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基于部分传感器噪声方差知识的能量约束分散最佳线性无偏估计

Jwo-Yuh Wu, Qian-Zhi Huang, and Ta-Sung Lee

摘要：这封信研究了能量受限的MMSE分散最佳线性无偏估计的估计问题融合规则，假设1每个传感器都可以只发送其原始测量的量化版本到融合中心（FC），2传感器噪声方差的确切知识在FC处未知，但只有相关的统计描述可用。问题设置依赖于最大化倒数MSE相对于规定的噪声方差的平均值分配。虽然所考虑的设计指标显示为在本地传感器位负载中具有高度非线性，我们利用了几个解析近似关系导出相关的易处理性下限;通过最大化这个界限一个封闭形式的解决方案然后获得。我们的分析结果揭示了传感器关闭质量不好被关闭以节省能源，而分配给那些活动节点的能量与个体成比例渠道收益。仿真结果用于说明拟议计划的执行情况。

关键词：凸优化，分散估计， 能量效率，量化，传感器网络。

一、导言

低能量/功率成本是传感器网络的各种特定应用设计的关键问题[17]，[18]。在分散估计场景中，由于带宽和功率限制，每个传感器只能将其原始测量的压缩版本传输到融合中心（FC），文献中已经报道了几种节能估算方案[1]，[ 9]，[13] - [16]。由于传输能量与消息长度成正比[2]，[11]，所有这些工作都在量化比特分配设置中制定，最佳比特负载通过瞬时局部传感器噪声特性的知识确定，例如噪声如果融合规则遵循最佳线性无偏估计（BLUE）原则[7，Ch。 6]。为了保持估计性能不受传感条件变化的影响，因此需要重复更新噪声分布：这不可避免地导致更多的训练开销并因此产生额外的能量消耗。独立于瞬时噪声参数的分布式估计算法的设计仍然是一个悬而未决的问题

依赖于统计分布形式的部分噪声方差知识，在允许的平均失真水平下最小化总传输能量的问题[根据基于均方误差（MSE）的标准测量，该标准相对于规定的平均值

这封信通过解决对应问题补充了[14]的研究：如何找到最佳比特负载，最小化固定总能量预算下的平均失真。这封信的主要贡献可概括如下：1）虽然设计度量，以MSE的平方相对于分布的倒数的形式，在[14]中显示为在传感器位负载中高度非线性，我们利用几个分析近似关系来推导出一个相关的易处理下界; 2）通过最大化该下限，可以以凸优化的形式进一步表达该问题，其产生闭合形式的解。我们的分析结果表明，在有限的能量预算下，为了达到最高的估计精度，应关闭具有不良链路质量的传感器，并且分配给这些活动节点的能量应与各个信道增益成比例;在以前的工作中也发现了类似的节能政策[9]，[14]，[15]。数值模拟证明了该方案的有效性：它在能量有限的环境中优于统一分配策略。

二、系统情景

考虑无线传感器网络，其中N个空间部署的传感器与FC协作以估计未知的确定性参数theta;。 第i个节点的局部观察是

其中n_i是具有方差sigma;的零均值测量噪声。由于带宽和功率限制，每个传感器将其观测量化为b_i比特消息，然后将该本地处理的数据发送到FC以生成theta;的最终估计。 在这封信中，采用了最近舍入的均匀量化方案[11]，[12]; 因此，第i个传感器处的量化消息可以被建模为

其中量化误差均匀分布，零均值和方差[11]，[12]，其中是所有传感器共有的可用信号幅度范围。 采用的量化器模型（2.2）和均匀量化误差假设虽然仅在量化比特数足够大时有效[11]，但由于分析易处理性而在文献中被广泛使用。 假设第i个传感器和FC之间的信道链路被具有方差Sigma;的零均值加性噪声vi破坏。 因此，来自所有传感器输出的接收数据可以以矢量形式表示为

