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翻译：

简介：

MATLAB 是一个科学计算平台，可以在实验科学、工程、数学和金融解决方案的几乎所有领域工作。 从逻辑上讲，该软件允许您通过各种命令和功能在数学分析领域工作。 MATLAB 数学分析是对这些命令的参考，并简要讨论了如何解决非常广泛的问题。 它不是关于 MATLAB 的教程，但 MATLAB 的用户应该能够轻松地阅读本书并查找各种类型的问题或命令，并查看它们如何工作的快速示例。 这本书涵盖了广泛的内容，因此它是查找您可能不知道的新功能、主题或命令的好地方。

本书首先向读者介绍了在 MATLAB 环境中使用所有类型和基数、运算符、变量和函数的数字。 然后它深入研究复杂变量的工作。 很大一部分致力于开发曲线、体积和曲面的图形表示。 MATLAB 函数允许在显式、隐式、参数和极坐标中处理二维和三维图形、统计图、曲线和曲面。额外的工作实现了扭曲曲线、曲面、网格、轮廓、体积和图形插值。

向量和矩阵是 MATLAB 的一个主要特性，因此随着主题的出现，它们在整本书中都会被处理，并包括许多领域的应用。

以下内容块开发了极限和函数、连续性以及数值和幂级数的计算。 然后在一个和几个变量中解决可微性问题，包括矢量场的微分定理。

它继续解决一个或多个变量的积分，以及多个积分及其应用。 最后处理微分方程及其一些应用。

MATLAB 数学分析为查找命令提供了广泛的资源。 与大多数参考文献不同，它可以从头到尾阅读，并且跳入章节查找不是问题。 所以这本书的一个方面是它的灵活性，另一个主要好处是覆盖面的广度。

在像 MATLAB 这样的程序中，总是需要注意大写和小写字母之间的区别、括号或方括号的类型、输入中使用的空格数量以及您选择的标点符号（例如，逗号、分号）。 不同的用途会产生不同的结果。 我们现在将讨论一般规则。运行 MATLAB 的任何输入都应写入标题的右侧（提示用户输入“gt;gt;”）。 然后，您会在输入下方的行中获得响应。

当在命令窗口中向 MATLAB 提出输入但未引用变量来收集结果时，MATLAB 使用表达式 ans= 返回响应。

如果在输入的末尾加上一个分号，程序运行计算并将它们保存在内存（工作区）中，但不会在屏幕上显示结果（参见图 1-3 中的第一个输入作为 例子）。

输入提示出现“gt;gt;”，表示可以输入新条目。

如果您输入并定义了一个可以计算的变量，那么您可以将该变量用作后续条目的参数。 图 1-3 中的变量 v 就是这种情况，它随后被用作指数函数的输入。

与 C 编程语言一样，MATLAB 对大小写字母的区别很敏感； 例如，“Sin (x)”与“sin (x)”不同。 所有内置函数的名称都以小写字母开头。

超过一个字母的符号名称或函数名称中不应有空格。 在其他情况下，空格会被简单地忽略。 在某些情况下可以使用它们使输入更具可读性。 也可以在同一行命令中使用多个条目，以逗号分隔。 在这种情况下，在最后一个条目的末尾按 Enter（见图 1-4）。 如果您在该行的一个条目的末尾使用分号，如前所述，其相应的输出将被忽略。

可以通过以“%”符号开头的注释在命令输入行中输入描述性注释。

当您运行输入时，MATLAB 会忽略 % 符号右侧的其余行： gt;gt; L = log (123) % L 是自然对数 L = 4.8122 gt;gt; 为了简化要评估的脚本的引入 通过 MATLAB 解释器（通过命令窗口），您可以使用箭头计算机键。 例如，如果您按一次向上箭头，MATLAB 将恢复在 MATLAB 中提交的最后一个条目。 如果您按两次向上箭头键，MATLAB 将恢复先前提交的条目，依此类推。

