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摘 要

变量变换作为一种数学方法，在数学计算中已经体现了其巨大的优势.本文主要讨论变量变换在积分问题中的应用，从定积分、二重积分、三重积分等角度出发，剖析变量变换在数学问题中的具体应用及对数学问题解决所带来的巨大便利.

关键词：变量变换，二重积分，三重积分，极坐标变换

Abstract: Variable transformation as a mathematical method, has shown its great advantage in mathematic calculation I will mainly discuss the applications of variable transformation in the integral problems, and I will discuss the specific applications of variable transformation in mathematic problems and its great convenience for solving mathematic problems from the definite integral, the double integral and the triple integral.

Keywords: variable transformation, the double integral, triple integral, polar coordinate transformation

目 录

1 前言………………………………………………………………………4

2 变量变换在重积分计算中的应用………………………………………4

2.1 变量变换在二重积分计算中的应用…………………………………4

2.1.1 一般的二重积分变量变换…………………………………………4

2.1.2 极坐标变换…………………………………………………………5

2.1.3 广义极坐标变换……………………………………………………7

2.2 变量变换在三重积分计算中的应用…………………………………8

2.2.1 一般的三重积分变量变换…………………………………………8

2.2.2 球坐标变换…………………………………………………………9

2.2.3 广义球坐标变换……………………………………………………11

2.2.4 柱面坐标变换………………………………………………………12

结论…………………………………………………………………………14

参考文献……………………………………………………………………15

致谢…………………………………………………………………………16

1前言

重积分在数学分析中占有重要的地位，是数学分析中重要的一部分，也是数学分析学习的难点之一，由于重积分的题型十分多，因而方法灵活，技巧性强且解题对于学习者来说是十分困难的.本选题是学习关于利用变量变换计算重积分.在所找的文献中，有关于重积分的基本定义以及利用变量变换来计算此类积分的技巧，并对这种技巧有很好的总结.但是这些还远远不够的，理论的东西和实际的应用还存在着很大的差距，仅仅研究理论时，对待某些问题，我们还需要更加深入地去了解.因此，重积分计算中变量变换的技巧还有待我们更深入地去研究.

2变量变换在重积分计算中的应用

2.1变量变换在二重积分中的应用

定理1 设在有界闭区域上可积，变换： 将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成平面上的闭区域，函数在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

,

则

2.1.1一般的二重积分变量变换

在很多积分问题中，如果我们直接做，要么计算量太大，要么无从下手，而如果我们对积分中的变量做个适当的变换，则问题将会变得异常简单.

例1 已知，计算积分.

解

，

作变量替换

，

则

，

则

此题中，被积函数为，我们首先对化简得这时如果接着做的话，计算起来会比较困难，而如果我们作一个变量变换此时被积函数变为，变得简单多了.

而，则.

至此，此题已得证.我们可以看到，通过适当的变量变换，一道复杂的积分问题变得相对简单且很快被解决.

在二重积分中，有一类特殊的变量变换，即极坐标变换，由于其应用广泛，这里我们将重点讨论.

2.1.2极坐标变换

定义1 当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换

，

往往能达到简化积分区域或被积函数的目的此时，变换的函数行列式为

,

此时有

例2 计算积分.

解 由于，因此单位圆域可分为两部分：

于是

对于右端的第一个积分，令，

则

，

由对称性知

，

而

，

故

.

例3 设平面上的区域由曲线围成，，计算

.

解 由于此题被积函数中含有，故我们不妨用极坐标变换.

设 ， 对应的.

则

2.1.3广义极坐标变换

与极坐标相类似，我们也可以作广义极坐标变换

，

并计算得

.

此时有

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