本科毕业设计（论文）

外文翻译

小数和无限小数

作者：伍鸿熙

国籍：美国

出处：北京大学出版社

小数

有限小数具有一个完全展开形式，而小数的一般概念是这个完全展开形式的一个自然推广。在所有的小数中，循环小数是非常特别的，因为它们是分数。在本章，我们将证明每一个循环小数都是分数.其逆命题构成下一章的主题。

本章各节安排如下:

带余除法的复习

小数和无限小数

循环小数

41.1带余除法的复习

我们首先回忆一下，如何把一个 有限小数写成“完全展开形式”。 例如，给你一个小数35.2647,我们利用自然数的展开形式（第1.2节和第1.6节）得到

35.2647=

=

=310¹510⁰

这个简单的推理对任意的有限小数适用，因此我们看到，每个有限小数可以可成形如的项的和，其中是个位数，k是一个整数，例如，

0.00004975=

=

对有限小数的这样一个展开称为它的完全展开形式(第14.2节)， 它推广了第1章引入的对一个自然数的展开形式这一概念. 完全展开形式是对自然数的数位概念的一个自然推广。注意到，有限小数的整数部分的每一个数位联系着一个方幂10^k，其中k是自然数，而其小数部分的每一个数位联系着 10^m，其中m是一个负整数。在每一种情形，10的指数就是对应数位的广义位值。有了这个广义数位的概念，有限小数的四则运算现在可以通过自然数的对应运算来理解。例如，在有限小数的加法和减法中将小数点对齐只不过是将同一数位的数字相加减。

我们提请读者注意弄清楚前一段中各个概念的逻辑次序。为了谈论一个有限小数的广义位值，我们首先定义了这个小数的完全展开。因为小数的完全展开是一些分数的和，所以，为确保一个小数的完全展开有意义，我们需要分数加法的概念。这就回到了第二部分反复出现的一个主题，即为了使小数具有数学意义，必须从学习分数开始。在这一背景下，我们来反思“有限小数的广义位值”的通常处理，这种处理没有首先定义小数的完全展开，有时候甚至没有定义什么是分数。我们认识到，这种处理有限小数的方式毫无意义，而且应该不计一切代价避免。当然，这一评论所涉及的是分数和小数的逻辑发展，这些内容我们应当教给五年级以上的学生。我们应该对低年级的学生在货币(美元、美角、美分)的背景下非正式地讨论“有限小数的广义位值”吗?当然可以，只要我们能够让他们知道，对这个问题的讨论将会在后续的学习中，从数学上得到完整的描述。

有限小数的完全展开形式为我们从第1章开始的关于十进制数系的某个方面的讨论画上了句号。我们在那里提到，利用位值我们可以很容易地写出任意大的数。现在我们看到，利用这个形式也可以写出任意小的数，比方说，在n变得任意大时，10^-n变得任意小。对于这一断言的验证，见第40章的练习3。

41.2小数和无限小数

引入有限小数的完全扩展形式有更深层次的原因：它引导得出了小数点的一般概念。让我们从不同的角度去考虑一个有限的小数。如果我们有一个自然数w和一个有限的序列且不全为零的个位数

(每个等于0,1,2, . . .,9其中之一).，然后我们得到一个有限的小数表示为

它的定义如下：

如果 w = 35, n = 4且 = 2, = 6, = 4， = 7, 然后我们得到上面的有限小数为35.2647。现在假设我们有一个自然数w和无限多个不全为零的个位数

可能除了一些个的自然数m，所有的a_{m 1}, a_{m 2}, a_{m 3}, . . .都等于0。在这种情况下，我们可以再次构造一个有限的小数

然而，在一般情况下，a₁, a₂, a₃, . . .中可能有无限个不等于0，所以如果一直写下去可能没有意义，

因为没有'无限数量的数求和'之类的说法。求和仅对有限多个数有意义。然而，我们可以形成相应的有限小数序列，s₁, s₂, s₃, . . .。定义如下：

（41.1）

一系列数字 s₁, s₂, s₃, . . .的标准记号。令人惊讶的是，我们仍然可以从这种情况中得到一个数，因为我们有下面的定理41.1,这是在高等数学中的一般定理。为了对于其陈述，令是任意一个无穷序列（即不一定是一系列有限的小数点，如上面定义的（41.1））。我们称s是的极限，如果当n →时，和s之间的距离（在数轴上的）越来越近。在这种情况下，我们也说序列收敛到s。

在这里，我们涉及到了高等数学，所以我们不能达到所需要的那样精确，例如，我们对“如果当n →时，和s之间的距离（在数轴上的）越来越近”只是在直观意义上给出概念，并没有给出一个精确的定义。此外，我们将要求您不加证明的接受定理 41.1， 41.2 和 41.3。这种省略这些概念和论证的原因是，一方面它们非常可信，另一方面对它们的充分解释要求技术复杂度，不适合中小学生。有了这个理解，我们就有

