本科毕业设计（论文）

外文翻译

学生早期函数理解中变量的表示和概念

作者：Moss D L, Boyce S, Lamberg T.

国籍：美国

出处：Representations and conceptions of variables in studentsrsquo; early understandings of functions. International Electronic Journal of Mathematics Education, 2019, 15(2)：em0564.

摘要：本研究探讨了学生如何通过建立对表达式和方程的理解来发展函数的含义。使用设计研究的教学实验在六年级教室进行。使用扎根理论方法对数据进行分析，以解释为什么在此教学片段中发生事件以及这些事件对学生学习功能的意义（Corbin amp; Strauss, 2014; Gravemeijer amp; Cobb, 2006）。研究结果表明，理解功能涉及整合他们对变量的不同含义的理解，例如表示变化值的字母和表示已知值的字母，以使用表达式对情况进行建模，并通过图形查看自变量和因变量之间的线性关系。本文提供了一个学习进程，以支持对函数的早期理解。我们讨论了对学生变量概念研究的影响以及对培养功能性思维的影响。

关键词：线性关系； 函数； 表示； 早期代数；

一、介绍

什么是函数？我们如何表示一个函数？自变量和因变量是什么意思？代数方程和函数图之间有什么关系？根据回答问题的人（例如学生、教师、数学家或数学教育工作者），可以通过多种不同方式回答这些问题（Thompson amp; Carlson，2017 年）。图 1 改编自 Markovits、Eylon 和 Bruckheimer (1986)，提供了函数组件的框架和表示函数的形式。为了让学生理解函数，他们必须熟练掌握这些表示，这意味着他们具有“跨表示转换的能力，从数学实体的不同表示中得出有关数学实体的意义的能力，以及对不同表示进行概括的能力。表示”（Zbiek、Heid、Blume 和 Dick，2007 年，第 1192 页）。

目前对于在数学课程中引入函数组件和表示的最佳位置缺乏共识（Stephens、Ellis、Blanton 和 Brizuela，2017 年）。例如，研究表明在小学早期引入函数关系的代数表示有好处（例如，Blanton amp; Kaput，2011）；其他研究表明，如果中年级学生对数量而非（仅）数字关系进行推理，他们的概括和论证会得到加强（例如，Ellis，2007）。国家数学共同核心标准 (CCSSM) 规定了一个中间立场：学生应该表示自变量和因变量之间的定量关系并将这些与六年级的等式联系起来，包括域和范围的概念以及对八年级预期的四种功能表示之间关系的理解（全国州长协会最佳实践中心，首席州立学校官员委员会 [NGA/CCSSO] , 2010)。

图1 函数表示和函数组件

本文中介绍的工作是一项更大研究的一部分，其总体目标是探索六年级学生如何发展对代数表达式和方程的理解 (Moss amp; Lamberg, 2019)。在全班教学实验（Cobb、Confrey、diSessa、Lehrer 和 Schauble，2003 年）的背景下，我们调查了六年级学生如何通过扩展他们的变量概念及其表示来发展对函数的早期理解。该研究的目标是记录和理解六年级学生在教学实验中遇到功能性任务时如何进行数学思考。本文的目的是提出一个已实现的学习轨迹，教师和课程开发人员可以使用它来支持学生理解表示和分析不同表示中自变量和因变量之间的定量关系。

二、理论框架

（一）对应和协变

Smith (2008) 将功能性思维定义为“专注于两个（或多个）不同数量之间关系的表征思维，特别是从特定关系（个体发生率）到跨实例的关系概括的思维类型”（p. 15）。 143)。考虑这个问题，“一群狗的眼睛数量和狗的数量有什么关系？”（布兰顿，2008 年）。在这个问题中，一个量通过特定的对应关系与另一个量直接相关。这个问题的对应关系是对于每只狗，有两只眼睛，或者e= 2d 其中 e 是眼睛的数量，d 是狗的数量。用单词和变量描述这种关系是学生开始更正式学习线性函数的中年级代数研究的重要先驱（Blanton、Levi、Crites 和 Dougherty，2011）。向功能性思维转变的另一个方面是描述关于数量如何一起变化的协变关系。描述这个问题中的协变关系可能涉及这样的推理：“如果我们再向组中添加一只狗，则组中的眼睛数量会增加两只”。

带有鼓励学生进行功能性思维的上下文的单词问题包含明确的场景，这些场景确定并允许问题中的未知量发生变化。用于交流关系的表征会影响学生采用的功能推理（Caddle amp; Brizuela，2011；Duvall，2006）。例如，每只狗眼睛中的变量代数表示 (e=2d) 可能被解释为特定的未知或已知值，而不是根据表示而变化的变量。函数表表示可能将变量表示为已知值，而在代数表示 (e = 2 d) 中，变量被解释为未知值（参见图 2）。

