本科毕业设计（论文）

外文翻译

数学家讲解小学数学

作者：伍鸿熙

国籍：美国

出处：首都师范大学数学教育丛书

中文译文：
定义了比例之后，我们来讨论“比率”的话题给定两个量M和N,使得它们是不 同类型的，也就是说，它们是不同数轴上的两个点（例如，M表示给定时间段内行驶的总路程，则M是单位为1米（或1千米，等等）的数轴上的一个点，而N表示时间段的长度，则N是单位为1分钟（或1小时，等等）的数轴上的一个点)那么除非把M和N置于同一数轴没什么意义。通过让两个数轴的单位等同，我们可以做到这一点。这样操作之后，否则除法称为比率.注意到我们曾经做过这样的等同，比如分数乘法的定义（参见第17章中的介绍)和第18.3节中给定时间段内平均速度的定义.
“比率”是一种除法，除了这个事实以外，没有什么其他需要讲的，比方说，如果我要你们回到第18章去查找第18.3应用一节中有关匀速运动的讨论，出于后见之明，你会发现我们对匀速运动做出的每一个论断都是关于比率的，并且我们还根本没有讨论过什么是“比率”.这就给了你足够的信心，让你可以忽略除了“比率”是一种除法以外的所有不必要的冗余.

“比率”问题的一些典型例子正是与匀速运动有关.回忆起一个运动为匀速运动是指，如果存在常数v,使得在任意时间长度T内，物体运动过的路程D满足
=常数v.
因为在第18章中我们已经花了很长的篇幅讨论速度问题，所以下面将讨论一些

其他的问题.

与匀速运动相关，最常见的一个比率问题是水以某个固定的速率流动.由于这总是数学中的例子，所以我们在开始解决问题之前必须对一些常用的术语赋予意义.水以某个固定的速率流动，这个概念与匀速运动太相似了，我们将省去一切初等的讨论，直奔重点.设想在时间t分钟内共有w加仑的水流出水龙头.我们称在时间t内水流的平均速率为

水流速率的单位是加仑每分钟，或缩写为加仑/分钟.根据定义，并沿用前面使用过的记号，如果存在一个固定的数r,使得对于任意时间段t,商总是等于数r,则称水流的速率是常数.在这种情况下，水流的速率的意思就不模糊了：r加仑/分钟.进一步说，1分钟内从水龙头里流出的水恰为r加仑.因为如果在任意给定的1分钟内从水龙头里流出的水量为s加仑，那么在这1分钟内水流的平均速率等于r，所以r = = s.
在此强调，对解决比率问题的兴趣不仅在问题本身，而且在解题过程中的精确推理中，我们想说明，如果比率是常数的概念得以清楚地说明和理解，那么在解题的过程中不会有任何怀疑和难以理解的地方.
因此，以下讨论的主要目的是希望引起大家注意，在解决具体问题之前，比率（运动、水流或工作的速率等)是常数这一概念在中小学数学课堂上需要解释清楚.事实上，这一需要非常迫切.
问题4 一个水龙头完全打开（水流的速率是常数）后，经过25秒可以充满一个容积为3号立方英尺的容器.若以同样的速率，要充满另一个容积为11立方英尺的水箱要用多长时间？
可能大多数人知道怎么做这个问题，而且可能大多数人会用“建立比例关系”的方法来做.在此讨论问题4的原因正是要分析这一机械的方法并演示如何通过数学推理解决这种问题.

设经过t秒可以充满水箱，并设水流的速率（常数）为r立方英尺/秒，则可知

根据已知

比较这两个等式，得出

解出等式.因此要充满水箱需要花8秒。
如今，解这类问题的标准方法强调要像(22.2)一样“建立比例关系”，但是建立这个等式的原因却几乎没有给出.一届又一届的学生都觉得这种建立比例关系的方法很神秘.但是我们清楚地看到，这种方法没什么神秘的.如果我们假设水流的速率为常数，那么等式(22.2)是这个假设的一个非常自然的结果.所以作为一名教师，你不仅必须向学生解释水流的速率为常数是什么意思，而且还要说明当解决比率问题时，这个已知条件怎么去用。特别的，请再也不要不经任何解释就让学生建立比例关系，不要再浪费时间做这种无用功了！
问题5用一个水龙头给木桶注水，水流的速率为常数，注满木桶需要用15分钟.

