缘结构。与各向异性扩散相比，双边滤波和贝叶斯最小高斯尺度混合，基于小波的图像增强方法，鲁棒的边缘保持平滑方法在PSNR方面表现更好。

1、介绍

非线性平滑技术在图像处理中仍然是一个活跃的研究领域。图像平滑的基本思想是通过像素的局部相邻像素的强度的一些线性或非线性函数来交换每个像素处的强度值，以产生更具代表局部图像结构的新像素值，其提高了诸如噪声，边缘锐度，视觉保真度等某些图像质量。传统上，线性平滑滤波器，特别是高斯滤波器[1]已经被广泛采用，因为它们的数学简单性和许多技术来实现计算效率。然而，线性滤波器的主要缺点是它们倾向于在边缘边界上平滑，从而破坏重要的边缘结构。

为了减少区域内的噪声，同时保留区域之间的边缘，文献中已经开发了各种替代的非线性方法。其中，各向异性扩散[2]及其变体[3] - [5]在视觉上产生令人印象深刻和定量优越的结果。这些基于偏微分方程(PDE)的方法在创建具有来自噪声输入图像的保持不连续性的分段恒定图像方面是优异的，但是它们本身就是迭代过程本质上很慢。最近，双边滤波器[7]-[9]被提出为一种简单而非迭代的替代方法，并被证明能够有效地产生类似于通过迭代的基于PDE的各向异性方法获得的结果。

在本文中，我们从鲁棒的统计方法 [10] - [14]提出了广义边缘保留平滑模型，利用大多数边缘保持平滑算法背后的基本共同原理，我们提出的边缘保留图像平滑的解决方案可以被看作是鲁棒估计问题的最小化。进一步表明，各向异性扩散和双边滤波方法可以从相同的鲁棒建模框架中得出。这种推导是重要的，因为它为更好地理解这两种方法之间的相似性和差异铺平了道路。我们的新算法利用了非线性平滑可以作为最小化过程的观察的优势，具有优异的边缘保留质量。为了避免在非线性平滑的情况下经常出现的局部最小问题，引入了渐变非凸性方法来计算得出近似最优解。对比结果证明了所提出方法的良好性能。

2、图像平滑的鲁棒估计模型

图像平滑的任务是双重的：包含噪声的所有均匀区域应该进行滤波或平滑处理以减少噪声引起的伪影，以及位置限定代表性二维形状的图像强度边缘结构以准确的方式保留和增强。一般来说，大多数方法通过形式化关于图像传感器和采集系统的统计特性的知识，明确或隐含地依赖于特定噪声假设（例如高斯，瑞利或指数噪声）。一个假定的模型仅仅保留了模型描述中的大多数像素，而没有那些遵循不同统计模型或者没有模型的像素。例如，图像强度噪声可以假定为正态分布，但是实际分布可能具有较大的尾迹，或者本地邻域可以包括诸如边缘边界的显着图像结构。这种非典型像素被称为离群值，或相对于假设模型的严重错误。

鲁棒统计的方法提供了一种可靠的方法来检测潜在模型或噪声假设不准确的估计问题。这里的鲁棒性意味着估计程序对于偏离数据中的异常值的基本假设应该不敏感。从嘈杂输入图像中找到最佳拟合平滑近似图像的估计问题可以在鲁棒统计的框架下提出。给出一个鲁邦函数，我们希望通过满足以下功能标准来找到图像g作为输入图像f的估计，

(1)

当

(2)

其中s是由表示的离散的二维图像平面中的像素位置，表示像素s的邻域，w(x)是空间加权函数，常数是尺度(方差)参数。

它表明，通过(2)中的两个组成部分的组合，基于空间位置和强度差两者的相邻属性确定像素s的强度。具体地说，加权函数w(x)对邻域的中心的像素赋予更多的权重，而周边的像素的权重相对较小，可以使用高斯函数。鲁棒的误差函数(x)对邻域内的所有内部因素有助于平滑，但仍保留具有明显不同强度的像素，以保持尖锐边缘。在[5]，[6]，[13]中还有其他一些这样强大的能量函数。