图 2表示函数已知值的表格示例

眼和狗任务提供了推理两个变量之间离散协变的机会。例如，如果将问题更改为“如果 Blake 的游泳速度是 Adrienne 的两倍，那么 Blake 的游泳速度是多少？”，那么问题的上下文将允许变量连续变化，这意味着当一个数量不同时值，它通过假设所有中间值从一个变为另一个 (Saldanha amp; Thompson, 1998; Thompson, 1995)。Thompson 和 Carlson (2017) 基于协变推理提供了以下函数的含义：协变函数是两个同时变化的量的概念，因此它们的值之间存在不变关系，该关系具有这样的特性：在人的概念中，一个量的每个值都恰好决定另一个量的一个值。（第 436 页）。

为了深入理解微积分所需的函数，学生必须开始协调一个连续变化量的变化与另一个连续变化量的变化（Carlson amp; Oehrtman，2005）。

（二）小学阶段的功能性思维

小学数学教师可以通过为孩子提供将变量视为不同数量的机会来帮助支持孩子的功能性思维（Blanton 等，2011）。对未知数量的推理，例如比较等效或非等效数量，最早可以在 3 年级开始（Dougherty，2008 年）。例如，将 A 班的孩子数量与 B 班的孩子数量进行比较，Agt;B，或 Blt;A，或 A=B，促进学生思考平等的性质（学习代数的先决条件）和提供定量推理的实践，这对于理解功能至关重要。根据 Blanton、Brizuela、Gardiner、Sawrey 和 Newman-Owens (2015) 的说法，年轻的小学生可以表示协变量之间的函数规则。国家研究委员会 (2001) 还报告说，小学年级的孩子“可以观察到，随着时间的推移，在不同的环境中，数值数量会以原则性的方式发生变化hellip;hellip;他们可以通过研究一个变量的变化如何反映在他人的行为”（第 280 页）。

（三）功能性思维中的表征流畅性

学习代数包括将符号系统与现实世界的情况、图形和表格或算术模式相关联 (Kirshner, 2001)。此外，中学学生应该知道如何使用代数模型或表示来符号化数量关系（NGA/CCSSO，2010）。将代数问题置于上下文中有助于学生理解数学并支持对抽象表示的概念理解（Earnest amp; Balti，2008）。“随着学生创建和使用符号表达并将它们与语言、表格和图形表示联系起来，对变量的含义和用途的理解逐渐发展”（NCTM，2000，第 225 页）。因此，通过连接最终象征功能关系的连接表示，变量的概念是开发的。

（四）学生对变量的思考

代数研究表明，学生很难将字母解释为代表多个值的变量，研究重点是学生的符号化如何变得更加抽象（Moss amp; Lamberg，2019；国家研究委员会，2001；Radford，2014）。代表未知数或常数的字母用于主要目标是简化或求解的代数方程。在等式中，变量是变量，如 y = x 2一个人可以使用符号来表示一个永远不会变化的量（常数），例如具有随设置变化的值（参数），或具有在设置内变化的值（变量）（Thompson amp; Carlson , 2017)。通常，学生会完全忽略变量（Kuuml;chemann，1978），将变量视为对象或图标的标签（McNeil 等，2010；Stacey amp; Macgregor，1997），并且经常认为变量是特定的未知数（Kuchemann , 1978; Stacey amp; Macgregor, 1997)。这些概念会影响学生的功能性思维。

理解变量的不同含义并不是一个自然的过程。当学生遇到不同的问题类型时，这些问题类型在上下文中嵌入的变量具有不同的含义，他们会感到困惑。因此，明确说明变量的含义有助于学生理解问题上下文并有意义地使用变量来解决问题（Moss amp; Lamberg，2019）。因此，指导本研究的两个研究问题是：(a) 学习函数时出现的已实现学习轨迹是什么？ (b) 学生对变量的概念在功能性思维中的作用是什么？

三、方法

来自美国西部地区城市小学六年级班级的 22 名学生参加了这项研究。学生总共包括 22 名主要是拉丁裔 (a) 学生，年龄在 11 至 12 岁之间。其中女生11人，男生11人。大多数学生来自中低社会经济背景。班主任拥有教育学硕士学位，曾教过五年级和六年级两年。

我们使用设计研究方法在六年级教室进行了为期四个星期的全班教学实验 (Lamberg amp; Middleton, 2009)。设计研究越来越多地用于教育研究，以“处理混乱的情况、多个因变量，并使用灵活的设计修订在社会背景下开发有关特定领域学习过程的理论”（Lamberg amp; Middleton，2009， 233)。设计研究的目标是通过干预解决实践中的问题，并努力通过建立理论和开展系统调查来为他人的工作提供信息（Anderson amp; Shattuck，2012；McKenney amp; Reeves，2013；Walker，2006）。

学生学习的设计可能涉及一些课程计划、单元计划或整个课程。设计

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