对于Gosper级数猜想的简短证明外文翻译资料
2022-12-07 16:22:22
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对于Gosper级数猜想的简短证明
王琛颖, 陈小静
南京信息工程大学数学与统计学院，中国 南京 210044
中国石油大学理学院，中国 青岛 266580
摘要： 利用Abel分部求和引理，给出Gosper在给Askey的信中提到的一个三次级数求和恒等式猜想一个新的基本的证明，与此同时，Gosper的一个有趣的级数求和恒等式也被推导出来.
关键词：Gosper三次级数求和; Gosper级数求和; 一般超几何级数; Abel分部求和引理
- 引言
对于一个复数和一个整数，定义了升阶乘：
其中，函数由欧拉积分给出：
当时，上述式子简化成升阶乘：
且
为了方便起见，这个升阶乘和函数的分式形式可以简写为：
根据Bailey和Slater的理论，含有任意参数的单边一般超几何级数可以定义为：
其中和为复数，以保证右边等式的分母中不会出现零因子.
在他们的文章中，Gessel和Stanton证明了含有多参数的“看上去难以想象的恒等式”，这些公式都包含在R.Wm.Gosper给R.Askey的信中, 其中有下面这个公式
在1990年，Gasper和Rahman证明了以下无穷型的级数变换恒等式
本文的目的是给出Gosper求和公式的一个新证明。我们用修正的Abel分部求和引理，对于给定的任一复杂序列，定义向后、向前的差分算子和，分别是：
和 .
引理1（Abel分部求和引理）
和为两个序列，则存在以下极限：
然后我们能得到以下变换公式：
其中一个非终止级数是收敛的。
证 根据后向差分的定义，我们得到
用替换，我们能得到如下等式：
让，上述等式就证明了修改的Abel分部求和引理.
- Gosper求和公式的推导
首先，定义级数如下
定义两个序列：
它们的差分计算是很简单的，可以得出：
有如下等式：
当时，显然收敛。
值得注意的是当时，由引理1我们可以得到如下的级数
综上，可归纳为：
由此我们可得如下的递推关系
当时，重复运算次，我们得到如下的关于级数的变换.
定理2：当时，有
其中代表，时的函数：.
然后针对极限关系：
在定理2中让，我们得出非终止的变换：
在本文接下来的部分，我们将进行最后的变换来得到Gosper函数的级数和公式.
首先，在中让，，可得如下表达式：
然后，得到函数之间运算关系：
根据已知的三角函数间的运算：
我们可以进一步简化中的中的内容:
用上式代替中最后一个式子，可以得到如下级数求和恒等式，这些在Gosper给Askey的信中也曾提出.
命题3(Gosper的级数求和).
我们必须要指出，Gosper的三次级数和恒等式在时就退化为级数恒等式.
最后，利用最后的求和公式简化，我们就能得到Gosper级数求和公式.
命题4(Gosper的级数求和).
对于满足的任意，有
根据中的关系式，并且重新定义参数为“”，最后这个恒等式就变成了Gosper求和公式.
文献
[1] W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1935.
[2] W. Chu, Baileyrsquo;s very well-poised 6psi;6-series identity, J. Combin. Theory Ser. A 113 (6) (2006) 966–979.
[3] W. Chu, Abelrsquo;s method on summation by parts and hypergeometric series, J. Difference Equ. Appl. 12 (8) (2006) 783–798.
[4] G. Gasper, M. Rahman, An indefinite bibasic summation formula and some quadratic, cubic and quartic summation and
transformation formulas, Canad. J. Math. 42 (1990) 1–27.
[5] I. Gessel, D. Stanton, Strange evaluations of hypergeometric series, SIAM J. Math. Anal. 13 (1982) 295–308.
[6] R.Wm. Gosper, Private communication to Richard Askey, Dec. 25, 1977.
[7] L.J. Slater, Generalized Hypergeometric Functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1966.
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