表示转置矩阵。 本文重点介绍参数恢复的线性融合规则。 更具体地，通过假设（2.3）中的噪声分量相互独立并且各个样本n_i，q_i和v_i在传感器上也是独立的，通过BLUE [7，p。 138]计划通过

因此产生的MSE是[7，p。138]

用于感测噪声方差的常用统计描述是[9]，[15]

其中delta;模拟网络范围的噪声方差阈值，alpha;控制标称最小值的基础变化，是i.i.d. 中心卡方分布随机变量，每个变量的自由度等于1 [8，p。24。 所提出的基于能量约束的基于BLUE的估计方案基于噪声方差模型（2.6）并且将在下面讨论。

三、主要结果

A.问题设置

我们假设第i个传感器发送c_i位消息m_i使用星座大小为2b_i的QAM。 消耗的能量 因此[2]，[15]

能量密度omega;_i定义为[2]

其中rho;是取决于噪声分布的常数，d_i是第i个节点和FC之间的距离，k_i是第i个路径损耗指数，pb是假设所有传感器到FC链路共用的目标误码率。 利用（3.1），分配给第i个传感器的能量因此由量化比特数b_i确定。 对于一组固定的传感噪声方差sigma;，在可允许的总能量预算E_T下，分散蓝色的问题可以表述为

或等同的

其中表示所有非负整数的集合。 为了获得通用解决方案而不考虑瞬时噪声条件，我们将考虑以下优化问题，其中（3.4）中的等效失真代价函数相对于（2.6）中表征的噪声方差统计量进行平均：

其中和用表示相关的分布。 为了解决（3.5），第一步是找到等效平均MSE度量的分析表达式。 由于是i.i.d. 和[8，p。 24]，其中表示单位阶跃函数，验证是直截了当的

基于（3.6）和（3.7），问题（3.5）可以等效改写为

优化问题（3.8）似乎相当强大解决因为成本函数b_i是高度非线性的。 在接下来，我们将提出一种替代公式更易处理，可以产生分析解决方案。

B.替代公式

所提出的方法基于以下函数逼近Q（·）

基于（3.9）和以下不等式：

经过一些操作，我们可以达到关键的下限成本函数，显示在页面底部。 注意，因为（3.10）中的等式达到了下限alpha;=0，（3.11）对小的alpha;倾向于严格;发现，提出的解决方案[参见 （3.17）]，（3.11）在alpha;le;0.5引起的相关误差最多为3.54％。 我们专注于最大化（3.11）的下限.

为了便于分析，我们首先观察到,由于b_i属于Z₀ ^，这意味着我们可以用以下约束一个没有违反总体能源预算要求的内容来代替（3.12）中的总能量

在（3.13）的帮助下并通过执行变量B_i=4^bi-1的变化，优化问题变成了

在（3.14）中，中间变量B_i被放宽为非负实数，以使问题易于处理; 一旦计算最佳实值B_i（以及b_i），通过上整数舍入可以获得相关的位负载，如[9]，[14]和[15]。 替代方案的主要优点问题表达式（3.14）是它承认凸的形式优化，并可以导致封闭形式的解决方案，如下所示。

C.最优解

通过利用标准的拉格朗日技术，最优化（3.14）的解可以如下获得。 首先，让我们假设omega;₁ge;omega;₂ge;hellip;ge;omega;_N不失一般性，并且定义功能

设1le;K₁le;N为这样的唯一整数，f（K₁-1）＜1和f（K₁）ge;1；如果f（K）ge;1对于所有的1le;Kle;N成立，那么设K₁=1（当补充文件中另有说明时，K₁具有存在性和唯一性），那么

最优解对（lambda;^opt，B_i^opt）由以下给出：

和

四、讨论与模拟

我们注意到，只要FC具有无限精度的所有原始传感器测量值（即b_i=infin;，1le;ile;N的情况下），就可以获得最小可达到的平均MSE。因此，通过在（3.8）中指定的平均MSE公式设置b_i=infin;，我们有以下性能界限：

