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外文翻译

介绍

设 X1，X2,. . .与 独立且分布相同。设 , 该过程 { }称为随机过程。

随机游走对于模拟各种现象非常有用 对于立场，我们之前遇到过简单的随机游走 - P{X，=1}= p = 1 - PX1=-1） - 其中S.可以解释为赌徒在第n次下注之后的获胜，赌徒在每个赌注中赢或输1个单位之后的奖金。 许多人认为，在股票市场上市的某家公司的连续价格可以建模为兰多姆步行。正如我们将看到的，随机游走在队列和废墟系统的分析中也很有用。在第7.1节中，我们提出了一个对偶性原则，该原则对于获得有关随机游走的虚概率非常有用。本部分的一个例子涉及 GIG/1 排队系统，在分析它时，我们需要考虑一个平均步长为负的随机游走将超过给定常量的概率。

然而，在处理这种可能性之前，我们在第7节第2节中离题，讨论可交换性，这是证明二元性原则的条件。我们提出了De Finetti定理，该定理提供了可交换伯努利随机变量的无限序列的特征 在第7.3节中，我们回到我们对随机游走的讨论，并展示了如何有效地利用马丁格尔例如，使用马丁格尔，我们展示了如何近似于具有负漂移的随机游走超过固定正值的概率。在第 7.4 节中，我们将前面部分的结果应用于 GIG/1 队列和某些破产问题

随机游走也可以被认为是更新过程的推广。因为如果 X 被约束为非负随机变量，则 S.可以被解释为更新过程的第 n 个事件的时间 在 7.5 节中,我们提出了一个推广的布莱克威尔定理时， X ，不要求是非负的，并表明证明的基础上的结果更新理论。

7.1

表示随机游走。在计算关于{ Sn， nge;1 }，有一个对偶原理，虽然显而易见，但相当有用。

对偶原理

（ X1,X2 ，..， Xn ）具有与（ Xn， Xn-1 ，...， Xt ）相同的联合分布。对偶原理的有效性是直接的，因为 Xi,igt;1 是独立同分布的。我们现在将在一系列命题中说明它的用法。

命题7.1指出，如果 ，那么随机游走将在有限的期望步数变为正。

7 . 1 . 1

设 X1 ， X2 是独立同分布随机变量 ,

如果；

那么；

。

证明

因此，当最后一个等式源于二元性时，

(7 1 1）

现在让我们说，如果S.le;sa-，.sle;Sp2，s.le;0，也就是说，每次随机游动下降时都会发生更新(一点思考就能使我们相信，连续更新之间的时间确实是独立的，并且是同分布的)，因此，从方程(71.1)出发，

=Pirenewal发生在时间n}

=1 E[发生的续约次数]

现在，根据强大的大数定律，由于，所以发生的更新数是有限的(用概率1)，但如果F()--连续更新之间的时间为有限的概率--等于1，则发生的更新数是无限的，或者如果F()lt;1，则具有有限均值的年龄计量分布。

E[发生的更新次数]lt;

所以，

.

我们的下一个命题是关于随机漫步假定新值的预期速率。让我们定义R的范围，引用的是(S0,S1.，Sn)的不同值的数目。

7.1.2

证明，让

那么

所以

当最后一个等式源于二元性时，

(712)

如果T是第一次重传到0的时间，请问→，

P{Tgt;k}→P[{T=infin;}=P{不返回0}，

所以，从(712)我们可以看到

E[Rn]/n→P{不返回O}

例7.1(A)简单的随机行走。在简单随机中

遍历P{X1=1}=p=1-P{Xt=-1}，此时p= (对称简单随机游动)，随机游动是递归的。

因此

P{不返回0}=0,当p= ，

因此，/n] ,

当p ,让 ,自从 P{return to 0|X1=-1}=1(why),我们有

，

而且，通过定义X2，

，

或者。相同于

如果则

当p gt;1,

相同的，当p。

在对称简单随机游走中，对 k 前状态的期望访问次数

返回原点等于 I 对于所有 k ne; 0

对于 k gt; 0 ，让 Y 表示第一次返回前对 k 状态的访问次数

那么 Y 可以表示为

那么

，

或者，

，

因此，

然后最终的公式如下：

随机游走在时间 n }处第一次命中 k

=1

对偶性的最终应用是 G / G / 1 排队模型。

单服务器模型，假定客户按照重新

具有任意到达间隔分布 F 的 Newal 过程，以及服务

分布为 G 设到达间隔时间为 X1 ， X2 ，，设服务

时间是 Y1 ， Y2 ，，设 D 表示队列中的延迟（或等待）

第 n 个客户由于客户 n 花费的时间 Dn. Yn，在系统和

客户 n 1 到达时间Xn-1在 顾客 n 之后，它如下（参见图

711 )

