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Journal of Computational and Applied Mathematics 236 (2012) 3869–3879

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计算及应用数学日报

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有限差值MATLAB代码可以获得二阶奇摄动问题的数值解答✩

Pierluigi Amodio lowast;, Giuseppina Settanni

Dipartimento di Matematica, Universitagrave; di Bari, I-70125 Bari, Italy

文章信息

摘要

文章历史：在2012年2月2 日收到

在2012年4月11日接受修订

关键词：

两点边值问题 ，奇摄动问题

有限差分格式 ， 边值问题代码

我们研究了MATLAB代码的主要特点以解答二阶奇异摄动问题。该代码基于高阶有限差分，特别是普遍逆风法。它非常简单，采用阶数变化和阶数持续以解答任何困难的非线性标量问题。对于线性和非线性问题进行的几次数值试验应该被考虑。其最佳表现显示出近似机器准确度的摄动参数问题，大部分的代码都出现了二点边界值问题的误差。

copy; 2012 Elsevier B.V. 所有版权保留.

1. 前言

奇异摄动问题是测试和强调方法和二点边值问题代码的具有挑战性的例子。这些问题的一般特征为二阶标量ODE

F (x, y, y′, y′′) = 0, x isin; [a, b]。 (1)

其中二阶微分项与一个微扰参数ϵ 相乘，狄利克雷（Dirichlet）边界条件为

g (y(a), y(b)) = 0。 (2)

函数F和g被认为在一个唯一的解答（1）-（2）存在的情况下是足够平稳的。

此类问题一般存在一种解答，这个解答在小范围内（取决于ϵ 的值）是快速变化（被称为分层）的，而在较大范围内是恒常不变的。这意味着适用的方法必须具有良好的稳定性并且步长的变化必须谨慎处理。

根据方程的定义和边界条件，分层可以位于（两个）结束点[a，b]或内部：Cash和Mazzia[1]在网页上收集了一些线性和非线性测试问题，他们也展示出已经过这些示例测试的一些代码。几乎所有的测试问题都是标量的，即，他们的解答为yisin;R。

综上所述，现在为止一套Fortran代码和MATLAB代码是可用的，每一种代码都带有一些特殊功能：Fortran代码TWPBVP [2,3]，基于单-隐式龙格-库塔公式，及其变体ACDC [4,5]以及TWPBVPL [6,7]，基于更加稳定的洛巴托龙格-库塔公式、MIRKDC以及其BVP解答程序[8]、COLSYS [9]、COLNEW [10]和COLMOD [5]，这使得持续策略以及更适应于刚性问题的不同误差估计成为可能；MATLAB代码为BVPTWP [11]，它实现了TWPBVP/TWPBVPC，TWPBVPL/TWPBVPLC，以及ACDC和ACDCC的MATLAB变体，新型的ACDC可以根据调整来进行网格选择，使用洛巴托和单-隐式龙格-库塔公式、BVP4c以

✩ This work is partially supported by GNCS and MIUR (60% Project).

lowast; Corresponding author.

E-mail addresses: amodio@dm.uniba.it (P. Amodio), settanni@dm.uniba.it (G. Settanni).

0377-0427/$ – see front matter copy; 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.

doi:10.1016/j.cam.2012.04.011

及BVP5c [12]，它利用搭配法来接近于C1分段三次多项式的解答，以及TOM[13,14]，基于高阶BVMS（参见[15]）。

在过去的几年中，我们已经提出通过高阶差分格式来解答二阶微分方程问题。尽管其解答很简单，但是这些格式具有良好的稳定性特性，使得困难问题的解答变为可能。最初的想法对于[16]中的问题的关键之处提出，之后的偏微分方程的相似策略，分别离散于每个导数。这允许避免（1）等效一阶系统的变化，并为每个导数选择最好的离散化。在解答[17]中，初值问题也被考虑：即使提出的格式对于解答没有Y项的问题来说是不方便的，但是他们已经将微小的定态解成功地应用到问题的解答中。最后，在解答[18,19]中，定期和异常的斯图谟刘维尔问题也被研究以获得非常满意的成果。

对于所关注的两点边值问题[20,21]的解答中，其[22]通过使用逆风法而被提出，也就是，该解答的提出是根据系数相乘的符号将一阶导数项进行离散。这种概念与用于求解双曲线偏微分方程的是一致的，它要求该数值方法的过程要类似于连续问题，并且一步法被认为是解答一阶导数的方法。在论文的[23,24]连续两页中，对于一个可能的代码格式的某些特性进行了研究。尤其是其被指出，推迟的修正可以适用于正确地估计全局误差，并且基于误差等间距分布的简单步长变化策略足以保证在更精细网格中得到准确的解答。