如果水流的速率减小了原来的15%，请问这时住满水桶需要用多少分钟？

为了解决这个问题，我们需要更清楚地解释一下已知是什么，以及如何用符号语言重新表述需要的结论.首先，如果我们用V表示15分钟内水龙头流出的水的总量（单位是加仑），那么V恰好是木桶的容积。在这个15分钟内水流的平均速率是号V/15加仑/分钟，而已知从这个水龙头流出水的速率为常数，因此，如果用r加仑/分钟表示这个速率，那么r=V/15.现在假设水流的速率为(85％)r加仑/分钟，并且从水龙头里流出V加仑水（即流满木桶）需要t分钟，那么我们也有

于是立即得到

但是我们有r=,所以

所似等式两边同时乘以 得

根据交叉相乘法可知85t=1500，于是我们得到

显然，由类似的论证也能得出，假设水流的速率是常数，流满一个木桶需要31分钟，如果把水流的速率减小原来的25％，那么要用3100分钟才能流满木桶.用同样的方法，我们得到解决所有这类问题的一个一般算法，具体方法如下.我们总假设水流的速率是常数，流满一个木桶需要k分钟，如果把水流的速率减小为原来的N％，那么流满同一个木桶需要
在小学课堂上讲的正是这种算法，但是附带了各种各样的启发式的讨论来解释它为什么正确.然而，我们的推理过程清楚地说明了，如果理解了水流的速率是常数的意思，那么这一算法就是它的直接推论，而且没有必要死记这个算法.这就是我们想反复强调的事实。
动动手 苏尼尔以r平方英尺/分钟的恒定速率割草（意思是说，如果他在某个时间段t分钟内割草A平方英尺，那么对于任意t，商A/t恒等于r)，他在15分钟内割完了某一块草坪.如果他的割草速度降低为85％r平方英尺/分钟，请问割同一块草坪他需要花多少分钟？

附：外文原文

Having defined ratio, we now approach the topic of “rate”. Let two quantities M and N be given, so that they are now of different types, which means they are points on different number lines (such as M being the total distance traveled in a given time duration so that it is a point on a number line whose unit is one foot, one mile, etc., and N is the length of the time duration in question so that N is a point on another number line whose unit is one minute, one hour, etc.) Then the division M N will not make any sense unless M and N can be put on the same number line. This we can do by identifying the units on these number lines. That done, the division M N is called a rate. Note that we have done this kind of identification before, e.g., in the definition of the multiplication of fractions (see the introduction of Chapter 17) and in the definition of average speed in a given time interval in section 18.3, page 292. Beyond the fact that a “rate” is a division, there is nothing more that needs to be said. For example, if we ask you to go back to Chapter 18 to look over the discussion of constant speed in section 18.3, Applications, you will see with hindsight that every statement we made about motions of constant speed is a statement about “rate”, and yet we never once discussed what a “rate” was. That should give you the confidence to ignore all the verbiage that goes with “rate” beyond the fact that it is a division. The prototypical examples of a “rate” problem are those about constant speed. Recall that a motion is of constant speed if there is a constant v so that, for any time interval of length T, the distance D traveled during this time interval satisfies

the constant v.

As we have already devoted long passages to a discussion of speed problems in Chapter 18, we will turn to some other variations on this theme here.

Next to constant speed, the most common example of a rate problem is one about water flow at constant rate. As is always the case in mathematics, we have to make sense of the terminology before we can embark on solving problems. The concept of water flowing at a constant rate is so similar to that of a motion of constant speed that we will dispense with all preliminary discussions and come straight to the point. Suppose during a time interval of t minutes, a total of w gallons of water comes out of the faucet. We say the average rate of water flow in the time interval of t minutes is

The unit of the rate is gallons per minute, or in abbreviation, gal/min. By definition, the rate of the water flow is constant if, using notation as above, there is a fixed number r so that the quotient is always equal to r for any time interval t. In this case, the meaning of the rate of the water flow is unambiguous: it is r gal/min. Furthermore, the amount of water coming out of the faucet in any 1-minute interval is exactly r gallons, because if the amount of water that comes out of the faucet in any given 1-minute inte