相等的，让Uk=Yn-,n

,n

迭代关系产生；

当最后一个步骤用条件D1=0时，因此，当cgt;0,

这里最后的平等来自对偶因此我们有如下

7.1.4

如果D 是 Gl G / 1 排队中第 n 个顾客的排队延迟，且到达间隔时间为 ， i ge; 1 ，并且服务时间，， ige; 1 ，则

当

我们从7.1.4中看到不低于n

让

(7.1.5)

如果是可证的，那么随机过程也一样。

所以，，如果所有c满足E[Y]gt;E[X]

当E[Y]=E[X]事，上述情况也成立，因此只有当 E [ Y ]lt; E[ X]时，存在极限延迟分布。在这种情况下要计算 P{Dngt;c}，我们需要计算一个均值变化为负的随机游动的概率。会超过一个常量然而，在攻击这个问题之前，我们提出了一个结果，称为 Spitzer 的身份，这将使我们能够显式计算 E] D]在某些特殊情况下。

斯皮策的恒等式是关于随机游走到指定时间的最大期望值。设 Mn= ma x ( 0 , S1,.., Sn), n ge; 1

Spitzer

证明任何情况A，让I(A)等式1，如果A发生或者其他0，我们将用表达式

现在，

因此（7.1.6），

但是X1,X2,..Xn和Xn,X1,X2,有相同的联合分布，我们可以知道，

（7.1.7）

展示如（7.1.8）

从（7.1.6)和（7.1.7）中得到

除此之外，当Sn表明,它遵循下面

我们组合一下公式产生

重复使用前面的方程，这次用 n - 1 代入 n ，得出

而且，在不断重复这个论点，我们得到

证明了结论当

由命题 714 可知,当Mn=max(0,S1,..Sn)

P{

这意味着，从 0 到的积分，

E[

因此，我们可以从皮斯特公式中得出

利用上述方法，可以在某些特殊情况下得到 E [ ]的显式公式。

例7.1.8考虑一个单服务器排队模型，到达按照一个具有到达间分布 G （ s ，) 而服务时间有分布 G （r,），其中 G （ a ，b ）是参数为 a 和 b 的伽玛分布（因此有平均值a/b ）。我们将使用 Spitzer 的恒等式来计算 E[]的公式，其中至少有一个 s 或 r的积分

首先，假设 r 是一个整数。

关于的第一个条件，然后利用 的分布作为速率为 的 kr 独立指数的和，得到，当对速率为 u 的泊松过程在时间为 时所发生的事件的个数进行条件化时，

该

因此，让，

我们就得到了

由于 Wk是 gamma ，参数是 ks 和 一个简单的计算得出

当a!=

因此，我们当r为整体时

当

7.2 关于可交换随机变量的几点说明

不需要假设随机变量 X ，hellip;， X 是独立同分布的就可以得到对偶关系。一个较弱的一般性条件是，随机变量是可交换的，其中我们说， ,可交换，如果 ， 对所有排列具有相同的联合分布（即hellip;hellip;）。( ) of ( 1 , 2 ,., n ).

X1,..Xn 是可交换的但不相互独立

为了说明可交换性的使用，假设 X1 和 Xn是可交换的，设 f （ x ）和g(x)增加功能。那么对于所有的 X1,X2

显示

但可交换性意味着

我们看到扩大上述不平等

专门的情况下，其中 X 和 X ，是独立的，我们有以下

7.2.1 如果 f 和 g 都是增函数，则

称随机变量的无穷序列 X ， X 是可交换的，如果每个有限子序列 X1...Xn是可交换的.