定理41.1 设 w 是自然数，令是一个由个位数组成的无穷序列。令是由(41.1) 定义的有限小数的无穷序列，则总存在唯一的正数s，作为的极限。

设w和如定理41.1所述，我们定义小数

为由(41.1)定义的有限小数的无穷序列的极限s。如果中不等于零的个位数有无限多个，那么我们有时候称为无限小数以示强调。我们称由（41.1）定义的有限小数的无穷数列为相伴于小数的有限小数序列。

我们看到记号表示的是一个无穷序列 (即序列(41.1))的极限，而不是“一个具有无限多个小数位的小数”。但是，沿袭有限小数的称谓，我们仍旧称a_n为小数的第n个小数位。

作为例子，考虑我们熟悉的 pi; 的小数展开：

pi; = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 ···.

（41.2）

我们现在知道它的含义了，即如果我们引入有限小数的个无穷序列{t_n}使得

一般的， 对任意的正整数n,

tn = （41.2）中的前n位小数构成的有限小数

（41.3）

则pi;是序列{t_n}的极限。

在初一年级的教村中出现的小数， 比方说相伴于小数pi;的无穷序列{t_n}，通常不告诉你它的含义，而只是说“你只需要加越来越多的项”。通常情况下，如果对诸如3.14159....这样一个诱感人的记号不给出足够的信息的话，那么自然就会引起一些毫无意义的激烈争论，例如，为什么0.99999999...= 1?这些争论毫无意义的原因在于，如果我们对事物缺乏清晰的定义就无法讨论数学。如果我们想说两个数0.99999999...和1相等，那么我们首先需要有一个关于数的定义；其次，0.99999999...作为一个数的定义；最后，两个数相等的定义。因为一般的中小学教材并不讨论其中任何一个的定义，所以这些争论便越争越不明。

在这一点上，我们确实具有所有相关的定义。我们来看看为什么两个看起来如此不同的两个数，0.99999999...和1，可以是同一个数。这是因为我们把0.99999999...视为与之相伴的一个有限小数的无穷序列的极限，而不是将它本身视为一个符号0.99999999...，容易看到，序列0.9, 0.99, 0.99, 0.999,0.9999...的极限正是1(请做这个练习)，所以0.99999999...=1。在本章结尾，我们对这个等式还要做进一步的评述。

既然我们已经确定了一个小数是一个数(数轴上的一个点)，我们就要考虑小数的加减乘除四则运算了。这就是说，如果我们采取小数只是一个具有无穷多个小数位的数的形式的观点，我们能像计算自然数和有限小数那样来计算小数吗?通常情况下，回答是否定的，因为无限小数的算术很复杂以至于根本没有简单的规则。理解这一困难的最简单的例子是考虑pi;和某个个位数的乘法。例如，我们来求2pi;的前5位小数.我们知道，pi;= 3.14159265358979323...，如果我们取pi;的前5位小数即3.14159计算，则我们得到23.14159 = 6.28318, 事实上2pi;= 6.2831853071...，我们得到了正确的答案。然而，这个算法在一般情况下仍然正确吗?我们来看看。例如，我们来求9pi;的前5位小数，93.14159 = 28.27431, 而事实上 9pi;= 28.27433882...这次我们在第 5个小数位发现了误差。我们用pi;的前6位小数来计算看是否能更好些：93.141592 = 28.274328,在第5位仍然有误差。结果表明，为了得到9pi;的前5个小数位的准确值，我们必须用pi;的前7个小数位来计算。

一个更能说明问题的例子是计算pi;²。因为标准的乘法是从右边开始，我们遇到的第一个障碍是，pi;有无限多个小数位，所以根本没有“最后一个” 数位.我们通过计算有限小数序列的平方做近似值来绕过这一障碍:

3.142	= 9.8596,
3.1412	= 9.865881,
3.14152	= 9.86902225,
3.141592	= 9.8695877281,
3.1415922	= 9.86960029446,
3.14159262	= 9.86960406437476, etc.

hellip;hellip;

假定我们接受pi;²的下述准确值为

pi;² = 9.869604401089358 ···

与上述准确值比较，我们发现如果要得到pi;²的前4位（9.869），我们只需要计算3.1415²;但是如果我们要得到pi;²的前7位（9.869604），我们需要计算3.1415926²。

