论文总字数：5340字

摘 要

关键词：反证法，多项式理论，矩阵，线性空间，线性变换

Abstract: In this paper, we mainly discuss some applications about the proof by contradiction in

the polynomial theory, matrices, linear spaces and linear transformations.

Key Words: proof by contradiction，polynomial theory，matrices，the linear space， linear transformation

目 录

1 引言 4

2 反证法的概念及步骤 4

3 反证法在高等代数中的应用 4

3.1反证法在多项式中的应用 4

3.2反证法在矩阵中的应用 8

3.3反证法在向量空间中的应用 11

3.4反证法在线性变换中的应用 12

4 反证法的优越性及其应注意的问题 13

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1 引言

反证法作为一种证明方法，在数学领域的研究中有着独特的地位，我们已经将它应用于各个不同的领域当中去.无论是数学分析，还是高等代数，离散数学，反证法都占有重要的地位，是一种独特的思想方法.意大利人芝诺首先提出了反证法这一概念，他因此而设想了四个有名的例证，我们后来把它们称为“芝诺悖论”.而古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数，的非有理性证明就是一个例子.我们依据矛盾律和排中律对反证法的本质进行探究，通过假设的命题，以之为条件，得出错误的结论.它能够另辟蹊径考虑问题，简化解题步骤，使复杂的问题变得简单，故而反证法的研究显得十分有必要.本文主要研究反证法在高等代数多项式，矩阵，线性空间等方面的应用，希望能够为反证法的应用提供一个参考.

2 反证法的概念及步骤

什么是反证法？法国数学家阿达玛曾如此定义：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．我们称这种利用假设导出矛盾的方法为反证法.

反证法的证明十分简单，主要分为以下几步：

第一步 推翻命题，进行假设.即假定原命题不成立．

第二步 推理演算，得到矛盾.从假设出发，通过一系列严密的逻辑推理，从而推导出矛盾．

第三步 前后比较，判断对错.通过对比发现冲突，判定假设错误．

3 反证法在高等代数中的应用

3.1 反证法在多项式中的应用

3.1.1 关于不可约多项式的问题

例1 设在次数大于1的整系数多项式中，使函数值为素数的整数的个数是无限个的，则为有理数域Q上的不可约多项式.

分析 证明多项式问题可用的方法不多，我们可以想到的有定义法，等价转移法，以及直接运用定理等.对于不可约多项式的证明，定义法相当困难，且能够转移的与之等价的条件也不多，而定理证明只有Eisenstein判别法可以直接使用，但必须知道多项式的形式，所以我们可以用反证法.本题条件并不多，且无法得知多项式的具体形式，故而从正面来证明可能无从下手，这时可转换思路，正难则反，选用反证法证明.

证明（反证法） 若在有理数域上可约，则可以分解为

，

其中，是整系数多项式，且

，，

由题目条件知，对于任意的整数，都有为素数，即为素数，则，中必有一个为1或-1.又知是无限个的，而，的次数是有限的，所以

，

四个式子中至少有一个对于无限个成立，即中有一个为常数，即

或，或，

而此时.与已知条件矛盾，故结论成立.

3.1.2 关于互素多项式的问题

例2 设多项式，全不为零，若对于任意满足，的多项式都有，则=1.

分析 题目中已知为任意多项式，且满足如上条件，由于满足条件的的个数有无限多个，我们无法一一列举进行证明，所以不妨找到一个反例，只要有一个，使得，不互素，事实上，对于我们要寻找的满足上述条件的是不存在的.用反证法，无需寻找所有的，只要能找到一个反例即可.

证明 若≠1，设=，其中，

再记

=，=，

取

=，

则有

，，

但由，有

=，

这与相矛盾，所以=1.

注 这类命题通常在互质、最大公因式等问题中出现，结论里一般具有“唯一”“只有”“任意”等字眼，直接证明比较困难.

3.1.3 关于多项式根的问题

例3 设是整系数多项式，存在某个偶数和奇数，它们的多项式的值和都是奇数,证明无整数根.

分析 关于多项式根的问题，常会用反证法进行证明，但有时也会有其他方法.本题可以用构造法进行证明，但是需要假设出一个多项式的表达式，在表达式的基础上代入偶数，奇数，因为表达式本身就比较复杂，故而在代入计算的过程也会比较繁琐.而反证法则十分简单，可以轻松证明本题结论.

证法一 (构造法) 设,

对于任意偶数,令,而由题目条件知为奇数,即有

为奇数.容易看出前项均为的倍数，所以都是偶数，由为奇数知，也为奇数.

设为任意偶数，则有

也为奇数.而奇数不可能为0，所以任意偶数都不是的根.

同理令，将它代入多项式中得到，即

，

我们知是奇数.易知前项均为偶数,故为奇数.

设为任意奇数，则有

，

即为奇数,由奇数不可能为0 ,所以任意奇数不是的根.

综上，多项式无整数根.

证法二 (反证法) 假设多项式有整数根，我们设为其一个整数根, 有

，

即

，

这里也是一个整系数多项式.

由已知条件知为奇数，即

为奇数，因此也为奇数，又因为为偶数，可以得到是奇数，另由已知条件知也是奇数，即是奇数，故也是奇数，而由是奇数，因此是偶数，不可能既是奇数又是偶数，故矛盾，因此无整数根.

3.2 反证法在矩阵中的应用

例4 设，若，则称为一个严格对角占优矩阵，试证可逆，即.

分析 本题方法较多，可以从不同的角度进行思考.题目中提到“可逆”等字眼时，易想到利用矩阵的行列式不为零，但是直接证明一个数不为零没有太好的办法，故而可以利用反证法，假设不可逆，以此为条件推出与已知条件矛盾，过程简单明了，更容易进行证明.

证法一（数学归纳法） 当时，，由对角占优阵的条件知，所以有，所以可逆.

假设当时，即为阶严格对角占优阵时结论成立.

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