这可以为您省去重新输入复杂公式的麻烦。

同样，如果您在输入区域中键入一个字符序列，然后单击向上箭头，MATLAB 会恢复以指定字符串开头的最后一个条目。

在 MATLAB 会话期间输入的命令会临时存储在缓冲区（工作区）中，直到您结束与程序的会话，此时它们可以永久存储在文件中，或者永久丢失。

以下是 MATLAB（命令行）输入区域中可以使用的键及其功能的摘要： 向上箭头 (Ctrl-P) 检索上一行。

向下箭头 (Ctrl-N) 检索以下条目。

向左箭头 (Ctrl-B) 将光标移到左侧，一个字符。

向右箭头 (Ctrl-F) 将光标移到右侧，一个字符。

CTRL-向左箭头 将光标移到左边，一个单词。

CTRL-箭头向右 将光标向右移动，一个单词。

Home (Ctrl-A) 将光标移至行首。

End (Ctrl-E) 将光标移到当前行的末尾。

Exhaust 清除命令行。

删除 (Ctrl-D) 删除光标指示的字符。

BACKSPACE 删除光标左侧的字符。

CTRL-K 删除所有当前行。

命令 clc 清除命令窗口，但不删除工作区的内容（该内容保留在内存中）。

使用 MATLAB 进行符号计算 MATLAB 可以轻松快速地处理符号数学计算、操作公式和代数表达式，并且可以使用它们执行大多数操作。 您可以扩展、分解和简化多项式、有理和三角表达式，您可以找到多项式方程和方程组的代数解，可以符号地计算导数和积分，并找到微分方程的函数解，您可以操纵幂、极限和许多 代数数学系列的其他方面。

要执行此任务，MATLAB 要求将所有变量（或代数表达式）写在单引号之间，以将它们与数值解区分开来。当 MATLAB 接收带引号的变量或表达式时，它被认为是符号的。

另一方面，MATLAB 可以使用 Maple V 程序的库来处理符号数学，从而可以扩展其应用领域。通过这种方式，您可以使用 MATLAB 解决包括微分形式、欧几里得几何、射影几何、统计等领域的问题。

同时，您还可以使用MATLAB 库和Maple 库（组合、优化、数论等）扩展数值计算的选项。

使用 MATLAB 绘制图形：

MATLAB 可生成二维和三维图形，以及轮廓和密度图。 您可以在 MATLAB 中表示图形并列出数据。 MATLAB 允许您控制颜色、阴影和其他图形功能，还支持动画图形。MATLAB生成的图形可移植到其他程序。

请注意此示例中第二行中的点（句点）。这些不是小数点，因此不应混淆。 这些表明，如果您正在使用向量或矩阵，则需要将以下运算符应用于向量或矩阵的每个元素。 举个简单的例子，让我们使用 x .*3。 如果 x 是矩阵，则 x 的所有元素都应乘以 3。同样，请注意避免与小数点混淆。 例如，有时将 0.6 表示为 0.6 是明智的。

MATLAB和编程：

通过将 MATLAB 中定义的所有对象与程序中定义的工作规则适当地组合起来，您可以构建有用的数学研究编程代码。 程序通常由一系列指令组成，在这些指令中计算值、分配名称并在进一步计算中重复使用。

与 C 或 Fortran 等编程语言一样，在 MATLAB 中，您可以编写带有循环、控制流和条件的程序。在 MATLAB 中，您可以编写过程程序（即，定义要运行的一系列标准步骤）。

与在 C 或 Pascal 中一样，Do、For 或 While 循环可用于重复计算。 MATLAB 的语言还包括条件结构，例如 If Then Else。 MATLAB 还支持逻辑函数，例如 And、Or、Not 和 Xor。

MATLAB 支持过程式编程（迭代、递归、循环hellip;hellip;）、函数式编程和面向对象的编程。下面是两个简单的程序示例。 第一个生成 n 阶希尔伯特矩阵，第二个计算斐波那契数.

数字、运算符、变量和函数 数字 MATLAB 的数值范围非常广泛。 整数、有理数、实数和复数，它们又可以是函数的参数，从而产生完整的、有理的、实数和复数的函数。 因此，复变量在 MATLAB 中是可处理的字段。 本章将介绍 MATLAB 的基本功能。

MATLAB 中的算术运算是根据标准数学约定定义的。

MATLAB 执行算术运算就好像它是一个传统的计算器，但在计算中具有完全的精度。 所呈现的操作结果对于默认值或用户规定的精确度是准确的。 但这只会影响演示文稿。 MATLAB 与其他由计算机的字长决定精度的数值计算程序的区别在于，MATLAB 的计算精度是无限的。 MATLAB 可以以所需的精度表示结果，尽管在内部它总是使用精确的计算来避免舍入误差。 MATLAB 提供不同的近似表示格式，有时有助于解释结果。

整数和整数变量函数 MATLAB 使用整数和精确整数变量函数。 无论结果的呈现形式如何，计算都是准确的。 无论如何，命令 vpa 允许具有所需精度的精确输出。

在带整数变量的函数方面，MATLAB 最重要的包括如下（引号之间的表达式有格式字符串）：

实数和实变量的函数

有理数的形式为 p/q，其中 p 是整数，q 是另一个整数。 MATLAB 处理有理数的方式与大多数计算器不同。 有理数是整数的比率，MATLAB 也可以使用它们，因此涉及有理数的表达式的结果始终是另一个有理数或整数。 因此，有必要使用命令 format rat 激活此格式。 但如果用户希望通过激活任何其他类型的格式（例如短格式或长格式），MATLAB 也会返回带有小数的解。 我们考虑以下示例：

