矩阵方程组的解外文翻译资料
2022-12-07 16:15:02
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矩阵方程组的解
摘要
一个正方形的复数矩阵叫做极压，如果他可以以书面的的形式,是固定的单向性和为任意矩阵。我们给出复杂的矩阵方程,,的系统解的存在性条件，此外，当提出的解决系统解的条件得到满足时，这种代表性的解决方案也被系统认定为最佳平方逼近的解决方案。
关键词；极压矩阵，矩阵方程，彭罗斯-穆尔逆，逼近问题；最小二乘解
1引言
设是阶实矩阵空间以下,,,,如果,记的复矩阵A为（或范围）极压矩阵是由施伟特福格在中所介绍的，很多研究了矩阵的性质在复数域的非退化，赋予不同的等价
条件，和许多特征矩阵来赋予它新的定义。（详见。)
矩阵方程 (1)
与矩阵X的自反性和对称性相比，艾尔米特广义矩阵和汉密尔顿型矩阵是一个非常活跃的研究课题。（见）。作为一个总的控制（1），给出了经典的矩阵方程在给定的条件下极压矩阵解法
, (2)
以引起人们的广泛关注并取得了许多对矩阵（2）的各种约束条件，如，双对称，对称，正半定，反射和广义自反性等等。众所周知，极压矩阵是一类矩阵，包括特殊的-矩阵，例如对称的斜艾尔米特矩阵（即，),正常的矩阵（即)以及一个奇异矩阵，极压法解这种矩阵是非常意义的。
正如在（）中所显示的，一个矩阵是极压矩阵当且仅当它可以以书面的的形式写成，是固定的单向性和为任意矩阵。
正如我们所知，这是迄今为止最简单的极压表示方法。
出于我们研究的需要，我们查询了很多关于极压解的资料，同时也考虑到了最佳平方逼近问题。
,
在矩阵C中所给定的单位单位阵，在很多的矩阵求解中并不是所有都可以使用极压解法的，因此，我们需要进一步的研究。最小平方逼近解法，它可以描述如下，让来表示所有的极压矩阵的酋矩阵的固定组合。
.
设
可得
.
在2中，我们提出了充分必要条件，在第二段是极压解法的存在性，并给出解的表达式所要满足的条件，在第三节中，我们得到了一个最佳平方逼近解法，在第四节中，我们提供了最小二乘极压解法。
2极压解法
在这种情况下，分析了解的条件和功能，我们建立了极压解的一般表达式（2）。
例如 ,是固定的单向性和为任意矩阵
例 2.1 设,矩阵方程组,当且仅当
在这种情况下，该矩阵的一般解为
对于任意的
现在，我们考虑极压解法；
得 ,,
,,
当 ，，，运用极压解法当且仅当,,,我们有如下定理。
例 2.2 设，和,,
满足，。
利用极压解法可得当且仅当,
.在这种情况下的极压解是
3最佳平方逼近问题的解
当设定的所有解非空时，这是很容易验证的是一个闭集，最佳平方逼近问题有一个独特的解，我们首先验证以下定理；
定理 3.1 设，，，那么
可以表示为 ,当，，是任意矩阵时，
证明；它遵循穆尔逆广义逆和内积，
=
= .
那么，当且仅当
当 ，，它的一般解显然是.
定理 3.2 设，，，
= (7)
当，假设是非空的，那么最佳平方逼近问题是一个独特的解决方案。
, （8）
证明；当是非空的，它满足（7）和酋不变性；
=
=
= .
因此，存在当且仅当时，有
根据定理 3.1 我们得出
当存在任意的，，将代入（6）中，我们用（8）解决问题（3），
4最小二乘解法
在这一部分，我们给出了最小二乘的显式表达式，
定理 4.1 设，，，
这就存在一个特殊的解，
使得
解得 当
定理4.2 设
, ,
当假定奇异值分解的如下。
, （9）
当 ，有
，，，
另外，
对于任意的有
（10）
证明；由题得
假设
（11）
那么我们有
.
因此
是可以解决的，
当且仅当存在使得
（12）
。 （13）
它遵循从(12)到（13）
(14)
(15)
当 将（14）（15）代入（11）我们可以在中得到的元素形式是（10）。
定理 4.3.假设符号和条件和定理4.2 相同，那么
当且仅当
证明；定理4.2 意味着
,
当时，有（16）的结果。
5致谢
这项研究是河北省自然科学基金会（A2012403013），NAT乌拉尔科学基金（A2012205028)和河北省教育部资助的(Z2013110)。
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