在本文中，我们根据这些高阶差分格式研究出新代码HOFiD_UP（在这里我们提出一个MATLAB变体）的主要特点。其主要缺点产生的原因是，它仅适用于标量二阶方程式，因为逆风法使用了一阶导数的标量系数。无论如何，尽管差分格式需要的步长要小于误差接近于0的分层的宽度，本文清楚地表明，几步足以使分层集中，因此在需要的地方集中点是很简单的。

本文组织如下：下一节我们介绍导致连续问题的全局近似的差分格式。在第三节，我们研究了允许调整考虑的步长变化战略参数的主要性能。最后一节主要是各种试验案例，即选自[1]中的试验案例。所提出代码与现有的MATLAB代码在最终网格长度和矢量函数求值的数量方面进行比较。

本文专门献给Donato Trigiante，他领导着过去几十年的主要数值分析。他追求的一些概念中的一个是边值法在初边值问题中的应用（参见[15]）。尤其是，他最初的建议是定义解答初边值问题的线性多步法，其能够克服Dahlquist的障碍，也就是获得解决任何高阶的“一个稳定的”的方法。后来他了解到，即使以不同的方式，同样的方法也可以方便地应用于初边值问题和边值问题。为了克服在应用线性多步法时采用的大于2步的若干步骤而产生的问题，他建议将具有相同的阶数，但初始/最终条件的数目不同的主要方法和附加方法合并起来，由此从所有考虑的格点中得到一个闭型解答，而不需要超出由连续问题给出的额外值。因为我们考虑K-步骤公式的条件为Kgt; 2，所有最后一个概念在本文中是必不可少的。

2.普遍逆风法

让我们根据没有平均分布的网格点来考虑该问题的（1）-（2）步解答

X = {a = x0 lt; x1 lt; · · · lt; xn = b}. (3)

我们通过K-步骤的差分格式来离散每个导数

（4）

其中 nu; = 1, 2时 h i = xi minus; ximinus;1，整数s取决于公式的初始参数的数目的选择，系数取决于步长比的选择并且通

过施加最大阶数的调整来进行计算，即通过解答范德蒙（Vandermonde）线性系统。

如前面所述，所用的公式（4）也取决于该问题，特别是为nu;= 1在导数

(part;F /part;y′)(xi ), (5)

以及i。选择不平衡的公式的概念取决于乘以y′的项的符号，是其在历史上用于解答双曲线偏微分方程的逆风法的基本内容（即波动方程），因为它们能够数值模拟流场中信息的更正确的传播方向。对于二阶微分方程（1），一阶导数代表扩散项，特别是在奇异摄动问题的参数ϵ asymp; 0的情况下，必须谨慎对待。事实上，我们将在下一节中看到，当使用的步长临近分层的部分过长，那么光有稳定的公式是不够的。

对于该方法的一个给定的偶数阶p，一阶导数接近于选择K = P近似并且

k/2 1 如果符号(part;F /part;y′)(xi )lt;0,

S=

k/2-1 或者

(6)

这些公式被称为高阶普遍后向和前向差分格式（分别为GBDFs和GFDFs，参见[25]），因为它们归纳了众所周知BDFS和FDFS。在端点（3）处，当其无法与s的固定值使用该格式时，我们使用被称为初始和最终格式的差分格式（具有不同的选择的S）。尤其是，对于i = 1，...， P/2-1并且i = n - P/2 1，...，n-1，我们利用S = i和s = I K - n来接近y′(xi ) ；对于i = P/2，我们选择

k/2 如果符号(part;F /part;y′)(xi )lt;0,

S=

k/2-1 或者

(7)

对于 i = n minus; p/2 我们选择

k/2 1 如果符号(part;F /part;y′)(xi )lt;0,

S=

k/2 或者

(8)

根据对于s的最佳选择。

因此，通过一组分组形式改为 Y ′ asymp; Hminus;1 BY 的格式来接近一阶导数，其中h是含有步长的对角矩阵，B是含有系数的带状矩阵， Y ′和Y是含有 y′(xi ) 和 yi 的列向量，这种情况下i = 0，...，n。

对于所关注的二阶导数，在以往文献[23,24]中我们一直利用对称格式，因为他们有最好的稳定性。无论如何，由于在公式（4）的k阶中的nu;= 2仅当s = K/2并且步长hi是恒定的情况下才会出现，在这里我们切换格式为k= P 1（奇数的步数）并且将策略切换到用于一阶导数并与（6）相似的格式。本质上，我们利用B的稀疏结构，以增加二阶导数的逼近阶。所得到的公式无论如何都会这样，即使用恒定步长，该附加系数为零，其余系数为对称的。通过考虑P/2最初和最终格式在i = 1，...，P/2以及i = n - P/2 1，...，n - 1时近

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