论文总字数：6100字

摘 要

关键词：分块矩阵，矩阵的秩，线性相关性，特征值，逆矩阵

Abstract：In this paper, we discuss some applications about block matrices in calculations and proofs. With some examples we can make many questions of calculation and certification simplistic by chunking matrix appropriately.

Keywords：block matrix, rank of a matrix, linear correlation, eigenvalue, inverse matrix

目 录

1 引言 4

2 分块矩阵及其性质 4

2.1 分块矩阵 4

2.1.1 分块矩阵的概念 4

2.1.2 分块矩阵的运算 4

2.2 分块矩阵的性质及其推论 5

3 分块矩阵在证明方面的应用 8

3.1 分块矩阵在矩阵秩的证明中的应用 8

3.1.1 利用分块矩阵证明矩阵乘积的秩 8

3.1.2 利用分块矩阵证明矩阵秩的等式 8

3.1.3 利用分块矩阵证明矩阵秩的不等式 9

3.2 分块矩阵在线性相关性问题中的应用 10

3.3 分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用 12

4 分块矩阵在计算方面的应用 13

4.1 利用分块矩阵求逆矩阵 13

4.2 利用分块矩阵求高阶行列式 15

结论 18

参考文献 19

致 谢 20

1 引言

矩阵是常见的数学工具之一，具有非常重要的实用价值.在矩阵的计算或证明问题中，如果题目中所给矩阵的阶数较高，在解题过程中我们难免会觉得繁琐.这时，我们可以考虑将矩阵分成若干个子块，并且把这些子块当作元素来处理.这样，高阶矩阵或结构特殊的矩阵便可转化为低阶矩阵.

分块矩阵的应用非常广泛.本文首先总结了分块矩阵的概念、运算法则，并根据行列式的性质推广得到分块矩阵的性质，然后在此基础上分别列举了一些证明和计算的例子，由此说明对矩阵进行适当的分块可以极大地提高解题效率.

2 分块矩阵及其性质

2.1 分块矩阵

2.1.1 分块矩阵的概念

将大矩阵用若干条纵线和横线分割成多个小矩阵，即

,

其中每个小矩阵 叫做矩阵的一个子块；以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

2.1.2 分块矩阵的运算

1)加法 设分块矩阵,,那么,其中与的行、列一致，即与有相同的分块；

2)数乘 设分块矩阵,,则；

3)乘法 ,,则,其中,的列数等于的行数，即的列分块与的行分块一致；

4)转置 的转置为.

2.2 分块矩阵的性质及其推论

在计算行列式时,经常要用到下面三条性质^[1]:

1)行列式的某一行（列）乘以一个数，等价于行列式乘以这个数；

2)把行列式中某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不改变；

3)将行列式中两行（列）的位置对换，行列式反号.

行列式的三条性质也可以在分块矩阵中进行推广.

性质 设方阵由如下分块矩阵组成

,

其中 ,,,,,,,,都是矩阵 ,又是任一级方阵 .对于矩阵

,

则

.

证明 设为级单位矩阵 ,则

,

于是

.

结论得证.

性质 设矩阵P由如下分块矩阵组成

，

其中 ,,,,,,,,都是矩阵 ,又是任一阶方阵 .对于矩阵

,

则

.

证明 由于

，

从而

.

性质 ^[2] 设方阵和可写成如下形式

,,

其中 ,,,,,,,,都是矩阵，则

证明 可由中的,,与,,相应的两行对换得到,而将行列式中两行的位置对换,行列式反号，

故当为偶数时，有

；

当为奇数时，有

.

通过上述证明可知，行列式的性质同样适用于分块矩阵，并且这些性质对分块矩阵的行和列都是成立的.

根据上述三条性质又可以得到以下三条推论.

推论^[2] 设,都是阶方阵,则有

.

证明 作阶行列式

,

根据拉普拉斯定理得

,

又由性质应用于列,有

.

结论得证.

推论^[3] 设都是阶方阵,则有

.

证明 由性质2并应用于列的情况,有

.

结论得证.

推论^[3] 设,,, 都是阶方阵 ,其中≠0,并且 ,则有

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