公式（4.1）揭示了噪声模型的影响参数alpha;和delta;对估计性能的影响。具体而言，从（4.1）很容易看出最小的MSE随着alpha;增加：这意味着随着感测环境变得更多，估计精度降低而且更加不均匀。 此外，它可以检查MSE_min也随着噪声功率的降低而增加门槛。 这是合理的，因为大B意味着很差所有传感器数据的测量质量，因此更少准确的参数估计。

回忆一下（3.2），能量密度因子omega;_i与路径损耗增益d_iⁿ成正比（假设所有链路中的K_i=k）。 因此，较大的omega;_i值对应于远离FC（具有大的d_i）部署的传感器，通常具有较差的背景信道增益。 鉴于这一点，所提出的最优解（3.17）具有直观的吸引力：关闭与（K₁=k）个最大omega;_i相关的传感器以节省能量。 我们注意到，在[9]，[14]和[15]中也发现了类似的节能策略，通过关闭传感器单独的不良信道链路。 此外，我们从（3.17）进一步注意到，对于那些活动节点，分配的消息长度与成反比。 这是直观合理的，因为具有更好链路条件的传感器应该分配更多比特（能量）以提高估计精度。

我们将所提出的解决方案（3.17）的模拟性能与均匀能量分配方案通过确定位负载进行比较

在每次运行中，我们只选择lambda;omega;_i和d_i^k，并且从[15]中的区间[1,10]统一绘制d_i。 在下面的实验中，我们将传感器的数量设置为N=200，链路噪声delta;vsup2;=0.05，并考虑三种不同的总能量水平：E_T=gamma;与gamma;=0.25,1,3，它们分别对应于低能量，中能量和高能量制度。 对于固定的delta;=2，图1（a）显示了计算的平均MSE，因为I在0到8之间变化，而图1（b）描绘了固定的alpha;=2和0.5le;delta;le;8的MSE。 结果表明，正如预期的那样，随着E_T的增加，估计精度提高。 此外，建议的解决方案（3.17）优于（4.2），特别是当E_T很小时; 因此，它在激励环境中更有效。

通过最小化平均失真水平的所提出的能量分配技术也可以应用于[3]和[4]中考虑的场景，其中所有传感器通过BLUE“放大并转发”用于数据融合的本地测量。 由此产生的问题表述和与提议的数字解决方案（3.17）的性能比较被称为补充材料。 我们还注意到，其他放大和转发方案包括例如[5]和[6]，其相反地假设感兴趣的参数是统计高斯的并且遵循联合源 - 信道编码方法。

1. V. Aravinthan, S. K. Jayaweera, and K. Al Tarazi, “Distributed estimation in a power constrained sensor networks,” in Proc. VTC 2006- Spring, vol. 3, pp. 1048–1052.
2. S. Cui, A. J. Goldsmith, and A. Bahai, “Energy-constrained modulation optimization,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 4, no. 5, pp. 2349–2360, Sep. 2005.

[3] S. Cui, J. Xiao, A. Goldsmith, Z. Q. Luo, and V. Poor, “Energy-efficient joint estimation in sensor networks: Analog vs. digital,” in Proc. ICASSP 2005, vol. IV, pp. 745–748.

[4] S. Cui, J. Xiao, A. Goldsmith, Z. Q. Luo, and V. Poor, “Estimation diversity with multiple heterogeneous sensors,” in Proc. ICC 2006.

[5] M. Gastpar and M. Vetterli, “Source-channel communication in sensor networks,” in Proc. IPSN03rsquo;, pp. 162–177.

[6] M. Gastpar and M. Vetterli, “Power, spatial-temporal bandwidth, and distortion in large sensor networks,” IEEE J. Se. Areas Commun., vol. 23, no. 4, pp. 745–754, Apr. 2005.

[7] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Englewood Cliffs, NJ:

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