现在设想我们要计算，其中A，B，C，D都是无限小数。如何保证得到一个准确到前100个小数位。这将是一个噩梦现在你可以看到，不存在像计算自然数那

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本科毕业设计（论文）

外文翻译

小数和无限小数

作者：伍鸿熙

国籍：美国

出处：北京大学出版社

小数

有限小数具有一个完全展开形式，而小数的一般概念是这个完全展开形式的一个自然推广。在所有的小数中，循环小数是非常特别的，因为它们是分数。在本章，我们将证明每一个循环小数都是分数.其逆命题构成下一章的主题。

本章各节安排如下:

带余除法的复习

小数和无限小数

循环小数

41.1带余除法的复习

我们首先回忆一下，如何把一个 有限小数写成“完全展开形式”。 例如，给你一个小数35.2647,我们利用自然数的展开形式（第1.2节和第1.6节）得到

35.2647=

=

=310¹510⁰

这个简单的推理对任意的有限小数适用，因此我们看到，每个有限小数可以可成形如的项的和，其中是个位数，k是一个整数，例如，

0.00004975=

=

对有限小数的这样一个展开称为它的完全展开形式(第14.2节)， 它推广了第1章引入的对一个自然数的展开形式这一概念. 完全展开形式是对自然数的数位概念的一个自然推广。注意到，有限小数的整数部分的每一个数位联系着一个方幂10^k，其中k是自然数，而其小数部分的每一个数位联系着 10^m，其中m是一个负整数。在每一种情形，10的指数就是对应数位的广义位值。有了这个广义数位的概念，有限小数的四则运算现在可以通过自然数的对应运算来理解。例如，在有限小数的加法和减法中将小数点对齐只不过是将同一数位的数字相加减。

我们提请读者注意弄清楚前一段中各个概念的逻辑次序。为了谈论一个有限小数的广义位值，我们首先定义了这个小数的完全展开。因为小数的完全展开是一些分数的和，所以，为确保一个小数的完全展开有意义，我们需要分数加法的概念。这就回到了第二部分反复出现的一个主题，即为了使小数具有数学意义，必须从学习分数开始。在这一背景下，我们来反思“有限小数的广义位值”的通常处理，这种处理没有首先定义小数的完全展开，有时候甚至没有定义什么是分数。我们认识到，这种处理有限小数的方式毫无意义，而且应该不计一切代价避免。当然，这一评论所涉及的是分数和小数的逻辑发展，这些内容我们应当教给五年级以上的学生。我们应该对低年级的学生在货币(美元、美角、美分)的背景下非正式地讨论“有限小数的广义位值”吗?当然可以，只要我们能够让他们知道，对这个问题的讨论将会在后续的学习中，从数学上得到完整的描述。

有限小数的完全展开形式为我们从第1章开始的关于十进制数系的某个方面的讨论画上了句号。我们在那里提到，利用位值我们可以很容易地写出任意大的数。现在我们看到，利用这个形式也可以写出任意小的数，比方说，在n变得任意大时，10^-n变得任意小。对于这一断言的验证，见第40章的练习3。

41.2小数和无限小数

引入有限小数的完全扩展形式有更深层次的原因：它引导得出了小数点的一般概念。让我们从不同的角度去考虑一个有限的小数。如果我们有一个自然数w和一个有限的序列且不全为零的个位数

(每个等于0,1,2, . . .,9其中之一).，然后我们得到一个有限的小数表示为

它的定义如下：

如果 w = 35, n = 4且 = 2, = 6, = 4， = 7, 然后我们得到上面的有限小数为35.2647。现在假设我们有一个自然数w和无限多个不全为零的个位数

可能除了一些个的自然数m，所有的a_{m 1}, a_{m 2}, a_{m 3}, . . .都等于0。在这种情况下，我们可以再次构造一个有限的小数

然而，在一般情况下，a₁, a₂, a₃, . . .中可能有无限个不等于0，所以如果一直写下去可能没有意义，

因为没有'无限数量的数求和'之类的说法。求和仅对有限多个数有意义。然而，我们可以形成相应的有限小数序列，s₁, s₂, s₃, . . .。定义如下：

（41.1）

一系列数字 s₁, s₂, s₃, . . .的标准记号。令人惊讶的是，我们仍然可以从这种情况中得到一个数，因为我们有下面的定理41.1,这是在高等数学中的一般定理。为了对于其陈述，令是任意一个无穷序列（即不一定是一系列有限的小数点，如上面定义的（41.1））。我们称s是的极限，如果当n →时，和s之间的距离（在数轴上的）越来越近。在这种情况下，我们也说序列收敛到s。

在这里，我们涉及到了高等数学，所以我们不能达到所需要的那样精确，例如，我们对“如果当n →时，和s之间的距离（在数轴上的）越来越近”只是在直观意义上给出概念，并没有给出一个精确的定义。此外，我们将要求您不加证明的接受定理 41.1， 41.2 和 41.3。这种省略这些概念和论证的原因是，一方面它们非常可信，另一方面对它们的充分解释要求技术复杂度，不适合中小学生。有了这个理解，我们就有