一般来说，有很多可用于搜索方程式(1)和(2)的最优解的数值方法。在下文中，我们将显示两个不同的最小化程序分别导致的两个生产平滑器-各向异性扩散和双向过滤器。

在一般情况下，(1)式中不允许封闭形式的解决方案，因此迭代方法是必要的。例如，可以应用梯度下降法或牛顿法，产生

(3)

其中=(x)，一阶导数(x)，t表示离散迭代，是标量,这决定了收敛速度和 是涉及的邻域像素数。如果我们将x)替换为xc(x)，即如果我们定义交互函数c(x)c(x)=x)/x则(3)变为

(4)

如果我们使用由先前迭代t产生的平滑图像来更新迭代t 1中的图像数据f，则(4)等价于[2]中给出的各向异性扩散的离散公式。因此，各向异性扩散可以被视为使用演化样本集时的梯度下降解(当相邻强度差小时)。尽管迭代实现很简洁，但梯度下降法依然具有一个主要缺点，就是其相对较慢的收敛速度，特别是在解决方案附近。为了获得超线性收敛速度，我们描述了一种在这个问题上有明显优势的迭代重新加权的计算方法，并且表明双边过滤器确实是具有演进样本集的迭代重新加权的实例。

方程的局部最小值 (2)，满足以下条件，通过区分，

(5)

方程(2)的递推然后得出

(6)

其迭代地将估计表示为加权平均值。 我们可以重写公式 (6)如下，

(7)

=

这表明迭代加权在强度差异小且影响功能和更新时具有类似于牛顿的二次收敛方法。很明显，[7]中的双边滤波器可以解释为最小化程序相当于(6)的初始化的第一次迭代，= 。这提供了在均匀区域内由双边过滤器显示的视觉上令人印象深刻的平滑特性，这也有助于理解平均移位算法[17]作为具有自适应空间邻域的双边滤波器。另外，双边滤波器也可以被看作具有自适应步长的各向异性扩散。可以看出，方程式给出的迭代重加算法 (6)或(7)是稳定的，即序列{}是有界的，并且收敛到非增加c(x)函数的局部最小值[19],具有渐变非凸性的坚固平滑器。

3、具有渐变非凸度的坚固平滑器

一个非常重要的问题是在方程式(2)中选择适当的鲁棒函数。因为这极大地影响边缘保留行为以防止边缘平滑。为了分析给定p函数，式 (3)中鲁棒误差函数的影响函数发挥重要作用，对影响函数测量相邻像素对感兴趣的中心像素的强度估计的贡献。例如，对于p(x)= 的最小二乘(LS)估计器，影响函数为(x)= 2x。由于异常值的影响随着误差的大小而线性增加，在估计或平滑处理过程中，边缘不会发生尖锐边缘，并且在边缘边界发生模糊。

为了改善异常值的影响，平方成本函数可以被更强大的误差模型所替代，对于大|x|而言，这些模型的次级变大会减少异常值的影响。我们限制了对Tukey的双重功能的强大的错误规范的发展[11]，以保持讨论的具体性(对于该鲁棒估计函数的定性形状，参见图1)。如图1所示，当|x|或强度差大于指定的正数时，双重函数强制psi;函数返回到零，因此能够缓和边缘的平滑。虽然可以使用诸如Huber函数的凸稳健函数，但它的影响力并不会降低到总误差为零，因此，边缘平滑将继续发生，Tukey的功能禁止边缘平滑。然而，Tukey双重p函数的非凸性导致了非凸优化问题。也就是说，等式中的梯度下降法(3)使用Tukey biweight函数可以具有对应于成本函数的多个局部最小值的多个解，并且通常其中仅一个将对应于全局最小化。因此，由于初始值不足，迭代计算可能会收敛到局部最小值。值得注意的是，各向异性扩散和双边滤波同样受到该局部最小问题的影响。

图 1 Tukey双重函数的定性形状及其相应的影响和交互作用

为了避免陷入局部最佳状态，文献中通常使用随机或确定性退火。随机退火是更好的，因为它可以最小化任意的能量函数。然而，由于其一般性的结果，这种技术需要指数时间并且在实践中非常慢。我们提出了使用渐变非凸度(GNC)来最小化鲁棒误差范数的确定性方法。Blake和Zisserman的GNC技术[15]是连续技术的混合版本[16]，它将非凸优化问题转化为参数化问题系列。该方法首先解决了一个简单的凸问题，然后通过搜索由控制参数gamma;控制的越来越不重视的近似（松弛）成本函数的序列的局部最小值来“引导”以达到非凸问题的良好解决方案。