MATLAB 将有理数处理为整数的比率，并在计算过程中保持这种形式。 通过这种方式，舍入误差不会被拖入带有分数的计算中，这可能会变得非常严重，正如误差理论所证明的那样。 一旦以有理格式启用，使用有理数的操作将是精确的，直到启用另一种不同的格式。 启用有理格式后，浮点数或带小数点的数字将被解释为精确的，而 MATLAB 在有理表达式如何用有理数的结果表示时是精确的。 同时，如果有理表达式中存在无理数，MATLAB 会保留有理形式的数，以便以有理形式给出解。 我们考虑以下示例：

MATLAB 还可以使用无理数以更高的精度或用户要求的精度来表示结果，请记住，无理数不能精确地表示为两个整数的比率。 下面是一个例子.

三角函数 下面是包含在 MATLAB 中的三角函数及其反函数的表格，并附有示例.

双曲函数 下面是包含在 MATLAB 中的双曲函数及其反函数的表格，并附有示例.

一维、向量和矩阵变量 MATLAB 是基于矩阵语言的软件，因此特别关注处理数组的任务。

定义变量的初始方法非常简单。 只需使用以下语法：

复数和复数函数

复数：

复数在 MATLAB 中很容易以标准二进制形式 a bi 或 a bj 实现，其中符号 i 或 j 表示虚数单位。 没有必要在虚数单位之前包含产品符号（星号），但如果包含它，一切仍将正常工作。 然而，重要的是不要在虚数单位和它的系数之间引入空格。

复数可以具有符号实部或虚部，并且可以以使用命令格式设置的任何精度模式对复数进行运算。 因此，可以通过命令格式 rat 以精确的有理格式处理复数。

常见的运算（和、差、积、除和幂）以通常的方式对复数执行。 示例如图 3-1 所示.

MATLAB 中的图形。 曲线、曲面和体积 简介

MATLAB 是实现高性能图形的科学软件。 它允许您创建探索性数据的二维和三维图形，在显式、隐式和极坐标中绘制曲线，在显式、隐式或参数坐标中绘制曲面，绘制网格和等高线图，表示各种几何对象并创建其他专业 图形。

您可以自由调整图形参数，选择框架和定位、线特征、标记、轴限制、网格类型、注释、标签和图例等功能。 您可以以多种不同格式导出图形。 本章将介绍所有这些功能。

探索性图形

MATLAB 包含允许您创建基本探索性图形的命令，例如直方图、条形图、图形、箭头图等。下表总结了这些命令。 对于所有这些，有必要首先定义变量的变化域。

一变量和多变量的连续性

限制：

MATLAB 包含允许您处理序列和函数限制的功能。 除了计算序列和函数的极限之外，还可以使用这些命令来分析函数的连续性和可微性，以及数值级数和幂级数的收敛性。 下表总结了与限制相关的最常见的 MATLAB 函数。

数值级数和幂级数

非负项的数值序列

MATLAB 使您能够处理非负项的数值序列和交替序列。 此外，与限制相关的命令允许您对数值序列进行不同的收敛测试。

在总和收敛的情况下，可以使用各种函数来帮助您找到总和。

我们有以下内容：

衍生物---一个变量和多个变量

导数：

MATLAB 实现了一组特殊的命令，使您能够使用导数，这在计算及其应用领域尤为重要。 实函数在一点的导数测量该函数在该点附近的瞬时变化率； 即因变量如何因自变量的微小变化而变化。 在几何上，函数在一点的导数是函数在该点的切线的斜率。 这个想法的起源源于尝试在给定曲线上的给定点绘制切线。

如果存在以下限制，则称在点 a 的邻域中定义的函数 f(x) 在 a 处可微：

极限值（如果存在）用 f(a) 表示，称为函数 f 在点 a 的导数。

如果 f 在其域的所有点上都是可微的，则简单地说它是可微的。 函数的连续性是可微性的必要（但不是充分）条件，任何可微函数都是连续的。

下表显示了使 MATLAB 能够处理导数的基本命令。

微分的应用。 切线、渐近线、极值点和拐点 微分的直接应用使我们能够找到函数在给定点处的切线、函数的水平、垂直和斜渐近线、增量和凹度的间隔、最大值和最小值以及点的屈折。

有了这些信息，就可以

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