例7.2（B）设 A 表示一个具有分布 G 的随机变量，假设该随机变量的条件是 A= 入，X ， X 与分布 F 独立同分布，也就是说，

随机变量X1,X2是可交换的，所以

他们在（X1,..Xn)中是对称的，然而一样也是不相互独立的。

有一个著名的结果称为 De Fine tti 定理，它指出，每一个无限的可交换的随机变量序列是由例 72 （ B ）指定的形式。当 X 为 0 时我们将机变量的无穷序列， X ，取值为 0 或 1 ，对应一个概率分布 G [0.1],对于所有 0k n ，

让我们证明当m时，我们从计算上述概率开始，首先条件为

这样

最后一个等式是这样的，因为给定 Sm = j ，通过可交换性， X 的大小的每个子集， X1，..Xm同样可能是由所有 1 组成的

如果我们让Sm=Ym/m,得到了

对于较大的 m ,上述公式大致等于 ,事实上，它可以用一个叫做 Helly 定理的结果来表示，对于一些子序列 m lsquo;收敛到 Ymrsquo;的分布将收敛到一个分布 G ，（ 723 ）会收敛到

Fine tti 定理对于可交换随机变量的有限序列是无效的。若在例7.2( A )中 n = 2 , k = l ,1 , x ,= 0 )- P { X = 0 , X = 1 }=东, 不能放在表单中( 7 . 2 . 1 )

7.3 用马尔蒂布盖尔分析随机游动

让，表示随机游走。我们的第一个结果是，如果 是有限整数值随机变量，那么是递归的，如果 E [ X ]= 0.

定理7.3.1 设 X ，对某 M lt;则{ S .，只能取 0 ，plusmn; 1 、，plusmn; M 中的一个值。N ge; 0 是一个循环马尔可夫链当且仅当、 E [ X ]= 0

证明很明显，当 E 【 X 】ne; 0 时，随机游走是短暂的，因为它要么收敛到 o （如果 E [ X ]》 0 ），要么收敛于- oo （如果E【 X ]《 0 ）。所以假设 E [ X ]= 0 ，注意这意味着{ S ， n = 1 }是一个鞅

设 X ，对某 M lt;则{ S .，只能取 0 ，plusmn; 1 、，plusmn; M 中的一个值。N ge; 0 是一个循环马尔可夫链当且仅当、 E [ X ]= 0

证明很明显，当 E [ X ]ne; 0 时，随机游走是短暂的，因为它要么收敛到 （如果 E [ X ] 0 ），要么收敛于- oo （如果E[ X ] 0 ）。所以假设 E [ X ]= 0 ，注意这意味着{ Sn， n 1 }是一个鞅

设 A 表示从- M 到- 1 即 A -{- M ,一(M一1).，-1}假设过程从状态 i 开始，其中 i ge; 0 对于 j gt; i ，设 A ，表示状态集合 A ，={ j ， j 1 ，.， j M }，让 N 表示该过程在 A 或 A 中的第一次，根据定理 6 . 2 . 2 ，

所以

或者，

因此。

让j我们可以看到

现在让B={1，2，..，M},相同的理论当,

因此，

很容易看出，上面的意思是有限的状态集 A u B 将被访问无限经常然而，如果过程是瞬态的，那么任何有限集的状态只访问有限经常因此，过程是递归的。

7.5 直线上的布莱克维尔定理

设{ Sn., n ge; 1 }表示一个随机游动，其中 0lt; = E [ X ]lt;. , U(t)表示 n 的个数对于哪些 Sn 也就是说，

如果 X 是非负的，那么 U(t)就是 N(t)，时间 t 的续订次数。

设 u ( t )= E [ U ()],这一节我们将证明布莱克威尔定理的类比。

布莱克维尔定理 如果,而且X不为复数，

在给出上述证明之前，我们将发现引入上升和下降阶梯变量的概念是有用的。我们说梯子高度 S 的一个上升梯子变量发生在时间 n ，如果

也就是说，当随机游走达到一个新的高点时，就会出现一个上升的阶梯变量。例如，当随机游走第一次变为正数时，初始值就会出现。如果高度为 S 的阶梯变量在时间 n 发生，那么下一个阶梯变量将在第一个值 n j 处发生，对于该值

或者相等的，当第一个n j .

由于 X

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