具体而言，r初始设定为足够大的值r(0)，使得第一松弛成本函数严格为凸。对于这种r(0)，不管初始值如何，通过连续使用任何基于梯度的方法来保证的唯一最小值。然后将当前相位k中找到的最小值用作下一个相位1 k的初始值，对于k = 0,1 ...，K，具有较低的控制值lt;。当从减小到1时，对的凸度约束单调放松最小值逐渐接近所需的解，。以这种方式，如果我们从r的高值逐渐跟踪全局最小值，那么可以合理地预测，我们可以将E的全局最小值近似为r→1。

Tukey的双重功能的GNC算法，然后可以使用[18]建议的扩张近似技术，允许一系列功能如下

(8)

我们可以看出存在，使得对于任何rgt;， (x，)是凸的，松弛的双重强度函数在图二中被绘制为r的各种值的相应的交互函数。

图 2.渐进非凸性(GNC)(左)Tukey的三次不同的gamma;和(右)相应的相互作用函数

4、实验结果

在本文中，我们首先描述我们实验的实现细节，然后提供使用不同级别的高斯噪声降级的一组标准测试图像的数值模拟结果，将结果与一些知名的方法进行比较。

参数gamma;提供了我们引入的自由度，以便允许我们应用控制松弛速度的GNC方法（变化gamma;）。对于K= 1,2 ..，K，通过使= ln(K 1)(1-)/ ln(K 1)，我们使用r的对数减小。中等噪声水平的K的典型值为K = 5。另一种选择包括线性或指数减少方案。由于GNC在GNC最小化的后期阶段gamma;的速度变化特别敏感，所以gamma;的快速初始下降，如对数下降，是合理的。我们将高斯函数用于空间加权函数w(x)。经验选择邻域eta;s的大小为9times;9像素，占据了高斯函数w(x)支持面积的90％以上。图像边界通过假设对称边界条件来处理。由于收敛性好，采用迭代重加权。

将我们的算法与三种经典自适应平滑算法进行比较：各向异性扩散[2]，双边滤波器[7]和Portilla等人在小波域中的贝叶斯最小二乘法高斯比例混合(BLS-GSM)[20]。由于这三种非线性算法在边缘保留的上下文中已经实现平滑。高斯函数用于边缘停止功能，各向异性扩散和双边滤波器，如[2]和[7]所述。对于每种测试方法，我们会详细地改变其参数，以获得最佳的结果。

通过评估平滑量来量化评估性能在边缘之间使用滤波后的峰值信噪比(PSNR)平滑的图像和原始图像(无噪声)。较大的PSNR值表示更好的边缘保留图像平滑行为。我们已经广泛地测试了四种算法的噪声去除能力，使用由高斯噪声降级的一组标准测试图像。图3(b)显示了噪声Goldhill图像上四种自适应平滑算法的平滑结果。原始图像严重退化，高斯噪声的标准差高达= 30。各向异性扩散和双边滤波器产生类似的结果;这两种方法都不能完全消除噪音，也不能过度消除噪音平滑图像的其他区域，包括边缘。在BLS-GSM的结果中，一些平台区域被错误地平滑，产生环状人造纹理区域。所提出的算法比使用Goldhill测试图像的图3所示的其他方法获得的任何算法产生明显更好的结果。使用PSNR可以定量证实视力改善。我们的算法导致从18.59到29.75dB的大的PSNR增益，而其他三种算法将PSNR提高到24.42dB，分别为25.01dB和26.59dB。表1显示了具有相同量的合成噪声的三个其他测试图像的PSNR结果。在所有情况下，提出的鲁棒边缘保留算法优于其他三种竞争方法。此外，由于Tukey的双重功能的鲁棒性，我们的算法在广泛的迭代条件下产生几乎相同的结果图像，而各向异性扩散和双向滤波在经过一定次数的迭代后必须停止，以避免过度平滑导致平面图像。这提供了一种实用的方式来使用更灵活的终止条件。

表格1 使用四种不同的平滑算法进行滤波后的PSNR改进到 = 30或开始PSNR为18.59的四个测试图像