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摘 要

：函数极值问题是一个极为常见的高等数学问题,是经典微积分学最成功的应用之一．而多元函数的极值问题不仅是函数性态的一个重要特征,而且在实际问题的求解中占有非常重要的地位.本文把二元函数的极值问题推广到元函数,在多元函数极值有关理论的基础上 ,讨论多元函数求解极值的理论方法 ,并讨论多元函数条件极值的求法,且通过典型例题阐明多元函数极值在实践中的应用.

关键词：多元函数,极值,条件极值,应用

Abstract: Function extreme problem is a very common problem of higher mathematics, is one of the most successful applications of classical calculus. While the extreme problem of multivariate function not only is an important feature of functional states, but also plays a very important role in solving practical problem. In this paper, the problem of the extreme value of two variables promotes to the element function, on the basis of the relevant theories of multivariate function extreme value, discusses the method of multivariate function to solve the extreme theory, and discusses the condition of multivariate function extreme calculation methods, and by using typical examples to clarify the value of multivariate function in practice.

Keywords: multi-function, extreme, conditional extreme value, application

目 录

1 引言 4

2 多元函数的极值 4

2.1 二元函数的极值 4

2.1.1 二元函数的极值的定义及相关理论 4

2.1.2 二元函数极值的求法 5

2.2 元函数的极值 6

2.2.1 元函数极值定义及相关理论 6

2.2.2 多元函数极值的求法 7

3 多元函数的条件极值 8

3.1 多元函数条件极值的定义 8

3.2 多元函数条件极值的求法 8

3.2.1 代入消元法 8

3.2.2 拉格朗日乘数法 8

4 多元函数极值的应用 10

结 论 13

参 考 文 献 14

致 谢 15

1 引言

关于二元函数的极值点的求法 ,不少书中都有详细的探讨 ,并给出了极值取得的必要条件和充分条件 ,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法 ,并未进行详细的讨论. 本文将二元函数极值判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中 ,以得到多元函数极值的判别法则.在生产和实际生活中,我们更多的需要讨论三元及更多元函数的极值问题,这些实际问题都可以通过函数极值来解决.

2 多元函数的极值

2.1 二元函数的极值

2.1.1 二元函数的极值的定义及相关理论

定义2.1 设函数在点的某邻域内有定义,若对于任意点 ,成立不等式

（或）,

则称函数在点取得极大(或极小)值,点称为的极大(或极小)值点.极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.

定理2.1（极值的必要条件） 若函数在点存在偏导数,且在取得极值,则有

,. （1）

若函数在点满足（1）,则称点为的稳定点.

为了讨论二元函数在点取得极值的充分条件,我们假定具有二阶连续偏导数,并记

,

称为在的黑塞（）矩阵.

定理2.2（极值的充分条件） 设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数,且是的稳定点,则当是正定矩阵时,在取得极小值；当是负定矩阵时,在取得极大值；当是不定矩阵时,在不取极值.

定理2.3（定理2.2的等价形式） 若函数如定理2.2所设,是的稳定点,

记,,,则有：

（1）当时,在点取得极小值；

（2）当时,在点取得极大值；

（3）当时,在点不能取得极值；

（4）当时,不能肯定在点是否取得极值.

2.1.2 二元函数极值的求法

求具有连续的二阶偏导数的函数极值的步骤如下：

第一步：解方程组 ,,得出该函数的所有稳定点;

第二步：对于每一个稳定点,先确定的符号,再根据二元函数极值的充分条件的等价形式,从而判断出 是否有极值;

第三步：若极值存在的话,根据的符号进一步判断是极大值还是极小值.

例1 求函数的极值.

解 令,,得稳定点,.

由于 ,

且在点处,.

故在点不能取得极值.

在点处,,且.

所以函数在点取得极大值,极大值为.

2.2 元函数的极值

2.2.1 元函数极值定义及相关理论

定义3.1 设元函数在点的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于的点（或）,则称函数在点有极大值（或极小值）,极大值极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

定理 3.1(必要条件) 设元函数, ,若在点处可微且取极值 ,则

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