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

本科毕业设计（论文）

外文翻译

数学家讲解小学数学

作者：伍鸿熙

国籍：美国

出处：首都师范大学数学教育丛书

中文译文：
定义了比例之后，我们来讨论“比率”的话题给定两个量M和N,使得它们是不 同类型的，也就是说，它们是不同数轴上的两个点（例如，M表示给定时间段内行驶的总路程，则M是单位为1米（或1千米，等等）的数轴上的一个点，而N表示时间段的长度，则N是单位为1分钟（或1小时，等等）的数轴上的一个点)那么除非把M和N置于同一数轴没什么意义。通过让两个数轴的单位等同，我们可以做到这一点。这样操作之后，否则除法称为比率.注意到我们曾经做过这样的等同，比如分数乘法的定义（参见第17章中的介绍)和第18.3节中给定时间段内平均速度的定义.
“比率”是一种除法，除了这个事实以外，没有什么其他需要讲的，比方说，如果我要你们回到第18章去查找第18.3应用一节中有关匀速运动的讨论，出于后见之明，你会发现我们对匀速运动做出的每一个论断都是关于比率的，并且我们还根本没有讨论过什么是“比率”.这就给了你足够的信心，让你可以忽略除了“比率”是一种除法以外的所有不必要的冗余.

“比率”问题的一些典型例子正是与匀速运动有关.回忆起一个运动为匀速运动是指，如果存在常数v,使得在任意时间长度T内，物体运动过的路程D满足
=常数v.
因为在第18章中我们已经花了很长的篇幅讨论速度问题，所以下面将讨论一些

其他的问题.

与匀速运动相关，最常见的一个比率问题是水以某个固定的速率流动.由于这总是数学中的例子，所以我们在开始解决问题之前必须对一些常用的术语赋予意义.水以某个固定的速率流动，这个概念与匀速运动太相似了，我们将省去一切初等的讨论，直奔重点.设想在时间t分钟内共有w加仑的水流出水龙头.我们称在时间t内水流的平均速率为

水流速率的单位是加仑每分钟，或缩写为加仑/分钟.根据定义，并沿用前面使用过的记号，如果存在一个固定的数r,使得对于任意时间段t,商总是等于数r,则称水流的速率是常数.在这种情况下，水流的速率的意思就不模糊了：r加仑/分钟.进一步说，1分钟内从水龙头里流出的水恰为r加仑.因为如果在任意给定的1分钟内从水龙头里流出的水量为s加仑，那么在这1分钟内水流的平均速率等于r，所以r = = s.
在此强调，对解决比率问题的兴趣不仅在问题本身，而且在解题过程中的精确推理中，我们想说明，如果比率是常数的概念得以清楚地说明和理解，那么在解题的过程中不会有任何怀疑和难以理解的地方.
因此，以下讨论的主要目的是希望引起大家注意，在解决具体问题之前，比率（运动、水流或工作的速率等)是常数这一概念在中小学数学课堂上需要解释清楚.事实上，这一需要非常迫切.
问题4 一个水龙头完全打开（水流的速率是常数）后，经过25秒可以充满一个容积为3号立方英尺的容器.若以同样的速率，要充满另一个容积为11立方英尺的水箱要用多长时间？
可能大多数人知道怎么做这个问题，而且可能大多数人会用“建立比例关系”的方法来做.在此讨论问题4的原因正是要分析这一机械的方法并演示如何通过数学推理解决这种问题.

设经过t秒可以充满水箱，并设水流的速率（常数）为r立方英尺/秒，则可知

根据已知

比较这两个等式，得出

解出等式.因此要充满水箱需要花8秒。
如今，解这类问题的标准方法强调要像(22.2)一样“建立比例关系”，但是建立这个等式的原因却几乎没有给出.一届又一届的学生都觉得这种建立比例关系的方法很神秘.但是我们清楚地看到，这种方法没什么神秘的.如果我们假设水流的速率为常数，那么等式(22.2)是这个假设的一个非常自然的结果.所以作为一名教师，你不仅必须向学生解释水流的速率为常数是什么意思，而且还要说明当解决比率问题时，这个已知条件怎么去用。特别的，请再也不要不经任何解释就让学生建立比例关系，不要再浪费时间做这种无用功了！
问题5用一个水龙头给木桶注水，水流的速率为常数，注满木桶需要用15分钟.