定理41.1 设 w 是自然数，令是一个由个位数组成的无穷序列。令是由(41.1) 定义的有限小数的无穷序列，则总存在唯一的正数s，作为的极限。

设w和如定理41.1所述，我们定义小数

为由(41.1)定义的有限小数的无穷序列的极限s。如果中不等于零的个位数有无限多个，那么我们有时候称为无限小数以示强调。我们称由（41.1）定义的有限小数的无穷数列为相伴于小数的有限小数序列。

我们看到记号表示的是一个无穷序列 (即序列(41.1))的极限，而不是“一个具有无限多个小数位的小数”。但是，沿袭有限小数的称谓，我们仍旧称a_n为小数的第n个小数位。

作为例子，考虑我们熟悉的 pi; 的小数展开：

pi; = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 ···.

（41.2）

我们现在知道它的含义了，即如果我们引入有限小数的个无穷序列{t_n}使得

一般的， 对任意的正整数n,

tn = （41.2）中的前n位小数构成的有限小数

（41.3）

则pi;是序列{t_n}的极限。

在初一年级的教村中出现的小数， 比方说相伴于小数pi;的无穷序列{t_n}，通常不告诉你它的含义，而只是说“你只需要加越来越多的项”。通常情况下，如果对诸如3.14159....这样一个诱感人的记号不给出足够的信息的话，那么自然就会引起一些毫无意义的激烈争论，例如，为什么0.99999999...= 1?这些争论毫无意义的原因在于，如果我们对事物缺乏清晰的定义就无法讨论数学。如果我们想说两个数0.99999999...和1相等，那么我们首先需要有一个关于数的定义；其次，0.99999999...作为一个数的定义；最后，两个数相等的定义。因为一般的中小学教材并不讨论其中任何一个的定义，所以这些争论便越争越不明。

在这一点上，我们确实具有所有相关的定义。我们来看看为什么两个看起来如此不同的两个数，0.99999999...和1，可以是同一个数。这是因为我们把0.99999999...视为与之相伴的一个有限小数的无穷序列的极限，而不是将它本身视为一个符号0.99999999...，容易看到，序列0.9, 0.99, 0.99, 0.999,0.9999...的极限正是1(请做这个练习)，所以0.99999999...=1。在本章结尾，我们对这个等式还要做进一步的评述。

既然我们已经确定了一个小数是一个数(数轴上的一个点)，我们就要考虑小数的加减乘除四则运算了。这就是说，如果我们采取小数只是一个具有无穷多个小数位的数的形式的观点，我们能像计算自然数和有限小数那样来计算小数吗?通常情况下，回答是否定的，因为无限小数的算术很复杂以至于根本没有简单的规则。理解这一困难的最简单的例子是考虑pi;和某个个位数的乘法。例如，我们来求2pi;的前5位小数.我们知道，pi;= 3.14159265358979323...，如果我们取pi;的前5位小数即3.14159计算，则我们得到23.14159 = 6.28318, 事实上2pi;= 6.2831853071...，我们得到了正确的答案。然而，这个算法在一般情况下仍然正确吗?我们来看看。例如，我们来求9pi;的前5位小数，93.14159 = 28.27431, 而事实上 9pi;= 28.27433882...这次我们在第 5个小数位发现了误差。我们用pi;的前6位小数来计算看是否能更好些：93.141592 = 28.274328,在第5位仍然有误差。结果表明，为了得到9pi;的前5个小数位的准确值，我们必须用pi;的前7个小数位来计算。

一个更能说明问题的例子是计算pi;²。因为标准的乘法是从右边开始，我们遇到的第一个障碍是，pi;有无限多个小数位，所以根本没有“最后一个” 数位.我们通过计算有限小数序列的平方做近似值来绕过这一障碍:

3.142	= 9.8596,
3.1412	= 9.865881,
3.14152	= 9.86902225,
3.141592	= 9.8695877281,
3.1415922	= 9.86960029446,
3.14159262	= 9.86960406437476, etc.

hellip;hellip;

假定我们接受pi;²的下述准确值为

pi;² = 9.869604401089358 ···

与上述准确值比较，我们发现如果要得到pi;²的前4位（9.869），我们只需要计算3.1415²;但是如果我们要得到pi;²的前7位（9.869604），我们需要计算3.1415926²。

现在设想我们要计算，其中A，B，C，D都是无限小数。如何保证得到一个准确到前100个小数位。这将是一个噩梦现在你可以看到，不存在像计算自然数那

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