如果水流的速率减小了原来的15%，请问这时住满水桶需要用多少分钟？

为了解决这个问题，我们需要更清楚地解释一下已知是什么，以及如何用符号语言重新表述需要的结论.首先，如果我们用V表示15分钟内水龙头流出的水的总量（单位是加仑），那么V恰好是木桶的容积。在这个15分钟内水流的平均速率是号V/15加仑/分钟，而已知从这个水龙头流出水的速率为常数，因此，如果用r加仑/分钟表示这个速率，那么r=V/15.现在假设水流的速率为(85％)r加仑/分钟，并且从水龙头里流出V加仑水（即流满木桶）需要t分钟，那么我们也有

于是立即得到

但是我们有r=,所以

所似等式两边同时乘以 得

根据交叉相乘法可知85t=1500，于是我们得到

显然，由类似的论证也能得出，假设水流的速率是常数，流满一个木桶需要31分钟，如果把水流的速率减小原来的25％，那么要用3100分钟才能流满木桶.用同样的方法，我们得到解决所有这类问题的一个一般算法，具体方法如下.我们总假设水流的速率是常数，流满一个木桶需要k分钟，如果把水流的速率减小为原来的N％，那么流满同一个木桶需要
在小学课堂上讲的正是这种算法，但是附带了各种各样的启发式的讨论来解释它为什么正确.然而，我们的推理过程清楚地说明了，如果理解了水流的速率是常数的意思，那么这一算法就是它的直接推论，而且没有必要死记这个算法.这就是我们想反复强调的事实。
动动手 苏尼尔以r平方英尺/分钟的恒定速率割草（意思是说，如果他在某个时间段t分钟内割草A平方英尺，那么对于任意t，商A/t恒等于r)，他在15分钟内割完了某一块草坪.如果他的割草速度降低为85％r平方英尺/分钟，请问割同一块草坪他需要花多少分钟？

附：外文原文

Having defined ratio, we now approach the topic of “rate”. Let two quantities M and N be given, so that they are now of different types, which means they are points on different number lines (such as M being the total distance traveled in a given time duration so that it is a point on a number line whose unit is one foot, one mile, etc., and N is the length of the time duration in question so that N is a point on another number line whose unit is one minute, one hour, etc.) Then the division M N will not make any sense unless M and N can be put on the same number line. This we can do by identifying the units on these number lines. That done, the division M N is called a rate. Note that we have done this kind of identification before, e.g., in the definition of the multiplication of fractions (see the introduction of Chapter 17) and in the definition of average speed in a given time interval in section 18.3, page 292. Beyond the fact that a “rate” is a division, there is nothing more that needs to be said. For example, if we ask you to go back to Chapter 18 to look over the discussion of constant speed in section 18.3, Applications, you will see with hindsight that every statement we made about motions of constant speed is a statement about “rate”, and yet we never once discussed what a “rate” was. That should give you the confidence to ignore all the verbiage that goes with “rate” beyond the fact that it is a division. The prototypical examples of a “rate” problem are those about constant speed. Recall that a motion is of constant speed if there is a constant v so that, for any time interval of length T, the distance D traveled during this time interval satisfies

the constant v.

As we have already devoted long passages to a discussion of speed problems in Chapter 18, we will turn to some other variations on this theme here.

Next to constant speed, the most common example of a rate problem is one about water flow at constant rate. As is always the case in mathematics, we have to make sense of the terminology before we can embark on solving problems. The concept of water flowing at a constant rate is so similar to that of a motion of constant speed that we will dispense with all preliminary discussions and come straight to the point. Suppose during a time interval of t minutes, a total of w gallons of water comes out of the faucet. We say the average rate of water flow in the time interval of t minutes is

The unit of the rate is gallons per minute, or in abbreviation, gal/min. By definition, the rate of the water flow is constant if, using notation as above, there is a fixed number r so that the quotient is always equal to r for any time interval t. In this case, the meaning of the rate of the water flow is unambiguous: it is r gal/min. Furthermore, the amount of water coming out of the faucet in any 1-minute interval is exactly r gallons, because if the amount of water that comes out of the faucet in any given 1-minute inte

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[596280]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word